统计量表汇总.doc

名称
符号
公式
意义
应用
其他
众值 Mode
M0

中位值Median
Md

均值Mean

离异比率Variation
质异指数（Index of qualifative variation)

检验非众数的比例

F检验
F

检验用X表示Y的准确性：解释误差/未解释误差
多元回归中B是否为0
F越大越显著
sigF检验
sigF

检验F的显著水平

越小越显著
置信度

置信度=1-

T检验
t

与F检验类似，t专用二分变量
多元回归中bj是否为0
T越小越显著
SigT检验
sigT

检验T的显著水平

越小越显著
相关系数
r

两个变量之间的相关程度

越接近越显著
容限度tolerance
tolerance
Tolerance=1-
Xi作为自变量对其他自变量回归时所得到的余差比例，代表Xi与其他变量信息的重复性。

Tolerance越大，Xi与其他变量的信息重复性越小，Xi越独立，对Y的边际解释越大。>0.1
VIF

VIF=1/tolerance

VIF越小对Y的解释力越大，<10
四分位差（interquartile range）
Q
Q=Q3-Q1

标准差（standard deviation）
S

表示总样本对平均量的平均的偏离量。

S越小样本越集中
标准误

方差（variance）
S2

S2越小样本越集中
正态分布（normal distribution）

X以均值为中心，在左右两边以S为单位分布

标准值（standard score）
Z

表示X偏离的距离，以S为单位

标准正态分布（standard normal distribution）

标准正态分布中，S=1，=0.

尤拉Q系数（Yule's Q）
Q

计算二分变量间的关系
定类—定类（李书70）
越大表示关系越强
消减误差比例测量法（propertionate
reduction in error）
PRE
PRE=1-E2/E1
表明用E2来表示E1所能消减的百分误差
李书78
PRE越大，表明用E2表达E1的可靠性越高。
系数

表明用x来表示y所能消减掉的误差比例
李书81定类—定类或定类—定序
越大表示x的说明程度越高。
系数

表明用x来表示y所能消减掉的误差比例。其中x为自变量，y为依变量
李书81定类—定类或定类—定序
同上
Tau-Y相关系数
Tau-y

表明两个定序/定类变量之间的相关关系
李书84 定类—定类或定类—定序
越大相关性越高，关系越密切
Gamma系数
G

表示两个定序变量之间的相关关系
李书86 定序——定序
越接近正负1，相关程度越大
dy系数
dy

表示两个定序变量之间的相关关系
李书88 定序——定序
越接近正负1，相关程度越大
皮尔逊积矩相关系数
r

表示两个定距变量之间的相关关系
李书105 定距——定距
越大相关性越强
相关比率
Eta2

表示定类变量与定序/定类变量直接的关系
定类——定序
定类——定类

卡方检验

表示定类变量与定序/定类变量直接的关系
李书183 定类——定类 定类——定序
卡方越大表明相互关系越强
确定系数
R2

代表回归方程中变量对y的解释能力

确定系数应尽量接近1
多元相关系数
R

表明y与所有x之间的多元线性相关程度

R应尽量接近1
偏确定系数

表示x2对y的边际影响

偏相关系数

在控制的条件下，与的相关程度

协方差

COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
考察自变量是否相互独立

协方差越大，越不独立
反印象相关矩阵

矩阵中的值是负的偏相关系数，如果值比较大，则不适合做因子分析。

Bartlett球体分析

分析是否做因子分析，应该有检验值P<0.0001

KMO测量

分析是否是合作因子分析，KMO越接近于1越好，0.5以上可以接受。

方差分析

分析两组或两组以上的数据之间的相似程度。两组数据（x,y）将生成三个平均数：第一组数据平均a；第二组数据平均b；总数据平均c。因此得到三组离差：总离差，组内离差，以及组间离差
虚拟变量

当一个变量X，共有N（比如是5）个值，例如，民族为汉、蒙、回、满、藏时，不能够将之变成定序变量，而且在统计中出现的非整数无法解释（如，3.5究竟表示五个变量之间怎样的比例，就完全无法解释了）。因此必须将有五个值的一个变量变成五个不同的变量，分别为汉族=0/1，蒙古族=0/1，回族=0/1，满族=0/1，藏族=0/1，虽然变量的数目变多了，但是关系变清晰了。但五个虚拟变量其实没有必要，因为不存在五个变量，即X1——X5都为0的情况。所以删去其中任何一个变量，只留下N-1个变量，当四个变量都为0时，第五个必为1。
***虚拟变量必为0/1变量！

抽样分布

标准误
二项分布

标准误
Standard normal distribution

Z=x对应的值表示当Z=x时对应的的0—x之间的总面积的大小S,

基本公式：
（1）

旧闻梳理：
1，泊松分布：， k为正整数；
标准正态分布概率：
正态分布概率为：，
正态分布的可加性：
e ： （)
泊松公式： 当n很大，p很小时，有
Gamma函数：
Gamma分布： 当f(y)的概率密度满足如下公式时，即为Gamma分布：
，其中有
Gamma分布依据k值的不同，曲线如右。
2，卡方分布： 对于独立的标准正态分布函数X，函数Z=满足分布，且有，其中X~N(0,1)
卡方分布的密度函数为。卡方分布的数学期望与方差为：

