模糊逻辑及不精确推理方法.docx

3-3 模糊逻辑及不精确推理方法
3-3-1 模糊逻辑
3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系
传统逻辑：强调精确性、严格性。
概率事件的结局是：非此即彼。
模糊事件的结局是：亦此亦彼。
另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。
3-3-1-2 模糊逻辑的历史
100多年前，Peirce指出了模糊性在思维中的重要作用；
1923年Russel再次指出这一点；
1937年美国哲学家Black首先对“模糊符号”进行了研究；
1940年德国数学家Weyl开始研究模糊谓词；
1951年法国数学家Menger第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；
1965年Zadeh发表了着名的“模糊集”论文。
模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。
3-3-1-3 模糊集合论
一. 引入

传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。可以用其特征函数表示。定义在某集合上，则称是的一个分明子集。
在模糊集理论中，仍然定义在上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。此时，是模糊子集。的元素可以：
属于（即=1）；
或不属于（即=0）；
或“在一定程度上”属于（即0<<1）。
一般，称模糊子集的特征函数为隶属函数，表示其在元素上的取值对的隶属度，用表示。的模糊子集可表示为：。
注：非空集合可以有无穷多个互不相同的模糊子集。而空集只有一个模糊子集。
例子：各年龄阶段的人的集合。则如果用 ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合是的一个子集。则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。如、、。
注：隶属度和概率是两个不同性质的量。如30岁的人对青年概念的隶属度为表示其有80%的特性和青年人一样，而不是30岁的人占青年人的80%，也不能理解为30岁的人中，有80%是青年人！
定义3-3-1-3-1 令，则称为模糊子集的支持集，它包含所有隶属度大于0的元素。令，则 称为的高度，的元素称为的基元。
Zadeh模糊子集表示法：为每个基元标上隶属度，然后用号连接这些基元。如青年概念的模糊集表示为：
简洁表示为：
抽象地表示为：或
注：当隶属函数很有规律时，一般采用抽象表示法。

二. 模糊集合的基本运算
(1) 空集判断。设为的模糊子集，则为空集。
(2) 真模糊集判断。设为的模糊子集，则为的真模糊子集。
(3) 设为的真模糊子集，则为的正规模糊子集。
(4) 设均为的模糊子集，则和相等。
(5) 设均为的模糊子集，则称包含，记为或，或称是的强化，或是的弱化。
推广定义：包含也表示是的模糊子集。则，前面模糊子集的定义是此定义的特例；新定义具有自反性和传递性，因此，可将模糊子集表示成对偶之集。因此，模糊集可用分明集表示。
(6) 设为模糊集，则的分明基定义为：
(7) 设为模糊集，则和的交集定义为：
(8) 设为模糊集，则和的差集定义为： 。
(9) 设为模糊集，则和的并集定义为：。
(10) 设为模糊集，则的余集定义为：。

三. 模糊集的性质
设为任意模糊集，为空模糊集，为空分明集，则：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7)

例：设 青年={(15,,(18,,(20,1),(25,1),(30,,(35,}
中年={(30,,(35,,(40,1),(45,,(50,,(55,}
老年={(50,,(55,,(60,1)}
选拔中青年科学家，则求并集。如：15-55岁中30岁的人之隶属度为；
如要求既是青年，又是中年，则求交集。如：30岁的科学家之隶属度为；
如单位分房时老中青要分开，则求差集。如：“有资格分房的中年人”之模糊子集为{(35,,(40,1),(45,,(50,}；
又如选拔干部时，规定老年人不能入选，则求补集。所以，50和55岁虽部分属于老人，但仍有和的隶属度不属于老人。

3-3-1-4 多值逻辑和模糊逻辑
一. 引入
经典逻辑：二值逻辑。
多值逻辑：真值数超过2个。
模糊逻辑：是一种特殊的多值逻辑。
Aristotle的波斯与雅典海战问题，除开用模态逻辑解决，还可以用多值逻辑解决。
20世纪20年代，Lukaciewicz和Post分别提出了自己的三值逻辑系统。此后，也有人提出了其它方法。其主要区别在于，如何处理第三个真值。
二. 三值逻辑系统
1. Kleene三值逻辑系统
出发点：用三值逻辑描述数学问题。
对第三个真值的理解：“不知道”，用表示。
例如：素数有无穷多个（）；9是素数（）；任何大偶数必可表为两个素数之和（）。
五个逻辑连接符及其真值表：
P
~P

T
U
F

T
U
F

T
U
F
T
F

T
T
U
F

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T
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T

