3第三讲图形问题的解题技巧及应用A.doc

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图形问题的解题技巧及应用（一）
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图形问题是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现，重点名校选拔考试题目分值较高，并且难度有所增加，题型形式多样化，本讲主要是举例学习解答平面几何图形问题的方法与技巧，运用等积变换、面积一半的应用、差不变的原理、加减法、比例法、构造法、代数法与整体思考、平移旋转与对称法、定理应用等方法解答图形问题，训练学生良好的数学思维和培养逻辑推理的能力。
一、 等积变换法
这里的积指的是面积，任何直线型图形都可以分解成若干个三角形，三角形是最基本图形，等积变换里主要研究的是三角形面积变换。
等积变换的性质：
1、 等底等高：等底等高的两个三角形的面积相等。
2、 两条平行线之间的距离相等。
3、 等底比高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高之比。
4、 等高比底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底之比。
二、 面积一半的应用
1、 在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得到的三角形的面积等于整个图形面积的一半。
2、 平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所分成的四个三角形中，相对的两个三角形的面积之和相等。
3、以下图形中，阴影部分面积都占整个图形面积的一半：

三、差不变的原理
1、在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2、差不变的原理：若甲比乙的面积大A，则甲和乙同时加上或减去相等的面积，他们的差不变。
3、蝴蝶原理：梯形的两条对角线所分成的四个三角形中，两个腰上的三角形的面积相等。
4、在解有关立体图形的问题时，常常需要抓体积不变这个不变量来解题，同时需要灵活运用方程组的思想和方法来解决问题。
四、加减法
认真观察，所求图形的面积是哪几个图形相加，再减去哪几个图形的面积就可以得到，通过这种加、减就能求出所求图形面积的方法，叫做加减法。
五、比例法
1、 如果两个长方形的长（或宽）相等，那么它们面积之比等于它们的宽（或长）之比。
2、 如果两个三角形（或平行四边形）的底（或高）相等，那么它们的面积比等于它们的高（或底）之比。
3、平行四边形被分别平行于一组相邻的两条直线分成的四个平行四边形中，相对的两个平行四边形的面积之积相等。
4、任意四边形的两条对角线所分成的四个三角形中，相对的两个三角形的面积之积相等。
5、圆与正方形的比例关系
（1）圆的内接正方形或正方形的外接圆的比例关系。

（2）正方形的内切圆或圆的外切正方形的比例关系。

六、构造法
1、正方形的面积等于对角线平方的一半
2、等腰直角三角形的面积等于斜边平方的四分之一
七、整体思考与代数法
1、解数学题，常常需要根据问题整体结构的特点，抓住主要矛盾，从整体看问题纵观全局研究问题，充分考虑整体与个体、大整体与小整体之间的关系，以便找到解决问题的途径。这种思考问题的方法在竞赛和择校中经常应用。
2、代数法：用方程的思想和方法解决图形问题
3、整体分析：相当于方程中的设参数（辅助未知数）
八、几何变换法
在求一些面积时，有时需要把某个图形进行变换，变成另一个比较方便求的图形，常用的几何变换法有：平移、旋转、对称法 。
九、定理法
1、勾股定理：两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方。（在RtΔ中，a2+b2=c2）
2、 勾股定理逆定理：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形。
3、 等角定理：具有同角（或等角）的两个三角形的面积比等于夹住这个同角或等角的两条边的比的乘积。
4、 平行线分线段成比例定理：一个三角形被平行于底边的一条直线所分成的两个三角形中，大小两个三角形的对应边成比例，并且大小两个三角形的面积之比等于对应边的比的平方。
5、 共边定理一：如图所示，在△ABC中，P为BC上的一点。
则。

6、蝶形原理：任意一个凸四边形两条对角线连接后形成的四个三角形中，相对的两个面积之积相等。
7、阿基米德原理：物体侵入水中的体积等于物体所排开的水的体积，需考虑：
① 怎样放置 ②是否淹没 ③是否溢水
精典例题
例1：如图，将△ABC的BA延长一倍到D，CB延长3倍到E，AC延长2倍到F。如果△ABC的面积是4平方厘米，求△DEF的面积是 平方厘米。

A

例2：如图，BD、CF把长方形 ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，绿色四边形面积是多少平方厘米？(成外小升初试题）

例3：在三角形ABC中，C角是直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？（成都嘉祥外国语学校奖学金考试题）

例4：三角形ABC是直角三角形，EG垂直于AC，EG等于3厘米，AB、BC、AC的长度分别是30厘米，40厘米，50厘米，求正方形BDEF的面积。
A
F
B
D
C
G
E

例5：马天天家里有一个长方体形状的小金鱼缸，长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。一天马老买回一座小假山，当马天天把假山放入金鱼缸后，水面立即上升了6厘米将假山淹没了，你知道这块假山的体积是 立方分米。

学以致用
1.如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽DE是______厘米.

2.如图所示的平行四边形周长为 15 cm， AE= 2 cm，AF=3 cm，求平行四边形ABCD的面积。

3.已知平行四边形被分为四个三角形，已知其中三个三角形的面积分别为11平方厘米，30平方厘米，43平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？
？
43
30
11

4.如图，半径OB为6厘米，并且把圆心角为90º的扇形分成两部分，扇形OBC的面积是扇形OAB面积的2倍，ODBE是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？

5.如图，已知OC=2AO，三角形BOC的面积是20平方厘米。求梯形的面积是（ ）平方厘米。

6.如图，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是 平方厘米。

7.如下图，在△ABC中，EF平行于BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙的面积之比是 。

8.如图，一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是1,2,3,4,5平方厘米，求阴影部分的面积是 平方厘米。

9.如下图，将四边形ABCD各边都延长一倍至。连接这些点得到一个新的四边形。如果四边形ABCD的面积是1，求四边形的面积是 。

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