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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的零点个数为
A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022 （m<n），且α，β（α<β）是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A.α<m<n<β B.m<α<n<β
C.m<α<β<n D.α<m<β<n
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．函数的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
7．设，，，则
A. B.
C. D.
8．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是
A. B.
C. D.
10．若sinα=，α是第二象限角，则sin（2α+）=（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.
12．已知函数的定义域为，当时，，若，则的解集为______
13．设函数，则____________.
14．下列命题中，正确命题的序号为______
①单位向量都相等；②若向量，满足，则；
③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；
⑤向量，共线与向量意义是相同的
15．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______
16．已知函数，若在区间上的最大值是，则_______；若在区间上单调递增，则的取值范围是___________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专业
机电维修
车内美容
衣物翻新
美容美发
泛艺术类
电脑技术
招生人数
就业率
（1）从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
（2）为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值
18．已知，向量，，记函数，且函数的图象相邻两对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求的取值范围.
19．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.
（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.
20．设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或
（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值；
（2）若，证明：；
（3）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值
21．设函数是定义R上的奇函数
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据斜二测画法的规则，得出该平面图象的特征，结合面积公式，即可求解.
【详解】由题意，根据斜二测画法规则，可得该平面图形是上底长为，下底长为，高为的直角梯形，所以计算得面积为.
故选：D.
2、C
【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.
【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.
故选C.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
3、C
【解析】根据二次函数的性质判断
【详解】记，由题意，，的图象是开口向上的抛物线，
所以上递减，在上递增，
又，，所以，，即
（也可由的图象向下平移2022个单位得的图象得出判断）
故选：C
4、A
【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，
可得
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
5、D
【解析】若,则需使得平面内有直线平行于直线；若,则需使得,由此为依据进行判断即可
【详解】当时,可确定平面,
当时,因为,所以,所以；
当平面交平面于直线时,
因为,所以,则,
因为,所以,
因为,所以,故A错误,D正确；
当时,需使得,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；
故选:D
【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力
6、B
【解析】由余弦函数的对称轴为，应用整体代入法求得对称轴为，即可判断各项的对称轴方程是否正确.
【详解】由余弦函数性质，有，即，
∴当时，有.
故选：B
7、C
【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较，，与1和2的大小得答案
【详解】∵，且，
，，
∴
故选C
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题
8、C
【解析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，
所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：
在上单调递减，且，
所以且，解得：.
故的取值范围是
故选：C.
9、D
【解析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.
【详解】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，
，
，故选D .
【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为
10、D
【解析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果
【详解】因为且为第二象限角，
根据得，
，
再根据二倍角公式得原式=，
将，代入上式得，
原式=
故选D
【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案
【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，
所以，且
因为f(x＋2)为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
所以，即，
所以，即，
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则
，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以当时，，
所以，
故答案为：
12、##
【解析】构造，可得在上单调递减．由，转化为，利用单调性可得答案
【详解】由，得，
令，则，
又，
所以在上单调递减
由，得，因为，
所以，所以，得
故答案为：.
13、
【解析】依据分段函数定义去求的值即可.
【详解】由，可得，则
由，可得
故答案为：
14、④⑤
【解析】由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案 .
【详解】对于①.单位向量方向不同时，不相等，故不正确.
对于②.向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确.
对于③.有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.
向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,
对于④.根据零向量的定义，正确.
对于⑤.根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.
故答案为：④⑤
15、 (1,4)
【解析】已知过定点,由向右平移个单位，向上平移个单位即可得，故根据平移可得到定点.
【详解】由向右平移个单位，向上平移个单位得到，过定点，则过定点.
【点睛】本题考查指数函数的图象恒过定点以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是定点.
16、 ①. ②.
【解析】根据定义域得，再得到取最大值的条件求解即可；先得到一般性的单调增区间，再根据集合之间的关系求解.
【详解】因为，且在此区间上的最大值是，所以
因为f(x)max=2tan=，所以 tan==，即ω=
由，得
令，得，即在区间上单调递增
又因在区间上单调递增，所以<，即
所以的取值范围是
故答案为：1，
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.08
（2）120
【解析】理解题意，根据数据列式求解
【小问1详解】
由题意，该校往年每年的招生人数为，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为
【小问2详解】
由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，
解得
18、（1）.
（2）
【解析】（1）化简的解析式，并根据图象相邻两对称轴间的距离求得.
（2）利用换元法，结合二次函数零点分布的知识，列不等式组来求得的取值范围.
【小问1详解】
，
由于函数的图象相邻两对称轴间的距离为，
所以，所以.
【小问2详解】
，
或，
，
，所以直线是的对称轴.
依题意，关于的方程在上有三个不相等的实数根，
设，
则，设，
则的两个不相等的实数根满足①或②，
对于①，，
此时，由解得，不符合.
对于②，，即.
所以的取值范围是.
19、 (1) (2)见解析
【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线
解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，
又∵在直三棱柱中，侧面面，
面面，∴面，
∴为三棱锥的高，又∵，∴，
又∵底面为直角三角形，∴，
∴三棱锥的体积
（2）作法：在上取，使得，连结，即为所求直线.
证明：如图，在矩形中，连结，
∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
又∵面，而面，∴，
又∵，∴面，
又∵面，∴.
点睛：这个题目考查的是立体几何中椎体体积的求法，异面直线垂直的证法；对于异面直线的问题，一般是平移到同一平面，再求线线角问题；或者通过证明线面垂直得到线线垂直；对于棱锥体积，可以等体积转化到底面积和高好求的椎体中
20、（1）
（2）证明见解析（3）集合M中元素的个数只可能是2
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）设，进而结合题意得，，再计算即可；
（3）假设为集合M中的三个不相同的元素，进而结合题意，推出矛盾，得出假设不成立，即集合M中至多有两个元素，且时符合题意，故集合M中元素的个数只可能是2
【小问1详解】
解：因为若，则称A，B互为相反元素，记作或，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：设，
由，可得
所以，
当且仅当，即时上式“=”成立
由题意可知
即
所以
【小问3详解】
解：解法1：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知或1，i=1，2，，n
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1项依次为
n－k个等于0的项依次为
由题意可知
所以，
同理
所以
即
因为
由（2）可知
因为
所以，
设，由题意可知.
所以，得与为奇数矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
解法2：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1的项依次为
n－k个等于0的项依次
由题意可知
所以①
同理②
因为
所以，
①—②得
又因为为奇数
与矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于利用反证法证明当为集合M中的三个不相同的元素时，结合题意推出与为奇数矛盾，进而得集合M中至多有两个元素，再举例当时符合题意即可.
21、（1）1；（2）；（3）最小值，此时.
【解析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时
【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
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