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T
U
F
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U
U
U
F
F
U
T
分析：(1)排中律不再成立。即“对任意的,”是不成立的；
(2) 矛盾律不再成立。即“对任意的,”是不成立的；
(3) 其它成立的有：
;；；
；；；
(4) 恒等律不再成立：即“对任意的,及”是不成立的；如令，则不成立。
2. Lukaciewicz三值逻辑系统
对第三个真值的定义为：“无所谓真假”。（可理解为“真”也行，“假”也行）。
例子：过直线外一点恰能作一条平行线。在欧氏几何中是对的，在非欧氏几何中不对。
与Kleene系统的真值表有以下不同：

T
U
F

T
U
F
T
T
U
F

T
T
U
F
U
U
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T
T
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F
U
T

F
T
T
T
即维持了恒等律，但矛盾律和排中律仍然不成立。同时牺牲了等价式：。
3. Bochvar的三值逻辑系统
对第三个真值的理解为：“既非真又非假”。即真也不行，假也不行。也即它表示一个含有内在矛盾的命题，又称悖论。（即第三个真值理解为悖论或无意义）
例子：
(1) “本句所说的内容是错的”。
(2) “理发师为自己理发”。（背景是：理发师说他只为那些不为自己理发的人理发！）
注：Bochvar系统中，只要任何一个逻辑公式含有一项U，则整个公式等价于U。即部分的无意义导致整体的无意义。
Bochvar逻辑系统的真值表：
P
~P

T
U
F

T
U
F

T
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F
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T
U
F
U
U
U
U
F
F
U
T
此系统中，排中律、矛盾律和恒等律无一成立。
4. Post三值逻辑系统
第三个值的含义被理解为：“介于真和假两者之间”，即“半真半假”。其“~”符号被理解为对真假程度的一种削弱。即有。
注1：这种“削弱”是循环的。可用函数succ表示：即succ(T)=U，succ(U)=F，succ(F)=T。
注2：用v(p)表示命题公式p的真值，则有：v(T)=T，v(U)=U，v(F)=F。则三个真值之间具有全序关系：v(T)>v(U)>v(F)。
Post系统的真值表：
P
~P

T
U
F

T
U
F

T
U
F
T
U

T
F
F
U

T
T
T
T

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F
U
F
T
U
F
F
U
F
Post系统的真值计算规则示例：

分析：
排中律不成立，因为；
矛盾律不成立，因为；
恒等律不成立，因为，但；
零幂律不成立，因为，而是
De Morgan律只成立了一半，因为虽然有规则，但，。
以上这些现象发生的根本原因在于，它们是以真值的正负两极为基础的，而目前讨论的是三极逻辑系统，显然，在三极逻辑系统下，有关两极逻辑的基本定律和规则失去了存在的基础。
结论：三极逻辑系统三极化得越彻底，以前的定律失败得也应该越彻底。因此，Post系统由于不再以U为中心，而是真值之间的定向循环，使得三极之间的作用和地位更加平等。
5. 平等三值逻辑（略）
三. 多值逻辑模糊化
1. 将多值逻辑推广到任意的n值逻辑
分析表明：前面介绍的几种三值逻辑中，只有Lukaciewicz是构造模糊逻辑的最佳逻辑基础。
Lukaciewicz将其三值逻辑推广到任意多值时，满足如下规定：

