三十九-行程问题.doc

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三十九 行程问题
　　苏步青教授是我国著名的数学家。有一次在外国，他在电车上碰到一位有名的德国数学家，这位德国数学家出了一道有趣的数学题让他做，这道题是：
　　两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米．甲带着一只狗，狗每小时走5千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。问这只狗一共走了多少千米路？
　　苏步青略加思索，未等下电车就把正确答案告诉了这位德国数学家。
　　同学们，你们也来试一试，会解吗？
　　其实，这道题并不难，只要认真思考，就能找到解题的“窍门”。要求狗走的路程，速度已知，关键是求出狗所走的时间。经过认真审题，不难发现狗行走的时间与甲、乙二人的相遇时间是相等的。这就是一道行程问题应用题。
　　说到行程问题，同学们会说：“我们学过，行程问题不就是说速度、时间和路程三个量之间的关系吗？”
　　不错，已知三个量中的两个，根据关系式：速度×时间=路程，可求出第三个量。
　　但是，在解答行程问题时，往往不是直接给出两个条件。况且行程问题还涉及到运动的物体个数（一个、两个或三个物体运动等）、运动的方向（相向、背向、同向）、出发时间（同时、不同时）、地点（同地、不同地）、运动途径（直线、环绕）、结果（相遇、相距、交叉、追及）等变化多端的因素。因此，在解题时应根据具体情况作具体分析，寻找解题方法。
问题39．1小王骑车到城里开会，以每小时12千米的速度行驶，2小时可以到达。车行了15分钟后，发现忘记带文件，以原速返回原地，这时他每小时行多少千米才能按时到达？
分析要求小王返回原地后到城里的速度，就必须知道从家到城里的路程和剩下的时间。根据题意，这两个条件都可以求出。

　　从家到城里的路程：12×2=24（千米）。

　　答：他每小时行16千米才能按时到达。
问题39．2龟、兔进行1000米的赛跑。小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手。”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑。请同学们解答两个问题：
　　（1）它们谁胜利了？
　　（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？
问题39．3甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行。出发2小时后，两人相距54千米；出发5小时后，两人相距27千米。问出发多少小时后两人相遇？
分析 根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为（54-27）千米，即可求出两人的速度和。根据相遇问题的解题规律；
　　相隔距离÷速度和=相遇时间，
　　可以求出行27千米需要几小时。
解甲、乙二人每小时共行
　　（54-27）÷（5-2）=9（千米）。
　　从出发到相遇的时间为
　　5+27÷9=5+3=8（小时）。
　　答：出发8小时后两人相遇。
问题39．4有甲、乙、丙三人，甲每小时行3千米，乙每小时行4千米，丙每小时行5千米。甲从A地，乙、丙从B地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了10小时。求A、B两地之间的距离。
分析画出示意图39-1：

　　图39-1
　　图39-1中，甲、丙在C点相遇后，丙返回与乙在P点相遇。要求A、B之间的距离，只要知道甲、丙的速度和与甲、丙的相遇时间就好办了。甲、丙的速度和为（3+5）千米/小时，关键是要求出甲、丙的相遇时间。如图39-1所示，当甲、丙二人在C点相遇时，乙走到D点；丙返回和乙在P点相遇时，这时丙与乙各走了10小时。因此，乙、丙10小时各走的路程均可求出。丙比乙多走的路程为CP的2倍，故CP的距离可以求出。从10小时中去掉行CP用的时间就是甲、丙的相遇时间。
解 丙10小时比乙多走的路程：
　　5×10-4×10=10（千米）。
　　甲、丙二人的相遇时间：10-10÷2÷5=9（小时）。
　　A、B两地间的距离：（3+5）×9=72（千米）。
　　答：A、B两地间的距离为72千米。
问题39．5张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行5千米，而李军第一小时行1千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米，……（连续的奇数）两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。问甲、乙两地相距多少千米？
　　同学们，会解这道题吗？
问题39．6某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？
分析这道行程问题除了涉及到路程、船速、时间外，还涉及到水流速度，因此我们称它为“流水问题”。其数量关系式为：静水速度+水流速度=水速度。
　　静水速度-水流速度=逆水速度。
　　根据和差问题的算法，可得到下列关系式：
　　（顺水速度+逆水速度）÷2=静水速度。
　　（顺水速度-逆水速度）÷2=水流速度。
　　因此，本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出。但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度。
解船在静水中的速度是
　　（18÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）。
　　暴雨前水流的速度是
　　（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）。
　　暴雨后水流的速度是
　　180÷9-15=5（千米/小时）。
　　暴雨后船逆水而上需用的时间为：
　　180÷（15-5）=18（小时）。
　　答：逆水而上需要18小时。
问题39．7某汽艇往返于甲、乙两地，在静水中往返一次所花费的时间和在流水中往返一次所花费的时间是否相等？
问题39．8一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？
分析画出示意图39-2。

