资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，抛物线的开口向上，与轴交点的横坐标分别为和3，则下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．方程的解是，
C．当时， D．当，随的增大而增大
2．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121
3．袋中有5个白球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为，则x为
A．25 B．20 C．15 D．10
4．下列说法正确的是（ ）
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
C．明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似．（ ）
A． B． C． D．
6．平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是( )
A．P(－2，－3)，Q(3，－2) B．P(2，－3)，Q(3，2)
C．P(2，3)，Q(－4，－) D．P(－2，3)，Q(－3，－2)
7．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．极差
8．如图，中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题为假命题的是( )
A．直角都相等 B．对顶角相等
C．同位角相等 D．同角的余角相等
10．如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且，连接EF交BD于点O连接AO.若,，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．75°
11．如图，在△ABC中，点D在AB上、点E在AC上，若∠A=60°，∠B=68°，AD·AB=AE·AC，则∠ADE等于
A．52° B．62° C．68° D．72°
12．若n＜+1＜n+1，则整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若反比例函数为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是_____．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S1﹣S2的值为_____．(结果保留π)
15．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．
16．如图，圆形纸片⊙O半径为 5，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．
17．要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一点E，连接AE，将△ADE绕点A旋转90°得△AFG，连接EG、DF．
（1）画出图形；
（2）若EG、DF交于BC边上同一点H，且△GFH是等腰三角形，试计算CE长．
20．（8分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A(3，0)，B(4，2)，函数（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例的函数表达式：
（2）请判断平行四边形OABC对角线的交点是否在函数（k≠0）的图象上．
21．（8分）如图，把点以原点为中心，分别逆时针旋转，，，得到点，，．
（1）画出旋转后的图形，写出点，，的坐标，并顺次连接、，，各点；
（2）求出四边形的面积；
（3）结合（1），若把点绕原点逆时针旋转到点，则点的坐标是什么？
22．（10分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？” .其大意是:如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长.
23．（10分）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量(件)与销售单价(万元)之间存在着如图所示的一次函数关系
（1）求关于的函数关系式．
（2）试写出该公司销售该种产品的月获利(万元)关于销售单价(万元)的函数关系式，当销售单价为何值时，月获利最大?并求这个最大值．(月获利＝月销售额一月销售产品总进价一月总开支)
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
25．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F，且FC＝FB．
（1）求证：PD∥CB；
（2）若AB＝26，EB＝8，求CD的长度．
26．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】由图象与x轴的交点坐标即可判定下列说法是否正确．
【详解】解：∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为-1、3，
∴对称轴是直线x==1，方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3，故A、B正确；
∵当-1＜x＜3时，抛物线在x轴的下面，
∴y＜0，故C正确，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
∴当x＜1，y随x的增大而减小，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线和x轴的交点坐标问题，解题的关键是正确的识别图象．
2、C
【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C
考点：一元二次方程的应用
3、B
【解析】考点：概率公式．
分析：根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率．找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：从中任意取一个，恰为红球的概率为4/5，
,那从中任意取一个，恰为白球的概率就为1/5，
据题意得5/(5+x)=1/5
，解得x=1．
∴袋中有红球1个．
故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= m/n
4、B
【分析】根据概率的求解方法逐一进行求解即可得.
【详解】A.无论一颗质地均匀的骰子多少次，每次抛掷出5点的概率都是，故 A错误；
B.抛掷一枚图钉，因为图钉质地不均匀，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故 B正确；
C.明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的可能性降雨，故 C错误
D.某种彩票中奖的概率是1%，表 明 中奖的 概 率为1%，故 D错误
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了对概率定义的理解，熟练掌握是解题的关键.
5、A
【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为1、、，
只有选项A的各边为、2、与它的各边对应成比例．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
6、C
【解析】根据反比函数的解析式y=（k≠0），可得k=xy，然后分别代入P、Q点的坐标，可得：
-2×（-3）=6≠3×（-2），故不在同一反比例函数的图像上；2×（-3）=-6≠2×3，故不正确同一反比例函数的图像上；2×3=6=（-4）×（－），在同一反比函数的图像上；-2×3≠（-3）×（-2），故不正确同一反比例函数的图像上.
故选C.
点睛：此题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题关键是求出函数的系数k，比较k的值是否相同来得出是否在同一函数的图像上.
7、C
【解析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．
8、B
【分析】由题意根据勾股定理求出BC，进而利用三角函数进行分析即可求值.
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9、C
【解析】根据直角、对顶角的概念、同位角的定义、余角的概念判断.
【详解】解：A、直角都相等，是真命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题；
D、同角的余角相等，是真命题；
故选：C.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10、C
【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE≌△DOF，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO，即O为BD的中点，进而可得AO⊥BD，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD的度数.
【详解】∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC
∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF，
又∵AE=CF
∴BE=DF
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（AAS）
∴OB=OD
即O为BD的中点，
又∵AB=AD
∴AO⊥BD
∴∠AOD=90°
∴∠OAD=90°-∠ODA=65°
故选C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.
