电工理论论文报告-萨伦和凯低通滤波器设计.doc

研究生课程（论文类）试卷
2 015 /2 016 学年第一学期
课程名称： 现代电工理论
课程代码： 32000006
论文题目： 萨伦和凯低通滤波器设计
学生姓名：
专业﹑学号：
学院： 光电信息与计算机工程
课程（论文）成绩：
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日期： 年 月 日
课程（论文）题目：萨伦和凯低通滤波器设计
内容：
萨伦和凯(Sallen&Key)低通滤波器设计

一、n阶滤波器传递函数
根据线性系统理论，n阶滤波器的传递函数的一般形式为
(1)
（1）式中，m≤n；一个复杂的传递函数可以分解成几个简单的传递函数的乘积。上式中，若n为偶数，可分解为n/2个二阶滤波器的级联；而若n为奇数，则可分解成一个一阶滤波器和(n-1)/2个二阶滤波器的级联。一阶、二阶滤波器是构成高阶滤波器的基本单元，二阶滤波器单元传递函数可以写为：，其中分子系数、、决定了传递函数的零点位置，即决定滤波器类型(低通、高通、带通、带阻)，分母系数、决定滤波器的特性。

二、萨伦凯（Sallen-Key）电路
若应用图1中的正反馈基本电路，反馈网络是带通函数，传输函数零点在 和处。对于低通二阶滤波器，、的两个传输零点均在处。所以、都可以用一臂一个元件的无源梯形网络实现。

图1
图2a、b是可供选择的反馈带通网络。
由图2a、b采用网络分析或拓扑发分别可得：

图2
(2)
(3)

代入得整个电路的传输函数
(4)
(5)
(6)
电路如图3所示，称它为萨伦-凯电路。设计综合时，根据技术要求先找出逼近函数，也即、、等是给定的，不过根据给定的要求确定以及比值 仍有许多选择。这些选择可根据灵敏度大小、制造的方便性、运放实际放大倍数非无穷的影响等因素加以考虑。以下举四个方案粗略地加以比较。

图3
方案一：
等参数方案，即令，
由式（5）、式（6）得
(7)
即
(8)
若令，则
(9)
(10)
所以这个方案增益常数 也跟着确定了，如与给定的不符，可设法调整。
方案二：
选
令，由式（10-17）、（10-18）得
(11)
(12)
解得
(13)
是极大值，当时，。
因此这个方案当函数值较高，例如时，
，尽管灵敏度较低，但从制造角度来看并不吸引人。
方案三：
折中地将取为，称为萨拉嘎（saraga）方案。
令，解得
(14)
(15)
(16)
方案四：
取代入（10-17）、（10-18）得
(17)
(18)
(19)
此方案当高时，比值也太大。
由式（5）得
由式（6）得
(20)
同理得
(22)
(23)
(24)
(25)
其中
(26)
(27)
(21)
(28)
将上述方案参数各代入（19）~式（26）计算，列表如下表所示。从表彰数据看，似乎是第二个方案的灵敏度低，但方案二当值较高时，元件分布性过大，实际综合性能还是方案三最好。这里只作粗略比较，严格分析应考虑到放大倍数的有限性的影响，还应从统计观点计算灵敏度和元件偏差率，函数值等也都有关。
表一 各种方案灵敏度的比较
方案

从上述对萨伦-凯电路的讨论中还可获得有源RC电路的一些十分有用的结论：
（1） RC有源电路中，电阻和电容总是以乘积或电阻比的形式出现。如果同时将所有电阻增大倍，电容缩小倍，对传输函数没有影响。所以上述讨论实现方案时可以任意令（或）最终任可以变为实用的值；
（2） 用 替代中的后，相当于频率增大倍。例如二阶低通函数
(29)
这样替代后
(30)
由变为。即增大倍。实际上如果将所有电容（或电阻）减少倍，就相当于将替代。所以去归一化时，只需将所有电容减少适当倍数就可以了。
（3） 增益常数的调整。当综合获得的大于给定的值时，只需采用分压的办法。如下图所示，当大于给定值倍时，可使
(31)
当比要求的小时，需要增强增益，可以采用下图所示的电路。其中，
(32)
就是需要增强的倍数

图4

图5
另一种电路结构表示如下：
R3
R2
C1
C4
Ui
Uo
I2
I1
I3
R4
R1
Ua
节点a
图6压控压源双二次型典型电路
由理想运算放大器性质可知，“虚短”时U+=U-，“虚断”时I+=I-=0。在图（6）中我们可看到，令即为放大器零输入的电压增益。设R2、R3、C1、C4的导纳分别为Y1、Y2、Y3、Y4，在节点a处列KCL方程
(33)
将带入式（32）方程可得
(34)
式（33）中，当、、、（不同器件的导纳）取不同的值时就代表不同的滤波器。低通滤波器的传递函数为
(35)
其中为低通滤波器的截止频率，Q为品质因数。、为电阻元件，、为电容元件，。
三、电路设计及仿真
单级萨伦凯：
带通从0到1000Hz，带通纹波系数1，放大倍数2倍，品质因数0.707
（1）如果要设计的低通滤波器的转移函数形式为
(36)
(37)
巴特沃斯低通滤波器传递函数的分母多项式为，对比传递函数分母可得。
(2)低通滤波器的截至角频率
(38)
(39)
(3) 根据给定的Q，求出K：
(40)
(41)
取K=2
(4) 按照书上课本方案四设计
取将其代入式(5)(6)可求得，。
（5）根据求出的K值，确定Ra和Rb；
所以，又知可求得

四、Pspice软件仿真分析
搭建仿真电路如下图：单级：

图7 CAD电路图
对图7所示电路进行频域扫描，我们选取1v的Vac作为激励源，扫描方式为10倍频对数（Logarithmi\Decade），起始频率为10Hz，截止频率为1000Hz，扫描结果如图8所示

图8.1 幅频特性

图8.2 相频特性
由相频特性可以看出，1kHz时，相角大约是衰减到-90dB

由课本例10-11可以得到如下两级级联滤波电路

图9 两级级联

图10.1 幅频响应

图10.2 相频响应
由幅频响应可以得到中心频率=318Hz，即=2π=2000rad/s,增益为20log（1）=0dB,符合设计要求。此时相角衰减至-180dB

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