磁矢量位资料.ppt

4.3 4.3 磁矢量位磁矢量位 1、磁矢量位的引出磁矢量位的引出根据矢量恒等式：根据矢量恒等式：静电场是无旋场：静电场是无旋场：恒定磁场是无散场恒定磁场是无散场:根据矢量恒等式：根据矢量恒等式：A 称为称为磁矢量位磁矢量位(Magnetic vector potential)，单位，单位:Wb/m（韦伯（韦伯/米）米）回顾电位的推导：回顾电位的推导：2、库仑规范、库仑规范赫姆霍兹唯一性定理：赫姆霍兹唯一性定理：只给出了磁矢量位的旋度只给出了磁矢量位的旋度不能唯一确定不能唯一确定 A称为称为库仑规范库仑规范在恒定磁场中，选取在恒定磁场中，选取仅由旋度定义式确定的仅由旋度定义式确定的 A是是多值性多值性的的!还必须确定还必须确定 A 的散度的散度给定给定矢量场的矢量场的散度散度矢量场的矢量场的旋度旋度矢量场的矢量场的边界条件边界条件唯一确定矢量场唯一确定矢量场设设是有一阶连续偏导数的标量函数是有一阶连续偏导数的标量函数03、真空中磁矢量位与源电流的积分关系、真空中磁矢量位与源电流的积分关系将毕奥将毕奥-沙伐定理沙伐定理的形式的形式写成写成v是元电荷是元电荷dq的运动速度、是源的运动速度、是源坐标坐标r的函数的函数算子对场坐标算子对场坐标r的微分运算的微分运算由矢量运算公式由矢量运算公式 可知可知 4、磁矢量位的积分表达式、磁矢量位的积分表达式体元电流段体元电流段:面元电流段面元电流段:线元电流段：线元电流段：C是积分待定常矢量是积分待定常矢量磁矢位的一般计算式：磁矢位的一般计算式：磁矢量位参考点选择原则：磁矢量位参考点选择原则：电流有限分布，参考点选在无限远处电流有限分布，参考点选在无限远处电流无限分布，参考点选在有限远处电流无限分布，参考点选在有限远处参考点处：参考点处：A=0方方向向相相同同5、用磁矢位计算磁通、用磁矢位计算磁通穿过面穿过面S的磁通：的磁通：根据斯托克斯定理：根据斯托克斯定理：其环行方向是围绕其环行方向是围绕S面的面的右螺旋右螺旋方向方向是是S曲面的的边界曲面的的边界用磁矢位计算磁通的优势：用磁矢位计算磁通的优势：将的将的面积分面积分转化为转化为线积分线积分，某些情况下可以简化计算。，某些情况下可以简化计算。(泊松方程泊松方程)(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)当当 J=0 时时6、真空中、真空中 A的微分方程的微分方程 库仑规范库仑规范 在直角坐标系下，在直角坐标系下，可以展开为可以展开为 令无限远处令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则以上各式的特解分别为的量值为零（参考磁矢位），则以上各式的特解分别为以上三个方程中的任意两个加上以上三个方程中的任意两个加上 ，共三个方程才能解出，共三个方程才能解出A的三个分量的三个分量例例 应用磁矢位应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。求空气中一长直载流细导线的磁场。图图4.3.2 长直载流细导线的磁场长直载流细导线的磁场解：设导线长为解：设导线长为 2L,取圆柱坐标，将原点定在取圆柱坐标，将原点定在导线中点处，导线沿导线中点处，导线沿 z 轴放置。轴放置。当当L时，电流区域，矢量磁位时，电流区域，矢量磁位A是否有意义取决于参考点的选择。设是否有意义取决于参考点的选择。设则则那么无限长直载流导线的矢量磁位为：那么无限长直载流导线的矢量磁位为：图图4.3.3 4.3.3 圆截面双线输电线圆截面双线输电线y例例 应用磁矢位分析两线输电线的磁场应用磁矢位分析两线输电线的磁场。解：这是一个解：这是一个平行平面磁场平行平面磁场。由上例计算结果由上例计算结果,两导线在两导线在P点的磁矢位点的磁矢位令令 处处 ，即以，即以 yoz 平面为参考面，则平面为参考面，则 C =0 =0 于是于是上式表明：上式表明：在在xoy平面上平面上 B 线为平面闭合矢量线，故有线为平面闭合矢量线，故有由于是无限长直载流导线形成的磁场，显然，由于是无限长直载流导线形成的磁场，显然，B场是场是平行平面场平行平面场！可以只分析可以只分析 xoy平面上的平面上的B场场B线无线无z z向分量向分量ybbo B线B线 等等 A 线（线（B B 线）是一束包围线）是一束包围导线的偏心圆族。导线的偏心圆族。圆的半径是圆的半径是:其圆心坐标是其圆心坐标是:或或 A=const在平行平面磁场中在平行平面磁场中 ，等，等 A 线可表示磁感应强度线可表示磁感应强度 B 线线。即平行平面磁场中的等即平行平面磁场中的等 A 线可以代表线可以代表 B 线线。可以证明：在轴对称磁场中可以证明：在轴对称磁场中，代表代表 B 线线。等等 A 线不是线不是 A 线，只涉及线，只涉及 A的大小，不涉及的大小，不涉及方向。因此，等方向。因此，等A线仅反映线仅反映B 的大小分布。的大小分布。图图4.3.4 A 线线,等等 A 线与线与 B 线关系线关系IzaoIzaoArR例例 半径为半径为 a 的平面小载流圆环称为磁偶极子，试求其在真空中远离自己区域的平面小载流圆环称为磁偶极子，试求其在真空中远离自己区域内的内的 A 和和 B。解：场分布为轴对称子午面场，对称轴是圆解：场分布为轴对称子午面场，对称轴是圆环的几何轴线，如选用球坐标，此时圆环线环的几何轴线，如选用球坐标，此时圆环线为为 的两个坐标面的交线。的两个坐标面的交线。则则又因又因所以所以令令 称为称为磁偶极矩或磁矩磁偶极矩或磁矩 应用矢量积分恒等式应用矢量积分恒等式在在r a 的远区的远区 于是上述于是上述 A 的表达式改写成的表达式改写成与真空中的电偶极子比较与真空中的电偶极子比较IzaoIzaoArR