2. 引进模糊变量和模糊谓词
以便从迷糊命题逻辑过度到模糊谓词逻辑。
模糊逻辑的基本概念定义：
真值：闭区间[0,1]内的所有值。
联结词：。
量词：。
常量：n目函数常数，n=0时为普通常量。或n目（模糊）谓词常数，n=0时为普通常量。
变量：(1) 普通变量；(2) 迷糊变量：取值在闭区间[0，1]中。
项：每个普通常量和变量，若为项，则也为项。
原子公式（在闭区间[0,1]中取值）：（略）
合适公式：（略）
合适公式的真值计算规则：沿用Lukaciewicz规则。
其它概念：
永真：合适公式的值都大于或等于；
永假：合适公式都小于或等于；
可真：非永假的合适公式；
可假； 非永真的合适公式；
Zadeh的不满意：虽然人一个命题的真值在闭区间[0,1]中，但该实数仍是一个分明的数，并不模糊。因此，Zadeh提出了如下改进的多值模糊逻辑体系。
3. 使模糊变量和模糊谓词的取值真正的模糊化
使其以[0,1]区间上的模糊子集为其值。
方法：修正前面的模糊逻辑定义的如下部分：
(1) 真值：以闭区间[0,1]上的所有模糊子集为值。即以[0,1]的子集为基元集的所有模糊子集。
(2) 原子公式和合适公式的取值：可取[0,1]上的任一模糊子集为值。
(3) 真值的计算规则：（以隶属函数表示）
，则
，则
，则
，则
，则
注1：Zadeh模糊逻辑下，用隶属函数表示真值的计算规则与Lukaciewicz任意多值逻辑的计算规则形式是相同的！
Zadeh的希望：利用模糊逻辑，不仅仅是为在一般模糊逻辑上进行演绎，而是希望用语言的形式来表达模糊变量。
例如：令一个模糊变量以年龄区间[0,200]上的模糊子集为值，则“年轻”、“年老”、“比较年轻”、“既不年老，也不年轻”、“年纪不算小”等被称之为语言元素，每一语言元素即该模糊变量区间的一个模糊子集。
注2：语言元素一般只能是可数多个，但不一定是有限多个。如“年轻”的情况有：“年轻”、“非常年轻”、“非常非常年轻”、…、“(非常)n年轻”、…等。
生成这些语言元素的Zadeh文法结构(BNF结构)：
<年龄描述>：：=<描述词>|<程度词><年龄描述>|<年龄描述><联结词><年龄描述>
<描述词>::=年老|年轻
<程度词>::=非常|相当|比较|不
<联结词>::=而且|或者
注3：每个描述词相当于一个基本模糊子集；每个程度词相当于模糊集上的一目运算；联结词相当于二目运算，而利用这些运算，可以将任一语言元素转化为一个模糊集合。
注4：以上文法生成的描述，应当是上下文有关的。否则，其生成的描述，也许有意义，如：“不年老而且相当相当年轻”；也许无意义，如：“非常年老而且非常年轻”。
Zadeh的模糊“语义近似”概念的提出：
原因：模糊语言演算模糊逻辑，将其转换成严格的模糊逻辑是很困难的。且模糊演绎后得到的仍然是一个模糊集合，此时，不一定能将其翻译成相应的语言元素表示了。（因为，这种模糊集合最多只有可数多个，而不是覆盖[0,1]区间上的全体模糊逻辑！）
“语义近似”的内涵和作用：定义两个模糊集合之间的语义距离。使得在将模糊集合翻译成语言元素时，可以翻译成在语义上最接近该模糊集合的模糊集所对应的语言元素。
Zadeh对模糊逻辑之推广的意义所在：分明逻辑到模糊逻辑是使逻辑变量及其谓词之取值从{0,1}双元素推广到[0,1]闭区间，而Zadeh的推广则是进一步使其取值从[0,1]全序集合扩展到一个格。因为，[0,1]上的全体模糊子集之集合构成一个格。
注5：格是一种特殊偏序集合。偏序集：其元素之间的关系满足自反、传递、恒等关系。在偏序集上，若能定义交和并运算，且使得交换律、结合律和恢复律成立，则该偏序集是一个格。其它概念有：上确界、下确界、幂集、模糊幂集、完全格等。
Zadeh的结果：在模糊幂集（一个完全格）上取值的逻辑。
问题：Zadeh的文法结构中，程度词和描述词是分开的，但到了其模糊逻辑中，它们却是合二为一的。其程度词隐含在了作为描述词的谓词中了，而不能显示地处理！
Zadeh模糊逻辑与Lukaciewicz模糊逻辑的区别：Zadeh模糊逻辑指的是在[0,1]区间上的模糊幂集上的模糊逻辑，而Lukaciewicz模糊逻辑指的是在[0,1]区间上的模糊逻辑。
3-3-1-5 算子模糊逻辑(Operator Fuzzy Logic)(刘叙华教授)
目的：把程度词从谓词符号中分离出来，将其看成作用于谓词的算子。
基本思想： 算子：[0,1]中的一个数，记为。算子作用于一个命题时，即可影响的真值。命题的取值既与有关，也与原来的有关，因此，具有这种影响的真值取值方法用符号表示。其计算规则表示为，其中是原来的真值，代表在作用下的真值计算方式。
的解释意义：表示，命题在程度上是可信的。其中，的含义如下：

