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第十三章 轴对称
13．1 轴对称
13．1.1 轴对称
01 基础题
知识点1 轴对称图形
1．(天津中考)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(C)
2．(苏州中考)下列四个图案中，不是轴对称图案的是(B)
3．(广州中考)如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有(C)
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条
知识点2 成轴对称
4．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)
5．如图所示：
其中，轴对称图形有甲、乙、丙、丁，与甲成轴对称的图形有丁．
知识点3 轴对称及轴对称图形的性质
6．(太原三模)如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是(B)
A．AC＝A′C′
B．AB∥B′C′
C．AA′⊥MN
D．BO＝B′O
7．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E的度数为30°．
8．(教材P65习题T4变式)如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是65°．
易错点1 误把轴对称图形的对称轴当作是线段
9．等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高；②顶角的平分线；③底边的垂直平分线；④底边上的中线．其中是等腰三角形的对称轴的有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点2 对称轴位置不确定
10．(呼和浩特中考)图中序号(1)(2)(3)(4)对应四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是(A)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
02 中档题
11．(南充中考)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是(B)
A．AM＝BM
B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠BNM
12．有下列说法：①线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称；④到直线m的距离相等的两个点关于直线m对称．其中正确的有(C)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．(晋城高平市期末)学生小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是21：05．
14．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点．若BC＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积是3．
15．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出两个三角形中的对称点；
(2)指出两个三角形中相等的线段和角；
(3)图中还有对称的三角形吗？
解：(1)点A与点A，点B与点D，点C与点E.
(2)AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.
(3)△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，也都关于直线MN成轴对称．
16．(晋中灵石县期末改编)如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E，F，若△PEF的周长等于20 cm，求MN的长．
解：∵M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，
∴ME＝PE，PF＝NF.
又∵△PEF的周长为20 cm，
即PE＋EF＋PF＝20 cm，
∴ME＋EF＋FN＝20 cm，
即MN＝20 cm.
03 综合题
17．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．
(1)求证：△FGC≌△EBC；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B＝∠DCB＝90°.
根据折叠的性质得：GC＝AD，∠G＝∠D＝∠GCE＝90°.
∴GC＝BC，∠G＝∠B.
∵∠GCF＋∠ECF＝90°，∠BCE＋∠ECF＝90°，
∴∠GCF＝∠BCE.
∴△FGC≌△EBC(ASA)．
(2)由折叠性质得：S四边形ECGF＝S四边形EADF.
∵△FGC≌△EBC，∴S△FGC＝S△EBC.
∴S四边形ECGF＝S四边形EFCB.
∴S四边形EADF＝S四边形EFCB＝S长方形ABCD.
∵AB＝8，AD＝4，
∴S长方形ABCD＝8×4＝32.
∴S四边形ECGF＝16.
18．(太原二模)山西有着悠久的历史，远在100多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo图案中，是轴对称图形的共有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
01 基础题
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为(B)
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是20．
3．(毕节中考)如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16．
4．如图，点D在BC上，DE垂直平分AC，垂足为E，DF垂直平分BA，垂足为F.求证：DB＝DC.
证明：∵DE垂直平分AC，DF垂直平分BA，
∴DC＝DA，DB＝DA，
∴DB＝DC.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则(D)
A．点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
6．如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，MB＝MC，
∴A，M都在BC的垂直平分线上，
即直线AM垂直平分线段BC.
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，求证：点A在CD的垂直平分线上．
证明：连接AC，
∵MN垂直平分BC，
∴AB＝AC.
∵AB＝AD，
∴AC＝AD.
∴点A在CD的垂直平分线上．
知识点3 经过直线外一点作已知直线的垂线
8．(北京中考)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：如图，直线l和l外一点P.
求作：直线l的垂线，使它经过点P.
作法：如图．
(1)在直线l上任取两点A，B；
(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的垂线．
请回答：该作图的依据是与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(点A，B都在线段PQ的垂直平分线上)．
易错点 对线段的垂直平分线的判定理解不透而出错
9．如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB.则下列结论正确的有(A)
①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02 中档题
10．(毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
11．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于(A)
A．28° B．25° C．22.5° D．20°
13．如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添条件BD＝CD，理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
14．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G.求△AEG的周长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
同理：AG＝CG.
