鸡兔同笼总结.doc

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鸡兔同笼解题思路总结
鸡兔同笼是中国古代著名的的数学趣题之一，大约在1500年前《孙子算经》中就有记载，是小学奥数、华杯赛的常见题型，它的典型解法是假设法。

一、 解题方法
主要有三种：假设法、解方程法、列表法

二、 题型总结及思路分析：
1. 分为两种情况：
1) 已知总头数和总脚数，求分别的数目
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
（总头数×兔的脚数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数
总脚数÷2—总头数=兔的只数
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？
· 解法一：（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
（94－35×2）÷2=12(兔子数)
总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）
（总头数×兔的脚数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数
（35×4－94）÷2=23(兔子数)
· 解法二：方程法——一元一次方程法
设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=90
解得x=12
鸡：35-12=23(只）
· 解法三：方程法——一元二次方程法
设鸡有x只，兔有y只。

解得
· 解法四：抬腿法（假设法）
法一：假如让鸡抬起1只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时脚与头的总数之差47-35=12就是兔子的只数。
法二：假如鸡与兔子都抬起2只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时可看做鸡飞走了鸡，地上只有兔子的脚，且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，有35－12=23只鸡
法三：假设让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只。

2) 已知脚的总数及头数互换后的脚的数目，求分别多少只
思路：先求出总只数，转化为题型一的求解方法
总只数=（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）
兔子数=（总脚数之和-总只数×2）÷（每只鸡兔脚数之差）
（21届小中初赛A）动物园里有鸵鸟和梅花鹿若干，共有腿122条，如果将鸵鸟与梅花鹿的数目互换，则应有腿106条，那么鸵鸟梅花鹿分别有多少？
解：总只数=（106+122）÷（2+4）=38
假设38只全为鸵鸟，则多出的脚数即为梅花鹿多出的脚数，
梅花鹿数=（122-38×2）÷（4-2）=23

2. 脚数成和差倍数关系，由浅入深也可分为三种情况：
1) 已知总头数和鸡兔脚数的倍数
思路：由脚数的倍数关系得出头数关系，由总头数分别算出
例题：已知鸡兔总数为50只，兔的总脚数是鸡的总脚数的8倍，求鸡兔分别多少只
解：总脚数兔是鸡的8倍，每只兔的脚数是每只鸡脚数的2倍
所以鸡兔数目比为1:4
因此：鸡的数目=50÷5=10只
2) 已知总头数和鸡兔脚数的和差
思路1：将多出的脚数折算为相应的只数
当兔子脚数较多时，将多出的脚数折算为兔子数，扣去该部分则鸡兔脚数相同，得到鸡兔只数比为2:1， 鸡数=（总数-差值÷4）÷3×2
当鸡脚数较多时，将多出的脚数折算为鸡数，扣去该部分则鸡兔脚数相同，得到鸡兔只数比为2:1， 兔子数=（总数-差值÷2）÷3
思路2：公式法
当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式：
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
当兔的总脚数比鸡的总脚数多时：
（每只鸡的脚数×总头数+脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
例题：已知鸡兔共40只，兔子的脚数比鸡的脚数多28只，问鸡兔各有多少只
· 解法一：用思路1
多出28只脚相当于7只兔子的脚数
40-7=33中，鸡兔的脚数相同，则鸡兔只数比为2:1
所以鸡数=33÷3×2=22（只）
兔子数=40-22=18只
· 解法二：套用公式法2
兔子数=（2×40+22）÷(4+2)=18
· 解法三：设未知数鸡有x只
4（40-x）=2x+28
x=22

3) 已知总头数及脚数的和差倍数
思路：多或少的脚数折算为相应的兔或鸡的只数，总数加上该数；脚数成倍数关系，再折算为头的倍数关系，有公式：
（总只数+折算只数）÷（头的倍数关系+1）=总脚数较少的动物的只数
（18届小中决赛A）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有多少只？
· 解法一：直接设未知数求解
设兔有x只，则鸡有40-x只
4x=2(40-x)10-8
解得x=33
· 解法二：折算法
假如再补上8只兔脚，也就是再有兔子8÷4=2（只），
兔脚的数目就是鸡脚的数目的10倍，兔子的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），
于是兔的只数是鸡的只数的5倍。鸡的只数是(40+8÷4)÷(5+1)=7（只）

3. 可转化为鸡兔问题的题目
解题思路同上面的分析：题型一中的公式的转化利用
例题：小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张
解析：转化为鸡兔同笼的思想，即为一个2脚，一个5脚，头数为35，总脚数为100
假设35头全为2脚，则多出的脚数即为5脚多出的部分，
即为，5脚的个数=（100-35×2）÷(5-2)=10头
则有，2脚的个数=35-10=25头
也就是20分的有25张，50分的有10张。

三、 巩固练习：
1. 鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，求鸡与兔各有多少个头？
2. 鸡、兔共有脚100只，若将鸡兔的数目互换后，则共有脚86只。问：鸡、兔各有几只？
3. 有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？
4. 在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？

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