例如：表示乌鸦都是黑的，表示乌鸦几乎都是黑的，表示几乎没有乌鸦是黑的。 假定表示天鹅是白的，则有表示 “几乎没有乌鸦是黑的等价于几乎天鹅都是白的”这句话是很像是不对的。
算子模糊逻辑类型及详细描述（略，参见陆汝钤《人工智能》（下），P600-615）。
3-3-2 不精确推理方法
注：不精确性和不确定性，在下文中不加区分。
3-3-2-1 现实世界中的不精确现象
人类知识与思维行为的精确性是相对的，不精确性是绝对的。因此，人工智能的知识工程研究与应用中，往往采取不精确推理技术来模拟人类的推理行为过程。
例如：
(1) 多种原因可能导致一种结果时，原因的不确定性或精确性。例如：引起低烧的原因很多，那么，医生根据病者发低烧的持续时间、方式、病人的体质及过往病史等作出的猜测性推断是不精确的或不确定的。
(2) 推理所需的信息不完全时，对推理结论的肯定性或否定性。例如：打仗时，如果完全知道敌人的计划和行动，则必胜，但这是不可能的。所以，对敌情的判断多数是要猜测的。又如：股市的波动与消息和情报之间的关系，对操纵股票市场者言，当不能确证时，只能靠不确切的推断进行决策。
(3) 背景知识不足引起的不精确推理。例如：对癌症现象，由于对其机理没有完全掌握，因此，其治疗、预防、检查、诊断等工作，往往是不确定的。
(4) 信息描述模糊引起。如被害者对警察描述犯罪人的时候，可能采取如下语言描述其特征：“凶手是个高个子年轻人，三角眼，鹰爪鼻，山羊胡子”。又如征婚广告会如下描述：“本人希望寻求年轻、貌美、富裕、风度潇洒的意中人”。
(5) 信息噪声。例如：为逃避税收，公司往往做假帐。为了争功，下级往往虚报成绩。雷达、声纳测试，化学、医学分析等往往均含噪声信息。使得基于这些信息的推理结果是不精确的。
(6) 推理规则是模糊的。例如：“如果物价涨得过快，就要紧缩信贷”，“如果犯罪活动猖獗，就要赶快加大打击力度”等。
(7) 推理能力不足。天气预报问题，虽然，已有很好的理论研究成果，但实际上，当前的计算设备无法满足推理计算要求。如其Navi-Stocks方程的定量数值解，用巨型计算机都难以完成。
3-3-2-2 不确定性推理要解决的问题
不确定性推理：建立在非经典逻辑基础上的基于不确定性知识的推理。一般而言，它是一个从不确定性初始证据出发，运用不确定性知识，经过不确定性推理规则，推出具有一定程度不确定性的结论或合理的或近乎合理的结论之过程。
不确定性推理中，要解决的主要问题：推理方向、方法、控制策略等基本问题；不确定性表示与度量、匹配、传递、合成等。
一． 不确定性的表示问题
(1) 知识的不确定性表示：要求满足用户实际问题的需要，同时，便于推理过程中计算结论或中间结论的不确定性。
(2) 证据的不确定性表示：一是观察或由用户提供的初始证据的不确定性，一是推理过程中得到的结论或中间结论性证据。
(3) 结论的不确定性。
二． 不确定性的度量问题
度量标准应遵循以下原则：
(1) 应能充分表达领域知识和领域证据的不确定性；
(2) 便于领域专家和用户进行不确定性估计或估算；
(3) 便于进行不确定的传递计算，保证结论之不确定性度量不超范围；
(4) 应当直观，并有理论依据支持。
三． 不确定性的计算问题
(1) 不确定性匹配算法
与确定推理不同。不确定性匹配往往用计算匹配双方的匹配度，或者相似程度来衡量。如果相似度达到一定限度，则认为是匹配的，否则，认为是不匹配的。该限度往往被称为阈值。
(2) 不确定性更新算法
更新问题即不确定性的动态积累和传递问题。
1) 已知前提的不确定性，规则的强度,其中，表示假设，则求的不确定性的算法为：。
2) 并行规则算法。设为不独立的证据，假设求得的不确定性分别为和。求证据的组合导致结论的不确定性的算法为：。
3) 证据合取的不确定性算法。据的不确定性和，求证据合取的不确定性算法为：。
4) 证据析取的不确定性算法。据的不确定性和，求证据析取的不确定性算法为：。
注：证据析取和合取的不确定性统称为组合证据的不确定性。
(3) 常用的组合证据之不确定算法
1) 最大最小法：即取组合证据之大者或者其最小者。
2) 概率法：即合取时取概率之乘积式，析取时取概率的和式。
3) 有界法：

