资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)
2．不透明袋子中有个红球和个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是
A． B． C． D．
4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
6．已知一个圆锥的母线长为30 cm，侧面积为300πcm，则这个圆锥的底面半径为( )
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=10，BD＝12，CD＝m，那么m的取值范围是( )
A．10<m<12 B．2<m<22 C．5<m<6 D．1<m<11
8． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
9．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6（1+x）＝8.5 B．6（1+2x）＝8.5
C．6（1+x）2＝8.5 D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.5
10．由于受猪瘟的影响，今年9 月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23 元，连续两次上涨后，售价上升到每千克40 元，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，这时水面宽度AB 为______________.
12．反比例函数的图象在每一象限，函数值都随增大而减小，那么的取值范围是__________．
13．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
14．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是________．
15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
16．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为_____．
17．已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为___________.
18．已知反比例函数的图象如图所示，则_____ ，在图象的每一支上，随的增大而_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．
（1）连接DF，求DF的长度；
（2）求▱DEFG周长的最小值；
（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．
20．（6分）如图，A，B，C是⊙O 上的点，AC＝BC，OD＝OE．求证：CD＝CE．
21．（6分）如图，抛物线过原点，且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．AB=8cm，AC=6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)写出不等式kx+b＞﹣的解集.
24．（8分）如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：；
（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．
25．（10分）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．
（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值．
26．（10分）在菱形中，，延长至点，延长至点，使，连结，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，0），
故选C．
2、A
【解析】根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.
【详解】因为共有个球，红球有个，
所以，取出红球的概率为，
故选A.
【点睛】
本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键.
3、D
【解析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
B、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
C、∵，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故本选项错误；
D、∵∠DAE=∠BAC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．
4、A
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【详解】解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，
∴4+2m+2＝0，
∴m＝﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可.
5、A
【解析】分析：根据关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（-2）2-4m＞0，求出m的取值范围即可．
详解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m＞0，
∴m＜3，
故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6、B
【解析】设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面积公式可得π×r×30=300π，解得r=10cm，故选B.
7、D
【分析】先根据平行四边形的性质，可得出OD、OC的长，再根据三角形三边长关系得出m的取值范围．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10，BD=12
∴OC=5，OD=6
∴在△OCD中，OD－OC＜CD＜OD+OC，即1＜m＜11
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和三角形三边长关系，解题关键是利用平行四边形的性质，得出OC和OD的长．
8、D
【分析】已知ab＝8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.
【详解】
故选D.
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9、C
【解析】由题意可得9月份的快递总件数为6(1+x)万件，则10月份的快递总件数为6(1+x)(1+x)万件.
【详解】解：由题意可得6(1+x)2=8.5，故选择C.
【点睛】
理解后一个月的快递数量是以前一个月的快递数量为基础的是解题关键.
10、A
【分析】根据增长率a%求出第一次提价后的售价，然后再求第二次提价后的售价，即可得出答案.
【详解】根据题意可得：23(1+a%)2=40，故答案选择A.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，比较简单，记住公式“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【详解】根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．
12、m＞-1
【分析】根据比例系数大于零列式求解即可．
【详解】由题意得
m+1＞0，
∴m＞-1．
故答案为：m＞-1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
13、（1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
14、且
【解析】根据根的判别式△≥0且二次项系数求解即可.
【详解】由题意得，
16-4≥0，且，
解之得
且.
故答案为：且.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
15、
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【详解】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】
此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
16、3．
【分析】将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.
【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，
则线段BF为所求的最短路线．
设∠BAB′＝n°．
∵，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6
∴AF＝3，BF＝＝3，
∴最短路线长为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
17、
【分析】根据“随增加而减小”可知，解出k的取值范围，然后根据概率公式求解即可.
【详解】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数的增减性，以及概率的计算，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系和概率公式是解题的关键.
18、, 增大.