　　如图 39-2，火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（360米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可求出火车的速度。
解火车的速度是360÷（20-8）=30（米/秒）。
　　火车长30×8=240（米）。
　　答：这列火车长240米。
问题39．9问题39．8中的这列火车如果跟长260米、时速为72千米的列车迎面错车而过，需要多少秒钟？
问题39．10甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米。相遇以后继续以原速前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。问A、B两地相距多少千米？
分析设A、B两地之间的距离为“1”，第一、二、三次相遇的地点分别为P、M、N，经过演示画出示意图39-3。

　　图39-3
　　要求A、B两地之间的距离，只要找到MN占全程的几分之几就好办了，所以，解题的关键就是要求出40千米的对应分率。
　　甲、乙两车的速度比为45∶36，即5∶4。根据相遇问题的数量关系，

　　两车共行了全程的3倍。因此，从出发到第二次
解 甲、乙两车的速度比为45∶36=5∶4。

　　答：A、B两地相距90千米。
　　行程问题虽然千变万化，但是“万变不离其宗”。只要我们认真审题，分析数量关系，再借助画图、演示、设“1”等手段，是能找到解题的“窍门”的。
练习39
　　1．一辆汽车从甲地到乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达。但行到路程的一半时，机器发生故障，用5分钟修车。若仍按原定时间到达，那么行驶余下的路程，每分钟要比原来快多少米？
　　2．从李丹的家到长途汽车站有3千米。现在从家往车站去，如果用每小时4千米的速度行走，在汽车发车前17分钟到达车站；如果想在汽车发车前2分钟到达车站，那么需用每小时多少千米的速度行走？
　　3．在35米长的游泳池里，甲和乙分别用每秒2米和1.5米的速度同时从一端的起点出发。经过几秒钟后甲游到端点返回与乙相遇？
　　4．芳芳和园园分别在60米跑道的两端同时出发来回跑步。芳芳每秒钟跑2米，园园每秒钟跑3米。他俩不停地跑了5分钟。问在这段时间内共相遇了多少次？
　　5．建新号船顺水而下行200千米要10小时，逆水而上行120千米也要10小时。那么，在静水中航行280千米需要几小时？
　　6．铁路旁边与铁路平行的小路上有甲、乙两个人向北行走。当一列长180米的火车向南驶来时，甲站立观看，火车从他面前驶过用了10

各是多少？
　　7．A、B两地相距21千米，甲从A地出发，每小时行4千米，同时乙从B地出发，每小时行3千米，相向而行。在途中相遇以后，继续相背而行。各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇。问两次相遇点相距多少千米？
　　8．如图39-4所示，一条路，PA与PB距离的比为1∶2。张明上午9点钟以每小时4千米的速度从A出发步行到P，赵亮在同一时刻骑车以每小时10千米的速度从B到P，比张明早20分钟到达P地。

　　（1）A、B间的距离是多少千米？
　　（2）张明到达P地是几时几分钟？

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