∴△AEG的周长为
AE＋AG＋EG＝BE＋CG＋EG＝BC＝10.
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：AE＝AF.
证明：∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
又∵AC⊥EF，
∴AC垂直平分EF.
∴AE＝AF.
03 综合题
16．如图，已知在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
(2)AF＝(AB＋AC)．
证明：(1)连接BE，CE.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF＝EG.
∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC.
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)．
∴BF＝CG.
(2)∵BF＝CG，
∴AB＋AC＝AB＋AG＋GC＝AB＋AG＋BF
＝AF＋AG.
在Rt△AEF和Rt△AEG中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)．
∴AF＝AG.
∴AF＝(AB＋AC)．
17．(晋中灵石县期中)给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，
∴AM＝AN( )．
∵BM＝BN，
∴点B在直线l上( )．
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN( )．
这与条件CM≠CN矛盾．
以上推理中各括号内应注明的理由依次是(D)
A．②①① B．②①② C．①②② D．①②①
第2课时 作轴对称图形的对称轴
01 基础题
知识点1 线段的垂直平分线的画法
1．下图的尺规作图是作(A)
A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.
(1)∠ADE＝90°，AD＝DC，AE＝CE；
(2)若AB＝3，BC＝4，则△ABE的周长为7．
3．如图，画出线段AB的垂直平分线．(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，CD即为所求．
知识点2 作对称轴
4．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．
解：4个图形对称轴的条数分别为：一条、两条、两条、四条．如图．
5．(抚州中考)如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
解：如图所示．
02 中档题
6．(安顺中考)已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是(D)
7．(教材P66习题T10变式)如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点P即为所求作的点．如图．
03 综合题
8．【关注社会生活】(教材P66习题T12变式)(山西农大附中期末)“西气东输”是造福子孙后代的创世纪工程．现有两条高速公路和A，B两个城镇(如图)，准备建立一个燃气中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站P的位置．
解：如图所示．
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
01 基础题
知识点 画轴对称图形
1．以虚线为对称轴画出下列图形的另一半．
解：如图．
2．如图，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
解：如图所示．
3．(吕梁柳林县期末)如图是三个5×5的正方形网格，请你用三种不同的方法分别把每幅图中的一个白色小正方形涂上阴影，使每幅图中的阴影部分成为一个轴对称图形．
解：如图所示．
02 中档题
4．(衡阳中考)如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)写出AA1的长度．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)由图可得，AA1＝10.
5．(长春中考)图1、图2均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上．在图1、图2给定的网格中以OM，ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
(1)所画的两个四边形均是轴对称图形；
(2)所画的两个四边形不全等．
解：如图所示．
03 综合题
6．(舟山中考)将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(A)
第2课时 用坐标表示轴对称
01 基础题
知识点1 关于坐标轴对称的点的坐标
1．(吕梁期中)点(－4，3)关于x轴对称的点的坐标为(C)
A．(4，3) B．(4，－3)
C．(－4，－3) D．无法确定
2．(甘孜中考)在平面直角坐标系中，点A(2，3)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为(A)
A．(－2，3) B．(－2，－3)
C．(2，－3) D．(－3，－2)
3．平面直角坐标系中的点A(－1，2)与点B(1，2)关于(A)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．以上都不是
4．(晋中灵石县期中)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为(B)
A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)
5．点A和点B(2，－3)关于x轴对称，则A，B两点间的距离是(C)
A．4 B．5 C．6 D．10
6．在平面直角坐标系中，若点P(m－1，m＋1)在x轴上，则它关于y轴的对称点是(2，0)．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(2，4)，C(4，0)，D(2，－3)，E(0，－4)．写出点D，C，B关于y轴的对称点F，G，H的坐标，并画出F，G，H点．顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，A各点．观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它是我们熟知的什么图形？
解：由题意，得F(－2，－3)，G(－4，0)，H(－2，4)，这个图形关于y轴对称，是我们熟知的轴对称图形．
8．已知点A(a＋2b，1)，B(－2，2a－b)．
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求a＋b的值．
解：(1)由题意，得解得
(2)由题意，得解得
∴a＋b＝.
