第四章根轨迹法.ppt

第四章第四章 根轨迹法根轨迹法 自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理自动控制原理4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 根轨迹法根轨迹法4 根 轨 迹 法 根轨迹法根轨迹法:三三大分析校正方法大分析校正方法之一之一 特点特点：（1）图解方法，直观、形象。）图解方法，直观、形象。（2）适合于研究当系统中某一）适合于研究当系统中某一参数变化参数变化时，系统性能的时，系统性能的变化变化 趋势趋势。（3）近似方法，不十分精确。）近似方法，不十分精确。4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹：根轨迹：系统某一参数由系统某一参数由0 变化时，变化时，l l在在 s平面相应变化所描绘出来的轨迹。平面相应变化所描绘出来的轨迹。4.1.1 根 轨 迹例例1 系统结构图如图所示，分析系统结构图如图所示，分析 l l 随开环增益随开环增益K 变化的趋势。变化的趋势。解解.K:开环增益开环增益K*:根轨迹增益根轨迹增益4.1.2 根轨迹 系统性能 4.1.3 闭环零点与开环零、极点之间的关系 闭环零点闭环零点=前向通道开环零点前向通道开环零点+反馈通道反馈通道开环极点开环极点闭环极点与开环零点、开环极点及闭环极点与开环零点、开环极点及 K K*均有关均有关系统结构图如图所示，确定闭环零点系统结构图如图所示，确定闭环零点4.1.4 根轨迹方程（1）根轨迹方程及其含义根轨迹方程及其含义4.1.4 根轨迹方程（2）一般情况下一般情况下 模值条件模值条件 相角条件相角条件4.1.4 根轨迹方程（3）例例2 判定判定si是否为根轨迹上的点。是否为根轨迹上的点。模值条件模值条件解解.相角条件相角条件4.1.4 根轨迹方程（4）对对s平面上任意的点，总存在一个平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足模值，使其满足模值 条件，但该点不一定是根轨迹上的点。条件，但该点不一定是根轨迹上的点。s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件）平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件）一定在根轨迹上。一定在根轨迹上。满足满足相角条件相角条件是是s点位于根轨迹上的点位于根轨迹上的充分必要条件充分必要条件。根轨迹上某点对应的根轨迹上某点对应的 K*值，应由模值条件来确定。值，应由模值条件来确定。4.2 绘制根轨迹的基本法则（1）法则法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点个数 n大于开环零点个数大于开环零点个数m，则有，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。4.2 绘制根轨迹的基本法则（2）法则法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。法则法则3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：奇数个零极点左侧奇数个零极点左侧 。4.2 绘制根轨迹的基本法则（3）法则法则4 根之和：根之和：证明：证明：n-m 2时，闭环根之和保持一个常值。时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：由代数定理：n-m 2时时,一部分根左移一部分根左移,另一部分根必右移另一部分根必右移,且移动总量为零。且移动总量为零。4.2 绘制根轨迹的基本法则（4）例例3 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。证明复平面的根轨迹为圆弧。4.2 绘制根轨迹的基本法则（5）例例3 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。证明复平面的根轨迹为圆弧。系统性能系统性能分析分析4.2 绘制根轨迹的基本法则（6）定理：若系统有定理：若系统有2个开环极点，个开环极点，1个开环零点，且在复平面存个开环零点，且在复平面存在根轨迹在根轨迹，则，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。课程小结4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 根轨迹根轨迹 闭环零点与开环零极点之间的关系闭环零点与开环零极点之间的关系 根轨迹方程根轨迹方程4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 法则法则1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 法则法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 法则法则4 根之和根之和 两个开环极点，一个开环零点时根轨迹的绘制两个开环极点，一个开环零点时根轨迹的绘制自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(13)4 1自动控制原理自动控制原理4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 根轨迹法根轨迹法课程回顾（1）根轨迹：根轨迹：系统中某一参数由系统中某一参数由 0 变化时，变化时，闭环闭环极极点点 在在 s 平面平面 相应相应变化所描绘出来的轨迹变化所描绘出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K*均有关均有关相角条件：相角条件：模值条件：模值条件：根轨迹方程根轨迹方程 K与与K*的关系的关系 闭环零点闭环零点 =前向通道零点前向通道零点+反馈通道极点反馈通道极点课程回顾（2）法则法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数n大于大于开环零点个数开环零点个数m时，有时，有 n-m 条根轨迹分支趋向于无穷远处。条根轨迹分支趋向于无穷远处。法则法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数根轨迹的分支数=系统阶数；根轨迹连续且对称于实轴。系统阶数；根轨迹连续且对称于实轴。法则法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：奇数个零极点左侧。奇数个零极点左侧。定理定理:若系统有若系统有2个开环极点，个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在个开环零点，且在复平面存在根轨迹根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。法则法则4 根之和：根之和：n-m2时，闭环时，闭环根之和为常数。根之和为常数。4.2 绘制根轨迹的基本法则（7）法则法则5 渐近线：渐近线：n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。