，其中，有

当n足够大时，有
卡方分布的可加性，

3，t检验需要考虑自由度df，而Z检验不需要，因为z检验时的标准误中的是总体参数，与sample大小n无关。而
T检验中的s是样本参数，与sample大小有关。
4，X的n次方期望 就是密度函数乘x^n积分！！！因为x的分布不随其n次方改变，因而密度函数不变，只是x增大而已。
5，t分布的方差为v/(v-2),v为自由度（通常v=n-1),其期望为0，具体证明：
卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函数的性质让我们很容易计算出X的任何阶期望 具体方法是:
X的n次方期望 就是密度函数乘x^n积分 这时你把x^n放进密度函数你的积分函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把分式下面的Gamma函数和1/2^(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布 对1积分为一)然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的x^n的期望了. 设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布 X和Z独立 那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0
所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)
其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)
所以D(T)=N/(N-2)
6,t 分布的概率密度函数为：
, t函数不是正态分布，但当n趋近于无穷大时，可有：，即接近于标准正态分布。
T分布的表达式为：，其中X~N(0,1),Y~
7，F分布的概率函数为：
F的定义函数为，其中U与V分别为卡方分布，即为，，即F分布可以用来描述两个分布的比。
有：当F~F()，必有1/F~F（)。表示，在n确定的情况下，F点右方曲线所封闭的面积为1-α。因此，F函数有两个自由度，
8，Z、T、、F、的一些定理。
（1），正态总体为N（），样本为X，为样本均值，有~N（），则有以下定理：
定理A：，且与S相互独立。（证明需用到矩阵，见《概率论与数理统计》P146）
定理B：。（证明见《概率论与数理统计》P143）
(2），

，相互独立，其均值分别为与，方差为S1与S2，则有：
，且当==时，有。其中，有
证明，由N函数与函数的可加性可知，有：
，因而有U=。
有V=~。
则有~t(n1+n2-2)。即为
9，样本均值的方差=总体方差/n的证明（即标准误的证明）
标准误（standard error)=。
因此有

10，对比分布中效应量ES的证明：ES表示表示，是实验组值与对照组值的差，比上对照组的标准差。表示的是实验组与对照组之间，不受样本大小影响的标准间距，（或者说是实验组与对照组之间的总体标准间距）。ES没有具体的统计意义，也不实际存在，其值为。因为ES本身不受样本大小的影响，因而可以自由在不同大小的样本中进行变换，是一个总体恒量。
此时的对照组总体的标准差满足Z分布的可加性，有，选取样本之后的样本总量（DF）为，其标准误为，这里用到了样本标准误，之所以是n-1而不是n，是因为为保证样本均值为μ，已经去掉了一个自由度。
因而有：ES====
11，

证明秩和检验的均值和方差：
秩和检验中在数一组有n1个，二组有n2个，则有这些数的分布为1至（n1+n2）。
现在检验数组I的秩和的均值和方差，得到，其秩的和分布于，且
是一个等差数列，等差为1（即自然数列）。则有其均值为：

其方差为

{
-}/()-=

12，Dependent sample t test 方法(关联样本t检验）：
A，将相互对应的个体一一对应，求出其差值为D（difference scores）；
B，求出D的平均值MD，其理论值为。
C，求出D的方差为SD2，其标准误为
D，构建t函数，t值为：，其自由度为

13，构建Wilcoxon Tm 检验的方法
A，将相互对应的个体一一对应，求出差值D，并根据D的绝对值|D|开始排行，由1开始，直到最大；其中为0者全部去掉，不参与排序。由此得到的即为Rank值，Rank的最大值为np；
B，根据D的正、负将Rank分为R+与R—，任何一组都可以用作计算。
C，任何一组中，有其均值为，其标准差为，
D，构建Tm检验的z函数，得到。
14，两样本对比方差的方法
A，对两样本分别求方差，为与，两样本大小分别为n1与n2；
B，求F值为：,自由度为（n1，n2）；
C，求对应自由度与α的F值，如果所求F在其右方，为拒绝域，左方为接受域。
与其他分部不同，F分部的中心值是1，即两个方差相同。F值越大越右偏，一般只计算F大于1的状态。

15，多样本的方差对比与ANOVA
一、多样本的方差对比。

接下来可以用F分布的方法来测量F值，确定是否可以接受MSB=MSW，从而是否能接受各样本方差一致。

二、多样本中任何两个样本均值的对比——protected t test。
Protected t test 只有在H0被推翻在之后才能使用，目的是找出导致H0失败的那个异己项。为验证任何两个样本之间的均值是否一致，将构造t函数。此时：
，且有
三、关联抽样的ANOVA

四、多样本方差对比中的Kruskal-Wallis H检验:非参数分析 for independent samples
Kruskal-Wallis H检验是秩和检验的升级。秩和检验只用来检验均值而此时可以用来检验方差。首先按照秩和检验的方法将数据排序，得到

由得到的H值进行对比，若在点右侧即为拒绝，表明方差不统一，总体间有差异。

五、多样本方差对比中的Friedman Fr 检验：非参数分析 for dependent samples

Friedman Fr非参数检验的目的在于对每一块，即每一个可比较的实验组单独列秩，从而保证检验的合理性。

16， 二因素实验的方差分析
二因素实验中的方差分析应对每一个因素而存在。二因素中，一个因素由行表示，一个由列表示，因而产生五个方差或离散分布：总方差SST,行方差SSR，列方差SSC，以及行列方差SSRC和组内方差SSSW。其中组内方差又是胞内方差，因为n个行与k个列共同产生了n*k个细胞。（参见dataP431）
有：
二因素方差之中的t检验与之前相同，不同的是，n为每一个细胞内的个体数。

17，回归分析中的t检验，有相关方差,其中，且有
标准误，则可构建t函数为：，以确定是否为0.

18，回归中的correlation分析，有
，即为皮尔逊集聚；

其显著性由t检验可测，有：
，其中
在进行非参数分析时，用到斯皮尔曼rs分析，分别对Y与X定秩，求RY-RX的差为D，得到：，