知识点2 图形关于坐标轴对称
9．已知正方形ABCD在坐标平面上的位置如图所示，x轴、y轴分别是正方形的两条对称轴．若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为(2，－2)，点C的坐标为(－2，－2)，点D的坐标为(－2，2)．
10．(运城盐湖区期末)若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，－2)，则点B的坐标为(C)
A．(－1，2) B．(－1，－2) C．(1，2) D．(－2，1)
11．(晋中灵石县期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点在格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
解：(1)△A1B1C1如图所示，点C1的坐标为(3，－2)．
(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－3，2)．
02 中档题
12．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为(－1，4)．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是(A)
A．(3，1) B．(－3，－1)
C．(1，－3) D．(3，－1)
13．若点M(1－2m，m－1)关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(C)
14．(南京中考)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，2)，作点A关于y轴的对称点，得到点A′，再将点A′向下平移4个单位长度，得到点A″，则点A″的坐标是(1，－2)．
15．已知点A(a，b)和点(c，d)关于y轴对称，则3a＋3c＋＝2．
16．(太原期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
(2)若将△ABC三个顶点的纵坐标分别乘－1，横坐标不变，将所得的三个点用线段顺次连接，得到的三角形与△ABC的位置关系是关于x轴对称．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(3，2)，B1(1，4)，C1(0，2)．
03 综合题
17．(白银中考改编)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1沿x轴方向向左平移8个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标；
(3)观察△ABC和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图中画出这条对称轴l；
(4)求△ABC的面积．
解：(1)如图．
(2)如图．A2(－8，1)，B2(－11，2)，C2(－9，4)．
(3)如图．
(4)S△ABC＝3×3－×1×3－×2×2－×3×1
＝9－－2－
＝4.
18．【关注趣味数学】(原创题)在棋盘中建立如图的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)．
(1)如图1，已添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标．(写出2个即可)
解：(1)如图1所示，直线l即为所求．
(2)答案不唯一，如图2所示，P(0，－1)，P′(－1，－1)都符合题意．
周测(13.1～13.2)
(时间：40分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．京剧和民间剪纸是我国的两大国粹，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．下列四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是(C)
2．轴对称图形的对称轴的条数(D)
A．只有1条 B．2条
C．3条 D．至少有一条
3．王明是班上公认的“小马虎”，在做作业时，将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a，b)．小华也不细心，将点B的坐标写成关于y轴的对称点的坐标，写成B(－b，－a)，则A，B两点原来的位置关系是(B)
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．A和B重合 D．关于原点对称
4．如图所示，在四边形ACBD中，AB垂直平分CD，垂足为E，则图中全等三角形共有(C)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中，错误的是(D)
A．△ABC≌△AB′C′
B．∠BAC′＝∠B′AC
C．l垂直平分CC′
D．直线BC和B′C′的交点不在直线l上
6．如果点A(1－a，b＋1)关于y轴的对称点在第三象限，那么点B(1－a，b)在(D)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为(C)
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，已知点A(2，3)和点B(4，1)，在坐标轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为(C)
A．(1，0) B．(0，－1)
C．(1，0)或(0，－1) D．(2，0)或(0，1)
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．点A(2，－3)关于y轴的对称点A′的坐标是(－2，－3)．
10．如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关于直线OE对称的三角形共有4对．
11．如图，已知正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为8cm2.
12．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE∶EC＝2∶1，则点B到点E的距离是6．
13．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．
14．如图，已知线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于点C，D，连接AC，BC，BD，AD.其中AB＝4，CD＝5，则四边形ACBD的面积为10．
三、解答题(共52分)
15．(6分)如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
解：a＝5 cm，b＝4 cm，
∠G＝360°－90°－135°－80°＝55°.
16．(8分)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC边于点E，连接BD.如果CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
解：∵MN是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，BE＝CE.
∵CE＝4，∴BC＝8.
∵△BDC的周长为18，
∴BD＋CD＝18－8＝10.
∴BD＝5.
17．(8分)如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN.
解：答案不唯一，如图．
18．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°.
∴∠EDA＝90°－25°＝65°.
(2)证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC.