证明证明:(1)根轨迹方程根轨迹方程4.2 绘制根轨迹的基本法则（8）法则法则5 渐近线：渐近线：n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。证明证明:(2)由相角条件由相角条件4.2 绘制根轨迹的基本法则（9）法则法则5 渐近线：渐近线：n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。例例1 系统开环传递函数系统开环传递函数为为 ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹。解解.实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2，0 渐近线：渐近线：解解.(1)例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2U-1,0（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）当）当Rel l1 1 =-1 时，时，l l3 3=?=?5.3 绘制根轨迹的一般方法 分离点：分离点：用根之和法则分析绘制根轨迹：用根之和法则分析绘制根轨迹：(2)5.3 绘制根轨迹的一般方法例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）当）当Rel l1 1 =-1 时，时，l l3 3=?=?4.2 绘制根轨迹的基本法则（11）法则法则6 分离点分离点 d：说明：说明：（无零点时右端为（无零点时右端为0）（对应重根）（对应重根）试根试根:例例3 单位反馈系统的开环传递函数单位反馈系统的开环传递函数为为 解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-,-2,-1,0 ，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：与虚轴交点：与虚轴交点：?5.3 绘制根轨迹的一般方法4.2 绘制根轨迹的基本法则（13）法则法则7 与虚轴交点：与虚轴交点：解法解法I：1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2）s=jw w 是根的点是根的点接例接例3 Routh：解法解法II：稳定范围稳定范围：0K34.2 绘制根轨迹的基本法则（14）法则法则8 出射角出射角/入射角入射角 （起始角（起始角/终止角）终止角）例例4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。4.2 绘制根轨迹的基本法则（15）例例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹(-,0 与虚轴交点：与虚轴交点：出射角：出射角：4.2 绘制根轨迹的基本法则（16）例例6 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解.渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20,0，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。分离点：分离点：试根得试根得：虚轴交点：虚轴交点：出射角：出射角：4.2 绘制根轨迹的基本法则（17）例例6 渐近线渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20,0 分离点分离点：虚轴交点虚轴交点：出射角出射角：稳定的开环增益范围稳定的开环增益范围：0 K 3.47254.2 绘制根轨迹的基本法则（18）例例6 已知已知，绘根轨迹，绘根轨迹;求稳定的求稳定的K范围。范围。实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：(-,-1,0,1解解.分离点分离点：出射角出射角：渐近线渐近线：4.2 绘制根轨迹的基本法则（19）例例6 虚轴交点虚轴交点：稳定的稳定的 范围范围：稳定的稳定的 范围范围：绘制根轨迹法则小结法则法则 5 渐近线渐近线法则法则 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 根之和根之和法则法则 6 分离点分离点法则法则 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 出射角出射角/入射角入射角自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(14)4-2,3 4-4,8（选做）（选做）4.2 绘制根轨迹的基本法则（20）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随 K 变化的规律。变化的规律。渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-0.5,1.75解解.(1)出射角：出射角：与虚轴交点：与虚轴交点：4.2 绘制根轨迹的基本法则（21）例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解.(2)分析：分析：（1）绘制当）绘制当K*=0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随 K 变化的规律。变化的规律。开环稳定开环稳定 闭环稳定闭环稳定负反馈未必一定能改善系统性能负反馈未必一定能改善系统性能自动控制原理自动控制原理4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 根轨迹法根轨迹法4.3 广义根轨迹（0）4.3.1 参数根轨迹参数根轨迹 除除 K*之外之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹解解.(1)渐近线：渐近线：实轴根轨迹：实轴根轨迹：(-,0例例2 单位反馈系统单位反馈系统:，a=0 变化，绘制根轨迹；变化，绘制根轨迹；x=1x=1时，时，F(F(s)=?)=?分离点：分离点：整理得：整理得：与虚轴交点：与虚轴交点：构造构造“等效开环传递函数等效开环传递函数”4.3.1 参数根轨迹（1）解解.(2)x=1 x=1 时，对应于分离点时，对应于分离点 d ，ad=2/274.3.1 参数根轨迹（2）解解 I.出射角：出射角：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-,-587.7,-27.7,0例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：4.3.1 参数根轨迹（3）例例3 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为解解II.入射角：入射角：实轴根轨迹：实轴根轨迹：(-,-587.7,-27.7,0 ,T=0,绘制根轨迹。绘制根轨迹。