【解析】根据反比例函数的图象所在的象限可以确定k的符号；根据图象可以直接回答在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
【详解】根据图象知，该函数图象经过第二、四象限，故k＜0；
由图象可知，反比例函数y＝ 在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
故答案是：＜；增大．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象．解题时，采用了“数形结合”的数学思想．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）6；（3）或 ．
【分析】（1）平行四边形DEFG对角线DF的长就是Rt△DCF的斜边的长，由勾股定理求解；
（2）平行四边形DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M，连接DM交AB于点N，点E与N点重合时即DE+EF＝DM时有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的长；
（3）平行四边形DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．
【详解】解：（1）如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，
∵BF＝FC，AD＝2；
∴FC＝1，
∵AB＝3；
∴DC＝3，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
∴DF＝＝＝；
（2）如图2所示：
作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，
连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，
①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，
∴ME+DE＞MD，
②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，
∴ME+DE＝MD
由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，
∵MB＝BF，
∴MB＝1，
∴MC＝3，
又∵DC＝3，
∴△MCD是等腰直角三角形，
∴MD＝＝＝3，
∴NF+DN＝MD＝3，
∴l平行四边形DEFG＝2（NF+DF）＝6；
（3）设AE＝x，则BE＝3﹣x，
∵平行四边形DEFG为矩形，∴∠DEF＝90°，
∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AED＝∠BFE，
又∵∠A＝∠EBF＝90°，
∴△DAE∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝1，或x＝2
①当AE＝1，BE＝2时，过点B作BH⊥EF，
如图3（甲）所示：
∵平行四边形DEFG为矩形，
∴∠A＝∠ABF＝90°，
又∵BF＝1，AD＝2，
∴在△ADE和△BEF中，，
∴△ADE≌△BEF中（SAS），
∴DE＝EF，
∴矩形DEFG是正方形；
在Rt△EBF中，由勾股定理得：
EF＝＝＝，
∴BH＝＝，
又∵△BEF～△ＨBF，
∴＝，
HF＝＝＝，
在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，
∴△BPH∽△GPF，
∴＝＝＝，
∴PF＝•HF＝，
又∵EP+PF＝EF，
∴EP＝﹣＝，
又∵AB∥BC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝＝＝，
②当AE＝2，BE＝1时，过点G作GH⊥DC，
如图3（乙）所示：
∵▱DEFG为矩形，
∴∠A＝∠EBF＝90°，
∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，
∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：
∴ED＝＝2，
EF＝＝＝，
∴∠ADE＝45°，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴EF＝DG，∠EDG＝90°，
∴DG＝，∠HDG＝45°，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴DH＝HG＝1，
在△HGQ和△BCQ中有，∠GHQ＝∠BCQ，∠HQG＝∠CQB，
∴△HGQ∽△BCQ，
∴＝＝，
∵HC＝HQ+CQ＝2，
∴HQ＝，
又∵DQ＝DH+HQ，
∴DQ＝1+＝，
∵AB∥DC，EF∥DG，
∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，
∴△EBP∽△DQG（AA），
∴＝，
综合所述，BP：QG的值为或．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线和分类求值．
20、详见解析
【分析】根据AC＝BC，得出∠AOC=∠BOC，再根据SAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【详解】解：证明：连接
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SAS）
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定和性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
21、（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；
（2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可；
（3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点的坐标为．
（2）∵在抛物线上，
∴．
作轴于，作轴于，
则，，
∴，．
∴．
∵，．
∴．
（3）假设存在．
设点的横坐标为，则为．
由于，
所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，
有或
∴ 或．
解得或．
∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似．
∴点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
22、（1）(0＜x＜4)；（1）当x=1时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；
（1）根据∠A=90°得出S△BDE=•BD•AE，从而得到一个面积与x的二次函数，从而求出最大值；
【详解】（1）动点D运动x秒后，BD=1x．
又∵AB=8，∴AD=8-1x．
∵DE∥BC，∴，∴，
∴y关于x的函数关系式为(0＜x＜4)．
（1）解：S△BDE==(0＜x＜4)．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积列出二次函数关系式，利用二次函数求最值问题，建立二次函数模型是解题的关键．
23、 (1) y＝﹣x﹣1；(2)△AOB的面积为；(3) x＜﹣4或0＜x＜3.
【解析】（1）先根据A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，求出A,B，再把A,B的值代入解析式即可解答
（2）先求出C的坐标，利用三角形的面积公式即可解答
（3）一次函数大于反比例函数即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的取值范围；
【详解】(1)∵一次函数y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B(﹣4，3)，A(3，﹣4)，
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
(2)y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：(﹣1，0)，
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
(3)不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3.
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把已知点代入解析式
24、（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为
【分析】(1) 连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；
(2) 根据垂径定理和勾股定理求解.
【详解】解：（1）
连接OB,交AD于点E.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD// BC
∴∠OED＝∠OBC =90°
∴ OE⊥AD
又 ∵ OE过圆心O
∴
（2）∵ OE⊥AD ,OE过圆心O
∴ AE=AD=4
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
BE＝＝3，
设⊙O的半径为r，则OE=r－3
在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，
OE2+AE2 = OA2
即(r－3)2+42= r2 ∴r=
∴⊙O的半径为
【点睛】
掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.
25、（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形全等的判定定理与性质即可得；
（2）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，证明方法与题（1）相同；
（3）如图（见解析），过点分别作，垂足分别为，先同（2）求出，从而可证，由相似三角形的性质可得，再根据平行线的性质和相似三角形的性质求出的值，即可得出答案.
【详解】（1），理由如下：
由直角三角板和正方形的性质得
在和中，
；
（2）成立，证明如下：
如图，过点分别作，垂足分别为，则四边形是矩形
由正方形对角线的性质得，为的角平分线
则
在和中，
；
（3）如图，过点分别作，垂足分别为
同（2）可知，
由长方形性质得：
，即
在和中，
.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.
26、（1）见详解；（2）60°
【分析】(1)先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BF，然后利用“边角边”证明即可；
(2)由△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．
【详解】（1）证明：∵菱形，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
