齐次方程高等数学微积分.pptx

例例1.解微分方程解微分方程解解:代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分得得故原方程的通解为故原方程的通解为(当当 C=0 时时,y=0 也是方程的解也是方程的解)(C 为任意常数为任意常数)例例 2 2 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例3.3.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.例例 4 4 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为例例 5 5 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图得微分方程得微分方程由夹由夹角正角正切公切公式得式得分离变量分离变量积分得积分得平方化简得平方化简得抛物线抛物线6.2.3 6.2.3 可化为齐次的方程可化为齐次的方程为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义有唯一一组解有唯一一组解.得通解代回得通解代回未必有解未必有解,上述方法不能用上述方法不能用.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.解解代入原方程得代入原方程得分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为例例6求下列微分方程的通解：求下列微分方程的通解：解解代入上式代入上式,并整理得并整理得令令则则再令再令则则两边积分得两边积分得原方程化为原方程化为变量还原得通解变量还原得通解小结小结:齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.练练 习习 题题练习题答案练习题答案