分离点：分离点：虚轴交点：虚轴交点：4.3 零度根轨迹（0）4.3.2 零度根轨迹零度根轨迹 系统实质上处于正反馈时的根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹 模值条件模值条件 相角条件相角条件绘制零度根轨迹的基本法则 法则法则 5 渐近线渐近线法则法则 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 3 实轴上的实轴上的根轨迹在根轨迹在偶数个零极点左侧偶数个零极点左侧法则法则 4 根之和根之和法则法则 6 分离点分离点法则法则 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 出射角出射角/入射角入射角4.3.2 零度根轨迹（1）例例5 系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，K*=0,变化变化,试分别绘制试分别绘制 0、180根轨迹。根轨迹。解解.实轴轨迹：实轴轨迹：(-,-1 出射角：出射角：分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：(1)180 根轨迹根轨迹(2)0 根轨迹根轨迹-1,)零度根轨迹（2）例例6 系统开环传递函数系统开环传递函数 ,分别绘制分别绘制 0、180根轨迹。根轨迹。解解.渐近线渐近线：实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹：-3,-1 出射角出射角：(1)绘制绘制 180 根轨迹根轨迹零度根轨迹（3）解解.渐近线：渐近线：实轴轨迹：实轴轨迹：(-,-3,-1,)出射角：出射角：(2)绘制绘制 0 根轨迹根轨迹 分离点：分离点：整理得：整理得：零度根轨迹（4）0根轨迹根轨迹渐近线：渐近线：出射角：出射角：分离点：分离点：绘制零度根轨迹的基本法则 法则法则 5 渐近线渐近线法则法则 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 3 实轴上的实轴上的根轨迹在根轨迹在偶数个零极点左侧偶数个零极点左侧法则法则 4 根之和根之和法则法则 6 分离点分离点法则法则 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 出射角出射角/入射角入射角关于根轨迹对称性的一个定理：关于根轨迹对称性的一个定理：若开环零极点均为偶数个，且关于一条平行于虚轴的直若开环零极点均为偶数个，且关于一条平行于虚轴的直线左右对称分布，则根轨迹一定关于该直线左右对称。线左右对称分布，则根轨迹一定关于该直线左右对称。课程小结课程小结 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.3.1 4.3.1 参数根轨迹参数根轨迹 构造等效开环传递函数构造等效开环传递函数 4.3.2 4.3.2 零度根轨迹零度根轨迹 注意与绘制注意与绘制180 根轨迹不同的根轨迹不同的3条法则条法则4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(15)4 9,10,11,12利用根轨迹分析系统性能（1）利用根轨迹法分析系统动态性能的基本步骤利用根轨迹法分析系统动态性能的基本步骤 绘制系统根轨迹；绘制系统根轨迹；依题意确定闭环极点位置；依题意确定闭环极点位置；确定闭环零点；确定闭环零点；保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能利用根轨迹分析系统性能（1）例例1 已知系统结构图，已知系统结构图，K*=0，绘制系统根轨迹并确定：绘制系统根轨迹并确定：使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；的取值范围；当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应？相应 K=?K=?复极点对应复极点对应 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时的时的 K 值及闭环极点位置；值及闭环极点位置；当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,ts)。利用根轨迹分析系统性能（2）解解.绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹 渐近线：渐近线：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-,-4,-2,0 分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：虚轴交点：虚轴交点：使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；的取值范围；利用根轨迹分析系统性能（3）使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的的取值范围取值范围 复极点对应复极点对应 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时的时的 K 值及闭环极点位置值及闭环极点位置依题，对应依题，对应 解根：解根：比较系数比较系数有：有：设设由根之和由根之和应有应有：利用根轨迹分析系统性能（4）当当 l l3 3=-5=-5 时，时，l l1 1，2 2=？相应？相应 K=?K=?当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,ts)解根：解根：试根试根令令4.4 利用根轨迹分析系统性能（5）视视 l l1,2 1,2 为主导极点为主导极点 当当 K K*=4 4 时，时，求求l l1,2,3 1,2,3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标(,ts)利用根轨迹分析系统性能（6）（1）绘制当）绘制当K*=0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）使复极点对应的）使复极点对应的 x=0.5(b=60 x=0.5(b=60o o)时的时的 K 及及 l=?l=?（3）估算系统动态性能指标）估算系统动态性能指标(,ts)例例2 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。解解.(1)(3)(2)当当 x=x=0.5(b=(b=60o)时时利用根轨迹分析系统性能（7）例例3 PID控制系统结构图如图所示。控制系统结构图如图所示。解解.(1)P:(3)PI:(2)PD:设设 ,K*=0,采用采用 控制控制,分别绘根轨迹。分别绘根轨迹。(4)PID:讨论：附加开环零、极点对系统动态性能的影响？讨论：附加开环零、极点对系统动态性能的影响？附加闭环零、极点对系统动态性能的影响根轨迹校正举例（1）解解.由由例例5.系统结构图如图所示系统结构图如图所示,设计设计Gc(s)使系统使系统 满足动态指标满足动态指标 。解出解出考虑物理可实现，设计考虑物理可实现，设计 为使为使 位于根轨迹上，须使之满足相角条件位于根轨迹上，须使之满足相角条件 取取 有有 可确定：可确定：根轨迹校正举例（2）验算指标验算指标计算得：计算得：调整调整 得：得：第四章小结第四章小结第四章小结自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(16)4 13,14,15,164 17,18(选作选作)