资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
2．如图，在中，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS－SD－DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动．已知点F运动到点B时，点E也恰好运动到点C，此时动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为．已知y与t的函数图像如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：
①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒；
②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；
③sin∠ABS＝；
④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
4．反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若2y－7x＝0，则x∶y等于（ ）
A．2∶7 B．4∶7 C．7∶2 D．7∶4
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
10．关于的一元二次方程x2﹣2+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____．
12．若m是方程2x2﹣3x＝1的一个根，则6m2﹣9m的值为_____．
13．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
14．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
15．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______________．
16．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为_____．
17．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝125°，则∠C的度数为_____°．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
20．（6分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=30°，将AC绕着点A顺时针旋转60°得AE，连接BE，CE．
（1）求证：△ADC≌△ABE；
（2）求证：
（3）若AB=2，点Q在四边形ABCD内部运动，且满足，直接写出点Q运动路径的长度．
21．（6分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
22．（8分）如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.
（1）以点为圆心，长为半径作.
①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.
②若与轴相切，求出点坐标；
（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.
23．（8分）如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接．
（1）当且时，求的长；
（2）求证：；
（3）连接，求证：．
24．（8分）某校在向贫困地区捐书活动中全体师生积极捐书.为了解所捐书籍的种类，某同学对部分书籍进行了抽样调查，并根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图.请根据统计图回答下面问题：
（1）本次抽样调查的书籍有多少本？请通过计算补全条形统计图；
（2）求出图中表示科普类书籍的扇形圆心角度数；
（3）本次活动师生共捐书本，请估计有多少本文学类书籍？
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB∶BD＝.
(1)求tan∠DAC的值.
(2)若BD＝4，求S△ABC.
26．（10分）某日，深圳高级中学（集团）南北校区初三学生参加东校区下午时的交流活动，南校区学生中午乘坐校车出发，沿正北方向行12公里到达北校区，然后南北校区一同前往东校区（等待时间不计）．如图所示，已知东校区在南校区北偏东方向，在北校区北偏东方向．校车行驶状态的平均速度为，途中一共经过30个红绿灯，平均每个红绿灯等待时间为30秒．
（1）求北校区到东校区的距离；
（2）通过计算，说明南北校区学生能否在前到达东校区．（本题参考数据：，）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；
D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出，可得，根据DE的长即可求得BC的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得是解题的关键．
3、C
【分析】①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设，，由函数图像利用△EBF面积列出方程组即可解决问题．③由，，得，设，，在中，由列出方程求出，即可判断．④求出即可解决问题．
【详解】解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点运动到点时用了2.5秒，运动到点时共用了4秒．故①正确．
设，，
由题意，
解得，
所以，，故②正确，
，，
，设，，
在中，，
，
解得或（舍，
，，，
故③错误，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
4、C
【分析】先根据反比例函数图象确定k的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可
【详解】A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；
B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；
C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；
D、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；
故选Ｃ．
【点睛】
本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．
5、A
【分析】由2y－7x＝0可得2y＝7x，再根据等式的基本性质求解即可.
【详解】解：∵2y－7x＝0
∴2y＝7x
∴x∶y＝2∶7
故选A.
【点睛】
比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单．
6、A
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称的定义逐一判断即可.
【详解】A选项是中心对称图形,也是轴对称图形,故A符合题意;
B选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故B不符合题意;
C选项不是中心对称图形,是轴对称图形,故C不符合题意;
D选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故D不符合题意.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解决此题的关键.
7、C
【解析】从上面可得：第一列有两个方形，第二列只有一个方形，只有C符合.
故选C
8、A
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即=25%，即可即解得a的值
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，∴=25%，解得：a=1．
故本题选A.
【点睛】
本题考查用频率估计概率，熟记公式正确计算是本题的解题关键
9、B
【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选B．
10、A
【分析】关于x的一元二次方程x²+2x+k=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于k的不等式，解答即可．
【详解】根据一元二次方程根与判别式的关系，要使得x2﹣2+k=0有两个相等实根，只需要△=(-2)²-4k=0，解得k=1．
故本题正确答案为A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、、 、
【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴，即：，
解得x=，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴，即：，
解得：x=，
BE=>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴，即，
解得：x=，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴，即：，
解得：x=，
综上：AD的长为、 、 .
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
12、1
【分析】把m代入方程2x2﹣1x＝1，得到2m2-1m=1，再把6m2-9m变形为1（2m2-1m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程2x2﹣1x＝1的一个根，
∴2m2﹣1m＝1，
∴6m2﹣9m＝1(2m2﹣1m)＝1×1＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13、①③④
【分析】根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．
【详解】∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），
∴2+n=3，即n=1；
∴y2=（x﹣3）2+1，
把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；
由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；
∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），
∴，
解得 ，
∴.
令y1=3，则，
解得x1=-5，x2=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
14、
【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=1，
∴FM=DM×cos30°=，
∴，
∴A′C=MC﹣MA′=．
故答案为．
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
15、a＜2且a≠1．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．
【详解】试题解析：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a-1），
∴a≠1．
故a的取值范围是a＜2且a≠1．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
16、
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴＝，即＝，
解得，AD＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.
17、1．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝125°，
∴∠C＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键.