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD(AAS)．
∴AE＝AC.
∴点A在线段CE的垂直平分线上．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC.∴点D在线段CE的垂直平分线上．
∴直线AD是线段CE的垂直平分线．
19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．
(1)求出△ABC的面积；
(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(3)写出点A1，B1，C1的坐标．
解：(1)S△ABC＝×5×3＝.
(2)如图．
(3)A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3)．
20．(12分)如图，已知∠AOB＝α，∠AOB外有一点P，画出点P关于直线OA的对称点P′，再作点P′关于直线OB的对称点P″，连接OP，OP″.
(1)试猜想∠POP″与α的大小关系，并说出你的理由；
(2)当P为∠AOB内一点或∠AOB边上一点时，上述结论是否成立？不用说理由．
解：(1)∠POP″＝2α.理由：
连接OP′.
由题意知∠POA＝∠P′OA，∠P′OB＝∠P″OB，
∴∠POP″＝∠P″OP′＋∠P′OP
＝2∠P′OB＋2∠P′OA
＝2∠AOB
＝2α.
(2)上述结论依然成立．
13．3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
01 基础题
知识点1 等边对等角
1．(教材P77练习T1变式)已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于(B)
A．30° B．70° C．140° D．125°
2．(新疆中考)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为(B)
A．85° B．75° C．60° D．30°
3．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75°．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，CD＝CB，则∠ABD＝20°．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，AE＝AF，
∴∠B＝∠C，BE＝CF.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(SAS)．
∴DE＝DF.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.
∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，
即∠ABD＝∠ACD.
知识点2 三线合一
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(A)
A．AD＝BD B．BD＝CD
C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝35°．
9．(北京中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠C.
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.
∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴∠CBE＝∠BAD.
易错点1 因不明确等腰三角形的顶角与底角而出错
10．(绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为50°或80°．
易错点2 误用“三线合一”而出错
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠A＝50°，则∠DBC的度数为25°．
02 中档题
12．(昆明中考)在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为(B)
A．90° B．95° C．100° D．120°
13．(教材P82习题T7变式)(荆州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(B)
A．30° B．45° C．50° D．75°
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．
15．(长春中考)如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，CB的长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为37°．
16．(遵义中考)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B＝37°．
17．如图，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝15°．
18．(阳泉期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：∠1＝∠2.
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵点E在AD上，
∴EB＝EC.
∴∠EBC＝∠ECB.
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠EBC＝∠ACB－∠ECB，
即∠1＝∠2.
03 综合题
19．(朔州右玉县期末)如图，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE.
(1)如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝5°；
(2)如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝20°，∠CDE＝10°；
(3)设∠BAD＝α，∠CDE＝β，猜想α，β之间的关系式，并说明理由．
解：猜想：α＝2β.理由如下：
设∠B＝x，∠AED＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y.
∵∠AED＝∠CDE＋∠C，
∴y＝β＋x.
∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝∠ADE＋∠CDE，
∴α＋x＝y＋β＝β＋x＋β.
∴α＝2β.
20．(孝义期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与直线AB交于点F，则图中与∠EDC相等的角(∠EDC除外)有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第2课时 等腰三角形的判定
01 基础题
知识点1 等腰三角形的判定
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(B)
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
2．(桂林中考改编)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于点D，BC＝8 cm，则△ABC是等腰三角形，BD的长为4cm.
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是BD＝CD或∠BAD＝∠CAD．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，∠BAD的平分线AE交BC于点E，CE＝2，则线段AB的长为3．
6．(晋城期末)如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△DEC和△DFB都是直角三角形．
在Rt△DEC和Rt△DFB中，
∴Rt△DEC≌Rt△DFB(HL)．
∴∠C＝∠B.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
知识点2 用尺规作等腰三角形
7．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线的长为b，求作这个等腰三角形．
解：(1)作线段AB＝a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
(3)在MN上取一点C，使CD＝b；
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
易错点 未指定等腰三角形的腰和底边，需要分类讨论
8．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝45°或67.5°或90°时，△AOP为等腰三角形．
02 中档题
9．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)
C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
10．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB边上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝5 cm，则四边形DECF的周长是10__cm．
11．【关注社会生活】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达
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