资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A. B.
C. D.
2．下列结论中正确的是（）
A.当时，无最大值 B.当时，的最小值为3
C.当且时， D.当时，
3．设奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）
A B.或
C. D.或
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是
A. B.
C. D.
5．下列函数在定义域内单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是
A. B.
C. D.
7．若，则（）
A. B.-3
C. D.3
8．若，则的可能值为（ ）
A.0 B.0，1
C.0，2 D.0，1，2
9．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为则
A. B.
C. D.
10．已知角的终边经过点，则
A. B.
C. D.
11．如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为（）
A.12 B.
C.6 D.3
12．已知角为第四象限角，则点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；
③f（x）是周期函数；
④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点
其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）
14．函数的定义域是______________．
15．已知函数，则当______时，函数取到最小值且最小值为_______.
16．已知，则满足f(x)＝的x的值为________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
18．已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式
19．已知直线
（1）求直线的斜率；
（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.
20．已知关于x的不等式：
（1）当时，解此不等式；
（2）当时，解此不等式
21．如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）证明点是函数的对称中心；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.
22．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）当时，画出函数的图象.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝sinx，是正弦函数，在定义域上不是增函数；不符合题意；
对于B，y＝tanx，为正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意；
对于C，y＝x3，是奇函数且在其定义域内单调递增，符合题意；
对于D，y＝ex为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性
2、D
【解析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C
【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；
选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；
选项C，令，此时，不成立，故C错误；
选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确
故选：D
3、D
【解析】由奇偶性可将所求不等式化为；利用奇偶性可判断出单调性和，分别在和的情况下，利用单调性解得结果.
【详解】为奇函数，；
又在上单调递增，，在上单调递增，；
，即；
当时，，；当时，，；
的解集为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
4、D
【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题
5、D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案
详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；
对于D，，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；
故选：D
6、D
【解析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
的最小值为：2
故选：
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题
7、B
【解析】利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可.
【详解】由，
故选：B
8、C
【解析】根据，分，，讨论求解.
【详解】因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，
当时，集合为
故选：C
9、C
【解析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解
【详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知：
甲组数据靠上，乙组数据靠下，
甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，
由甲乙两组数据的平均数分别为，标准差分别为
得，
故选
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
10、D
【解析】由任意角的三角函数定义列式求解即可.
【详解】由角终边经过点，可得.
故选D.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，属于基础题.
11、C
【解析】由直观图，确定原图形中线段长度和边关系后可求得面积
【详解】由直观图，知，，，
所以三角形面积为
故选：C
12、C
【解析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.
【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、①③
【解析】求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数 .
【详解】解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；
对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，
对于，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；
对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；
对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，又由①知道f（x）是定义在R上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是，则④为假命题
故答案为: ①③.
【点睛】关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.
14、
【解析】根据表达式有意义列条件，再求解条件得定义域.
【详解】由题知，
，整理得
解得.
所以函数定义域是.
故答案为：.
15、 ①. ②.
【解析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即等号成立.
故答案为：；.
16、3
【解析】分和两种情况并结合分段函数的解析式求出x的值
【详解】由题意得(1) 或(2) ，
由(1)得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去
由(2)得x＝3，符合x>1
∴x＝3
故答案为3
【点睛】已知分段函数的函数值求自变量的取值时，一般要进行分类讨论，根据自变量所在的范围选用相应的解析式进行求解，求解后要注意进行验证．本题同时还考查对数、指数的计算，属于基础题
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）
【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
18、（1）或；
（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）先因式分解，进而解出的范围，进而结合指数函数的单调性求得答案；
（2）设，然后因式分解，进而讨论a的取值范围求出t的范围，最后结合指数函数的单调性求得答案.
【小问1详解】
当时，
若可得或，即解集为或
【小问2详解】
令，不等式转化为
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为或；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为或.
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；
（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.
【详解】（1）由，可得，
所以斜率为；
（2）由直线m与平行，且过点，
可得m的方程为，整理得：.
20、（1）或
（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为
【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；
（2）不等式可变形为(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三种情况讨论即可.
【小问1详解】
当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}
【小问2详解】
当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0
整理得：(x－3)(x－)＜0，
当a＝时，＝3，此时不等式无解；
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；
当a＞时，＜3，解得＜x＜3；
综上：当a＝时，解集为Æ；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
21、（1）见解析； （2）①，②.
【解析】（1）求得，根据函数的定义，即可得到函数的图象关于点对称.
（2）①根据函数函数的定义，利用，即可求得.
②由在上的值域，得到方程组，转化为为方程的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
所以函数的图象关于点对称.
（2）①因为函数（且，）对称中心是点，
可得，即，解得（舍）.
②因为，∴，可得，
又因为，∴.
所以在上单调递减，
由在上的值域为
所以，，
即，即，
即为方程的两个根，且，
令，
则满足，解得，所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了函数的新定义，函数的基本性质的应用，以及二次函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，合理利用函数的性质，以及二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22、（1）；（2）；（2）详见解析.
【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角法得到函数为，再利用周期公式求解；
所以函数的周期为；
（2）令，利用正弦函数的性质求解；
（3）由列表，利用“五点法”画出函数图象.：
【详解】（1），
，
，
所以函数的周期为；
（2）令，
解得，
所以函数的单调减区间是；
（3）由列表如下：
0
x
y
0
-2
0
2
0
则函数的图象如下：
.
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