1、。圆锥曲线的中点弦问题一:圆锥曲线的中点弦问题: 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率。注意:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、,且点是线段的中点。若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,说明理由。策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线,然
2、后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点,求点的坐标。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求椭圆的方程。所求椭圆的方程是4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。五、注意的问题(1)双曲线的中点弦存在性问题;(2)弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点
3、弦问题,方法简捷明快,结构精巧,很好地体现了数学美,而且应用特征明显,是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料,利于培养学生的解题能力和解题兴趣。答案:1.解:设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上,则,两式相减得于是即,故所求直线的方程为,即。2.解:设存在被点平分的弦,且、则,两式相减,得故直线由消去,得这说明直线与双曲线不相交,故被点平分的弦不存在,即不存在这样的直线。评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。(1)若中点在圆锥曲线内,则被点平分的弦一般存在;(2)若中点在圆锥曲线外,则被点平分的弦可能不存在。3.解:设弦端点、,弦的中点,则 , 又 ,两式相减得即 ,即点的坐标为。4.解:设弦端点、,弦的中点,则, 又 ,两式相减得即,即 ,即由,得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为5.解:设椭圆的方程为,则设弦端点、,弦的中点,则, ,又,两式相减得即 联立解得,6.解:设,为椭圆上关于直线的对称两点,为弦的中点,则,两式相减得,即,这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立,得则必须满足,即,解得THANKS !致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载,资料仅供参考-可编辑修改-