3-3-2-3 概率推理
一. 概率推理的基础
1． 基本性质
令表示一个事件，表示事件发生的概率，则有：
(1) ；
(2) 必然事件的概率，不可能事件的概率为；
(3) ；
(4) 若事件两两互不相容或互斥，即，则有：。
(5) 若的发生必然导致的发生，即，则有：。其中，表示发生而不发生。
(6) 对任一事件，有。
2． 主要概率计算公式
(1) 条件概率与乘法公式
条件概率：，假定事件的发生概率；而时，规定。
乘法公式：由条件概率公式可得。因此，有：，其中。
(2) 独立性公式
其充要条件是。
(3) 全概率公式
若事件序列满足，，，则对任一事件，有。
(4) Bayes公式公式
若事件序列满足全概率公式条件，则对任一事件（），有：。
二. 推理方法
目的：求出证据下，结论的发生概率。
原始条件：已知前提的概率，结论的先验概率，并已知成立时出现的条件概率，则。
单证据支持多个假设时：则有。
多证据和多结论之间：如果它们之间都有一定程度的支持和被支持关系，则有。
计算实例：
（参见教材P95-96）
评价：概率推理方法有较好的理论支持和数学形式描述。但要求给出结论的先验概率和证据的条件概率却是很困难的。同时，要求各事件之间必须独立。
三. 主观Bayes推理方法
1. 不确定性知识的表示方法
IF E THEN (LS,LN) H
其中，(LS,LN)被称为知识的静态强度，LS称为该规则的充分性因子，表示证据E对结论H的支持程度，LN称为必要性因子，表示~E对结论H的支持程度。

和的取值范围均为，具体值有领域专家决定。
主观Bayes方法：根据前提E的概率P(E)，利用规则的LS和LN，将结论的先验概率P(H)更新为后验概率P(H|E)的过程。
结论：LS越大，说明E对H的支持强度越强，而LN反映~对H的支持强度。
2. 证据不确定性的表示
根据观察得到的有关证据的概率表示为，相当于动态强度。由于难以给出，所以，往往采用可信度概念，让用户在某一数值范围内选取一数作为初始证据的可信度。然后，通过某种映射关系，将转换成。（参见教材P97~P99）
如：在PROSPECTOR中，用户可在-5~+5之间选一数表示之。
表示证据肯定不存在；表示观察与证据无关；表示证据肯定存在；其它数与的对应关系如教材图所示。

3. 主观Bayes方法的推理过程
由Duda和Hart等于1976年提出。
当用初始证据进行推理时，对将采用公式求出；当采用推理中间结论作为证据时，将采用公式求出。
如果条知识都支持同一结论，而每条知识的前提条件分别是个相互独立的证据，且与观察相对应，则首先求出每条知识的后验概率，然后按下式求出所有观察下的后验几率：

例如：已知下列规则：
IF THEN (2,
IF THEN (100,
IF THEN (65,0. 01)
IF THEN (300,
且有先验几率，通过用户得到可信度。

(100,
图2-6-2-3-1 主观Bayes推理网络
(65,
(300,
,

求：
求解过程：（见教材P99-101）
结果：。可见，的先验概率经过推理后，其后验概率增加到8倍多。
评价：
优点：
(1) 主观Bayes方法的计算公式基于扎实的概率理论基础。
(2) 规则的和值由领域专家给出，避免了大量的统计工作。两者一起，全面地反映了证据与结论之间的因果关系，使推出的结论具有比较准确的确定性。
(3) 不仅给出了由先验概率确定时更新为后验概率的方法，也给出了不确定时的更新方法。同时，实现了不确定推理的不确定性的逐级传递过程。是比较实用的方法。
缺点：
(1) 要求领域专家给出规则的同时，必须给出结论的先验概率，比较困难。
(2) 关于事件独立性的假设太严格。
3-3-2-4 可信度方法
由Shortliffe等人提出：在确定性理论基础上结合了概率理论的一种不精确推理方法。
可信度：据经验对一个事物或现象的相信程度。
1． 知识的不确定性表示
基本表示形式：IF E THEN H CF(H,E)
CF(H,E)是规则的可信度，取值范围为[-1,1]，CF=1表示证据使结论为真，CF=0表示证据和结论无关系，CF>0表示证据增加了结论为真的可能，CF<0表示证据减少了结论为真的可能。

