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一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义

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1、认识一元二次方程
2、掌握一元二次方程常见解法；
3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.
重点、难点
1、一元二次方程解法
2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解
考点及考试要求
一元二次方程的四种解法
教 学 内 容
第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理
课前检测

1． 已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是多少？

2． 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，求m的值。

3.已知x=1是方程的根，化简;

4.已知实数a满足，求的值。

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5。已知m，n是有理数，方程有一个根是，求m+n的值.

知识梳理

一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式:
举例:解方程：
解：方程两边除以9，得:

二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：，将原方程配成的形式，再用直接开方法求解。）
举例：解方程: 配方法解一元二次方程 ()的步骤：
解： ①、二次项系数化为1. （两边都除以二次项系数.）
②、移项。(把常数项移到=号右边.)
③、配方。（两边都加上一次项系数绝对值一半的
平方，把原方程化成的形式）
④、求解.(用直接开方法求出方程的解.）

三、公式法：（求根公式：）
举例：解方程： 公式法解一元二次方程的步骤:
解: ①、把一元二次方程化为一般形式：（)
②、确定的值.
③、求出的值。
④、若，则把及的值代入求
根公式,求出和，若，则方程无解。

四、分解因式法：(理论依据：,则或;利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式.）
【1】提公因式分解因式法:
举例：①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可变形为： 解:原方程可变形为：

或 或

【2】运用公式分解因式法：
举例:①、解方程： ②、解方程：
解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：

或
或

【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法）:
举例：解方程：
十字相乘法:

1 -6 交叉相乘：,
1 +1 即等于一次项系数。所以可以分解成
解:原方程可变形为：

或

【4】其它常见类型举例：
①、解方程： ②、解方程： (换元法)
解:原方程可变形为： 解:令，原方程可化为：，
即：
或

或 ,即
，
或，即

方程无解.
原方程的解为：

第二课时 一元二次方程的四种解法典型例题
典型例题

题型一：直接开平方法
例1.（1) （2）

变1.（1)解关于x的方程：

（2)下列方程无解的是( ）
A. B。 C。 D.
题型二：配方法
例2。(1） x2+8x-9=0 （2） x2-x—1=0

（3） x2—x—3=0 （4) x2+2x+2=0

变2。(1）x2－2x－1＝0 （2）y2－6y＋6＝0

(3)4x2－4x＝3 （4）3x2－4x＝2．

题型三：因式分解法
例3.的根为( ）
A B C D

变3。（1)(平方差) （2) (提公因式）

（3）（平方差） （4） (完全平方式)

(5） (完全平方式) （6)（十字相乘法）

（7） (十字相乘法) (8）（提公因式)

例4。若，则4x+y的值为 。

变4.解下列方程
(1) （2x – 3）2 = （3x – 2）2 （2) —= x+2

题型四：公式法
例5。选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶

变5.（1） （2）

说明:解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。
例6.在实数范围内分解因式：
（1） ； （2）. ⑶

说明：①对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根，再写成=.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去。

第三课时 一元二次方程的四种解法课堂检测
课堂检测

一、选择题
1．解方程：3x2+27=0得( ）。
（A)x=±3  (B)x=-3   （C）无实数根   (D）方程的根有无数个
2．方程（2-3x)+（3x-2）2=0的解是（   ）。
（A)，x2=-1   (B)  ,
（C)x1=x2=    (D） ，x2=1
3。方程(x-1）2=4的根是（   ）。
（A）3，-3   （B）3,-1   （C）2,-3   (D）3，-2
4。用配方法解方程：正确的是(   ）.
（A)   (B）
（C）,原方程无实数解  (D) 原方程无实数解
5.一元二次方程用求根公式求解，先求a，b，c的值,正确的是(   ).
(A)   a=1，b=  （B)a=1,b=—,c=2
(C）a=—1,b=— ,c=-2   (D）a=-1,b=,c=2
6．用公式法解方程：3x2—5x+1=0，正确的结果是（   ）。
（A）  （B）  (C）  （D）都不对
二、填空
7．方程9x2=25的根是___________。。.
8。已知二次方程x2+（t—2）x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________。
9。关于x的方程6x2—5（m-1）x+m2-2m-3=0有一个根是0，则m的值为__________。
10。关于x的方程（m2—m—2）x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
11。方程（x+2）(x-a）=0和方程x2+x—2=0有两个相同的解，则a=________。
三、用适当的方法解下列关于x和y的方程
12．（x+2）（x-2)=1。   13.(3x-4）2=（4x—3)2

14。3x2—4x—4=0.     15。x2+x-1=0。

16。x2+2x—1=0。   17.（2y+1）2+3（2y+1）+2=0.

18．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x—3=0。
（A） 因式分解法  （B）配方法 （C）公式法

19．已知|2m-3｜=1,试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2

教学目标