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一元二次方程的应用练习题及答案
一元二次方程的应用练习题及答案

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一元二次方程的应用

1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．

（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据（1）所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．

2．白溪镇2012年有绿地面积57。5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82。8公顷．

(1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率;

（2)若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元,每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是      斤(用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

(1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中:

销售单价（元）
x
销售量y(件）

销售玩具获得利润w（元)

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地,求矩形的长和宽．

8．)如图，一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路,要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

11．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形．

(1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

参考答案与试题解析

1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．

（1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据（1)所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．

【考点】一元二次方程的应用增长率问题．菁优网版权所有

【解答】解：设增长率为x，根据题意2015年为2500(1+x）万元，2016年为2500（1+x）2万元．

则2500（1+x）2=3025，

解得x=0.1=10%，或x=﹣2。1（不合题意舍去)．

答:这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

(2）3025×（1+10％）=3327。5（万元）．

故根据（1)所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．

2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82。8公顷．

（1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

【考点】一元二次方程的应用增长率问题．菁优网版权所有

【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得

57.5(1+x）2=82。8   

解得：x1=0.2，x2=﹣2。2（不合题意，舍去)

答：增长率为20%；

（2）由题意，得

82.8（1+0.2)=99。36公顷，

答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．

【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用,解答时求出平均增长率是关键．

3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映:每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

【考点】一元二次方程的应用销售问题．菁优网版权所有

【解答】解:降价x元,则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件,

根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

解得x1=1，x2=4，

又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元,

答：应将销售单价定位56元．

【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解．

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤,通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售．

(1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　100+200x　斤（用含x的代数式表示）;

(2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

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【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+

×20=100+200x(斤)；

（2）根据题意得:（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，

解得：x=

或x=1，

当x=

时，销售量是100+200×

=200＜260；

当x=1时,销售量是100+200=300（斤)．

∵每天至少售出260斤，

∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．

5．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件;

(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元?

(2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多?

【考点】一元二次方程的应用销售问题．菁优网版权所有

【解答】解：（1)设每件衬衫应降价x元，

根据题意得（40﹣x)（20+2x）=1200,

整理得2x2﹣60x+400=0

解得x1=20，x2=10．

因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，

故每件衬衫应降20元．

答：每件衬衫应降价20元．

(2)设商场平均每天赢利y元，则

y=(20+2x）（40﹣x）

=﹣2x2+60x+800

=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2［（x﹣15）2﹣625]

=﹣2(x﹣15)2+1250．

∴当x=15时,y取最大值,最大值为1250．

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．

【点评】（1)当降价20元和10元时,每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；

(2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．

6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件,而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：

销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x　
销售玩具获得利润w（元）
﹣10x2+1300x﹣30000　

（2）在(1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

【考点】一元二次方程的应用销售问题．菁优网版权所有

【解答】解：（1)

销售单价（元）
x
销售量y（件）
1000﹣10x
销售玩具获得利润w(元）
﹣10x2+1300x﹣30000

（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000,

解之得：x1=50    x2=80,

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系．

7．利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．菁优网版权所有

【解答】解:设垂直于墙的一边为x米,得：

x（58﹣2x)=200 

解得:x1=25,x2=4

∴另一边为8米或50米．

答:当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．