11、A
【分析】先证明△ADE∽△ACB，根据对应角相等即可求解.
【详解】∵AD·AB=AE·AC，
∴,又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠C=180°-∠A-∠B=52°，
故选A.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
12、B
【解析】先估算出的大小，再估算出+1的大小，从而得出整数n的值．
【详解】∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴整数n为3；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的估算，理解算术平方根的定义，是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，即可求解.
【详解】解：因为反比例函数为常数）的图象在第二、四象限．
所以，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质，（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
14、π
【分析】如图，设图中③的面积为S1．构建方程组即可解决问题．
【详解】解：如图，设图中③的面积为S1．
由题意： ，
可得S1﹣S2＝π，
故答案为π．
【点睛】
本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.
15、﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．
【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．
16、16
【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.
【详解】解：如图，点A为上面小正方形边的中点，点B为小正方形与圆的交点，D为小正方形和大正方形重合边的中点，
由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD为等腰直角三角形，
∵⊙O半径为 5，根据垂径定理得：
∴OD=CD==5，
设小正方形的边长为x，则AB=，
则在直角△OAB中，
OA2+AB2=OB2，
即，
解得x=2，
∴四个小正方形的面积和=.
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
17、x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
18、x1＝﹣1或x2＝1．
【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．
【详解】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（1﹣1）＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x＝﹣1或x＝1时，函数值y＝0，
即﹣x2+2x+m＝0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝1．
故答案为：x1＝﹣1或x2＝1．
【点睛】
本题考查了关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）CE=3-
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据旋转的性质得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=，再根据等腰三角形的性质得到GF=FH==DE，故可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）由旋转得，AD=AF=5，DE=GF
∵∠BAD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴A、B、F在同一直线上
∴BF=2=BH
∴△BHF为等腰直角三角形，
∴HF==,
∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°
∴GF=FH==DE
∵CD=AB=3
∴CE=CD-DE=3-．
【点睛】
此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
20、（1）y＝；（2）平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上，见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质结合点的坐标特征先求得点C的坐标，继而求得答案；
（2）根据平行四边形性质求得对角线交点的坐标，再判断.
【详解】（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，B（4，2），
∴C（1，2），
∵点C（1，2）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴k＝xy＝2，
∴反比例的函数表达式y＝；
（2）∵四边形OABC是平行四边形，
∴ 对角线的交点即为线段OB的中点，
∵O（0，0），B（4，2），
∴ 对角线的交点为（2，1），
∵21=2=k ，
∴平行四边形OABC对角线的交点在函数y＝的图象上．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21、 (1)详见解析, ，，;(2)50;(3)
【分析】(1)根据题意再表格中得出B、C、D，并顺次连接、，，各点即可画出旋转后的图形，写出点，，的坐标即可．
(2)可证得四边形ABCD是正方形，根据正方形的面积公式：正方形的面积=对角线×对角线÷2即可得出结果．
(3)观察(1)可以得出规律，旋转后的点的坐标和旋转前的点横纵坐标位置相反，且纵坐标变为相反数．
【详解】解：（1）如图，
，，
（2）由旋转性质可得：
，
∴，
∴四边形ABCD为正方形
，
∴
（3）根据题(1)可得出
【点睛】
本题主要考查的是作图和旋转的性质，根据题目要求准确的作出图形是解题的关键．
22、正方形城池的边长为300步
【分析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长．
【详解】依题意得AB=30步，CD=750步.
设AE为x步，则正方形边长为2x步，根据题意，
Rt△ABE∽Rt△CED
∴ 即.
解得x1=150，x2=-150（不合题意，舍去），
∴2x=300
∴正方形城池的边长为300步.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用.
23、（1）；（2）当x=10万元时，最大月获利为7万元
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=单价利润×销售量-总开支”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值．
【详解】（1）设y=kx+b，
将点（6，5）、（8，4）代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）根据题意得：
z=（x-4）y-11
=（x-4）（-x+8）-11
=-x2+10x-43
=-（x-10）2+7，
∴当x=10万元时，最大月获利为7万元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质是解题的关键．
24、 (1)证明详见解析；(2)．
【解析】试题分析：（1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD=DF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AB=FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．
试题解析：（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；
（2）解：∵∠BAC=90°．
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=1．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则，
解得：r=．
∴CE=．
考点：切线的判定；圆周角定理．
25、（1）证明见解析；（2）CD＝1．
【解析】（1）欲证明PD∥BC，只要证明∠P＝∠CBF即可；
（2）由△ACE∽△CBE，可得，求出EC，再根据垂径定理即可解决问题.
【详解】（1）证明：∵FC＝FB，
∴∠C＝∠CBF，
∵∠P＝∠C，
∴∠P＝∠CBF，
∴PD∥BC．
（2）连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED，∠AEC＝∠CEB＝90°，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴，
∴EC2＝144，
∵EC＞0，
∴EC＝12，
∴CD＝2EC＝1．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.
【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）过点P作PH⊥AB于点H
在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH
∴AB=AH-BH=PH=50
解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
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