新课标华师大版八年级数学下册学案-第19章-矩形、菱形与正方形-----第一课时矩形的性质.doc

新课标华师大版八年级数学下册学案
第19章　矩形、菱形与正方形-----第一课时矩形的性质
[教用专有]
教学目标
1．理解矩形的概念．
2．掌握矩形的性质．
情景问题引入
已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有其他的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片，观察图中有哪些图形是矩形？你能说说为什么吗？

[学生用书P88]
1．矩形的定义
定　　义：有一个内角为直角的__平行四边形__叫做矩形．
2．矩形的性质
性质定理1：矩形的四个角都是直角．
性质定理2：矩形的对角线__相等__．
[学生用书P88]
类型之一　矩形性质的应用
　如图，在矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20 cm，则AB的长为(　D　)

A．1 cm　　B．2 cm　　C. cm　　D. cm
【点悟】 解决与矩形有关的计算与证明问题时需理清矩形的边、角、对角线，选择合适的方法．与矩形密切联系的是直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、勾股定理等．
　[2017·荆州]如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC，
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC.
(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点悟】 矩形的性质有对角线相等、对边平行且相等．
类型之二　用定义识别矩形
　如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E.四边形ADBE是矩形吗？请说明理由．

解：四边形ADBE是矩形．
理由：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD.
∵AE∥BD，DE∥BC，
∴∠EAD＝∠BDC，∠ADE＝∠DCB，
∴△ADE≌△DCB，∴AE＝DB，
∴四边形ADBE是平行四边形．
∵AB＝CB，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBE是矩形．

[学生用书P88]
1．在下列说法中，矩形不一定具有的性质是(　D　)
A．对角相等 B．是轴对称图形
C．是中心对称图形 D．对角线互相垂直
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为(　A　)
A．4 B．3 C．2 D．1
第2题图
　　第3题图

3．[2017·兰州]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝(　B　)
A．5 B．4 C．3.5 D．3
[学生用书P89]

1．下列说法错误的是(　C　)
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于(　C　)

A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，在矩形ABCD中，AB<BC，AC、BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是__4__．
第3题图
　　第4题图

4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，点E为AD的中点，CE＝5，则AD＝__6__．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO. 求∠ABD的度数．

解：∵ 四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.
又∵AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABD＝60°.
6．[2018·洛宁县期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm，求AC、AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝15 cm，

∵OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB＝7.5 cm.
∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB＝OA＝7.5 cm.
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M、N分别为OA、OD的中点．求证：BM＝CN.

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB.
∵点M、N分别是OA、OD的中点，即AM＝OM，ON＝DN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON，∴BM＝CN.

8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE.求证：
(1)△BEC≌△DFA；
(2)四边形AECF是平行四边形．

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠EBC＝∠FDA＝90°.
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴BE＝DF.
在Rt△BEC和Rt△DFA中，
∴△BEC≌△DFA.
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
9．[2018·九台区期末]如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2.求AD的长．

解：设AD＝x.
∵△DEF为等腰三角形，
∴DE＝EF，∠FEB＋∠DEA＝90°.
又∵∠AED＋∠ADE＝90°.
∴∠FEB＝∠EDA.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠A＝90°，
∴△ADE≌△BEF(AAS)，
∴AD＝BE，
∴AD＋CD＝AD＋AB＝x＋x＋2＝10.
解得x＝4.
即AD＝4.
10．[2018·渝北区期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.
(1)求证：CO＝CE；
(2)求∠OED的度数．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC.
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°.
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∴CO＝CE.
(2)∵△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.
∵∠CDE＝∠CED＝45°，
又∵CD＝CE＝CO，
∴∠COE＝∠CEO，
∴∠CEO＝(180°－30°)÷2＝75°，
∴∠OED＝∠CEO－∠CED＝30°.

11．[2017·柳北区校级模拟]如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC的延长线上，AE＝BF.
(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；
(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝180°－∠BCD＝180°－90°＝90°.
∴∠D＝∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，
∴∠1＝∠F，
∴AE∥BF.
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
(2)∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠1＝90°.
∵∠BEF＝∠DAE，∴∠BEF＋∠1＝90°.
∵∠BEF＋∠1＋∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝90°.
在Rt△AEB中，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝5.