：信任增长度；：不信任增长度；
讨论：

，则；
，则；

若，即为真时，；
若，即为假时， ；
若 ，即对没有影响时，，；
对同，若有个互不相容的假设 ，则有：
，若发现1的情形，表明专家给定的可信度不合理，应当调整。
与概率既有一定关系，又有区别。例如：
，而，即证据对假设有利，则对其不成立就不利，且两者的影响程度相同。
结论：由于先验概率和后验概率难以获得。因此，往往由领域专家直接给出。即：如果证据增加结论的可信度，则可信度大于零，否则，小于零，如果没有关系，则为零。
2． 证据的不确定性表示
初始证据的可信度由用户在系统运行时给出，中间结果的可信度则由推理过程计算出。
3． 可信度方法的实现
(1) 组合证据的不确定性算法
对多个单一证据的合取，采用：
对多个单一证据的析取，采用：
(2) 不确定性的传递方法
即由证据的可信度和规则的可信度，计算结论的可信度。方法如下：

(3) 两个独立证据推出同一假设的合成算法
IF THEN ()
IF THEN ()
则 ，，所以
注：MYCIN系统对第三种情形做了修正，结果如下：

计算实例：
假定有五条规则如下：
IF THEN
:IF THEN
:IF THEN
:IF THEN
:IF THEN
从用户处获得了以下证据的可信度：

（计算过程参见教材P105-106）
3-3-2-5 证据理论
由Dempster提出，由Shafer发展，又称D-S理论。
1． 形式化描述
基本假设：(1)用集合表示命题。(2)设变量所有取值的集合，且中各元素互斥，任一时刻只能取中某一元素为值，则称为的样本空间。(3)的任何一个子集都对应一个关于的命题，表述为“的值在中”。
基本概念：
(1) 概率分配函数
定义3-3-2-5-1 设为样本空间，领域内的命题都由的子集表示，则概率分配函数定义如下：，且满足，则称是上的概率分配函数，为的基本概率数。
注1：表示样本空间的幂集，其子集个数为，如果的元素个数为。
注2：概率分配函数的作用是把的任一子集都映射成[0,1]上的一个数。
定义3-3-2-5-2 命题的精确信任度：当时，且由单个元素构成时，表示相应命题的精确信任度；当由多个元素构成时，也表示该多个元素构成的子集的整体精确信任度，但对该子集的任何更小的子集单位，不能确定其精确信任度（由于存在未知信息导致无法进一步分配该整体信任度于子集的各成员及其它子子集成员！）
注3：概率分配函数不是概率。
(2) 信任函数
定义3-3-2-5-3 命题的信任函数为，。又称为下限函数，表示对命题为真的信任程度。
显然，有。
(3) 似然函数
定义3-3-2-5-4似然函数定义为：，其中，。又称为不可驳斥函数或上限函数。表示对为假的信任程度。
(4) 信任函数与似然函数的关系
；
和分别表示对命题的信任程度的下限和上限，记为。
(5) 概率分配函数的正交和
定义3-3-2-5-5 设和是两个概率分配函数，则其正交和定义为：，，其中

若，则正交和也是一个概率分配函数；若，则不存在正交和，此时，称和矛盾。如果多个概率分配函数可以组合，也可以通过正交和运算将它们组合为一个概率分配函数。
定义3-3-2-5-6 设是个概率分配函数，则其正交和定义为：，，其中，的计算为。
2． 基于证据理论的不确定性推理模型
(1) 概率分配函数与类概率函数
定义3-3-2-5-7 设，为定义在上的概率分配函数，且满足：；；；当且或时，。其中，表示命题对应于集合中的元素个数。
对任何命题，也可推出其相应的信任函数和似然函数。
定义3-3-2-5-8 命题的类概率函数为：

计算实例：（略，参见教材P113-115）
(2) 知识不确定性的表示
IF THEN ，，
(3) 证据的不确定性表示
证据的不确定性用表示。其初始证据由用户给出，中间结论或证据则由推理网络获得。。
(4) 组合证据的不确定性表示
与前面相似，仍然以min或max方法，分别获取合取及析取的可信度。
(5) 不确定性的传递算法
设有知识 IF THEN ，则结论的确定性值可由下面步骤获得：
① 计算的概率分配函数：

若有两条知识或规则支持同一结论，则首先分别对每一条知识求得其概率分配函数，再用公式求其正交和，从而得的概率分配函数。
若有条知识支持同一结论，则用。
② 求出结论的

③ 求的确定性。其中，。
3． 推理示例
（略，参见教材P117-120）
评价：主要优点在于，它只需满足比概率论更弱的条件或公理系统的要求即可。主要缺点在于，它要求集合满足其元素互斥的条件往往不现实。
3-3-2-6 模糊推理
小结：