18、
【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b
则有： ，解得：
所以直线仍的解析式是：
设C1的横坐标为x，则纵坐标为
∵正方形OA1C1B1
∴x=y，即，解得
∴点C1的纵坐标为
同理可得：点C2的纵坐标为=
∴点Cn的纵坐标为．
故答案为：，．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、电线杆AB的高为8米
【解析】试题分析：过C点作CG⊥AB于点G，把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
试题解析：过C点作CG⊥AB于点G，∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴，∴AG＝＝6，∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，故电线杆AB的高为8米
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）推出∠DAC=∠BAE，则可直接由SAS证明△ADC≌△ABE；
（2）证明△BCE是直角三角形，再证DC=BE，AC=CE即可推出结论；
（3）如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，证△ADQ≌△ABF，由勾股定理的逆定理证∠FBQ=90°，求出∠DQB=150°，确定点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵∠CAE=∠DAB=60°，
∴∠CAE-∠CAB=∠DAB-∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）证明：在四边形ABCD中，
∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，
∴∠ABC+ABE=∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠CBE=360°-（∠ABC+ABE）=90°，
∴CE2=BE2+BC2，
又∵AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE，
∴AC2=DC2+BC2；
（3）解：如图2，设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF，连接QF，BF，QB，DQ，AF，
则∠DAQ=∠BAF，AQ=QF，△AQF为等边三角形，
又∵AD=AB，
∴△ADQ≌△ABF（SAS），
∴AQ=FQ，BF=DQ，
∵AQ2=BQ2+DQ2，
∴FQ2=BQ2+BF2，
∴∠FBQ=90°，
∴∠AFB+∠AQB=360°-（∠QAF+∠FBQ）=210°，
∴∠AQD+∠AQB=210°，
∴∠DQB=360°-（∠AQD+∠AQB）=150°，
∴点Q的路径为过B，D，C三点的圆上，
如图2，设圆心为O，则∠BOD=2∠DCB=60°，
连接DB，则△ODB与△ADB为等边三角形，
∴DO=DB=AB=2，
∴点Q运动的路径长为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，四边形的内角和，勾股定理的逆定理，圆的有关性质及计算等，综合性较强，解题关键是能够熟练掌握并灵活运用圆的有关性质．
21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接OC．只要证明AE∥OC即可解决问题；（2）根据角平分线的性质定理可知CE=CF，利用面积法求出CF即可；
【详解】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE．
（2）作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵•OC•CD＝•OD•CF，
∴CF＝，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解答的关键.
22、（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.
【分析】（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；
②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.
【详解】（1）①与直线相切.
如图，过作直线，垂足为，设.
则，
，即：
与直线相切.
②当与轴相切时
∴ ，
，即：
代入
化简得：或.
解得：，.
或.
（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：
，，
设，
∵点B的坐标为，
∴，
，
，
依题意得：，即，
，即：，
∴(不合题意，舍去)或，
把，代入得：
直接开平方解得：，，
∴的坐标为：或
【点睛】
本题主要考查了两点之间的距离公式二次函数的性质，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程是解题的关键.
23、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在Rt△CHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；
（2）证明，进而得出结果；
（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.
【详解】（1）解：∵矩形，，
∴.
而，，
∴，
又∵，，∴，
易得.
∴，∴.
∴.
（2）证明：∵矩形，，
∴，
而，
∴，∴，
∴；
（3）证明：由（2）得，
∴，即，
而，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.
24、（1）本次抽样调查的书籍有本;作图见解析（2）（3）估计有本文学类书籍
【分析】（1）根据艺术类图书8本占20%解答；
（2）根据科普类书籍占总数的，即可解答；
（3）利用样本估计总体．
【详解】（1）8÷20％=40（本），
40-8-14-12=6（本），
答：本次抽样调查的书籍有40本．
补图如图所示：
（2），
答：图1中表示科普类书籍的扇形圆心角度数为108°．
（3）（本），
答：估计有700本文学类书籍．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，两图结合是解题的关键．
25、 (1)；(2).
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于点E，根据相似三角形的判定易证△BDE∽△BAC，可得，再根据角平分线的性质可得DE=CD，利用等量代换即可得到tan∠DAC的值；
（2）先利用特殊角的三角形函数得到∠CAD=30°，进而得到∠B=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半得到DE的长，进而得到CD与AC的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）如图，过D点作DE⊥AB于点E，
在△BDE与△BAC中，
∠BED=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=CD，
∴，
∴tan∠DAC；
（2）∵tan∠DAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=30°，
∴DE=BD=2，
∴CD=DE=2，
∴BC=BD+CD=6，
∵，
∴，
∴S△ABC=.
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握根据角平分线的性质作出辅助线.
26、（1）；（2）能.
【分析】（1）过点作于点，然后在两个直角三角形中通过三角函数分别计算出AE、AC即可；
（2）算出总路程求出汽车行驶的时间，加上等红绿灯的时间即为总时间，即可作出判断.
【详解】解：（1）过点作于点.
依题意有：，，，
则，
∵，
∴，
∴
（2）总用时为：分钟分钟，
∴能规定时间前到达.
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，把非直角三角形的问题通过作辅助线化为直角三角形的问题是解题关键.
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