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第十六章 振动理论基础16-1 单自由度系统的自由振动16-2 计算系统固有频率的能量法16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动16-4 单自由度系统的受迫振动16-5 隔振的概念机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动振动。振动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。谈谈本专业内有关振动问题！？系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作用下维持的振动称为自由振动自由振动。16-1 单自由度系统的自由振动图示为单自由度系统自由振动的简化模型，它是从实际振动系统中抽象出的简图。设弹簧原长为lo，刚度为k，物块质量为m，静平衡时，弹簧变形为st（称静变形），有以平衡位置为原点，建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示，则其振动微分方程为 令 ，代入上式，得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式 其通解 频率周期积分常数A 和分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。圆频率（或固有圆频率、固有频率）频率频率和周期周期只与系统本身所固有的惯性和弹性有关，而与运动的初始条件无关，是描述振动系统基本性质的重要物理量。质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角300，求系统振动的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。例16-1解：解：物块在平衡位置时，弹簧静变形 以此位置为原点以此位置为原点O，建立图示，建立图示坐标。坐标。物块受力如图，其运动微分方程为 化简后得 系统的固有频率 当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。则运动的初始条件：初位移 初速度 得振幅及初位相 mm物块的运动方程 如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其的物块，其静挠度（静变形）为静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无。若将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。初速释放，求系统的振动规律。例16-2解：解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数 取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微分方程为:式中圆频率 在初瞬时t0，物块位于未变形的梁上，其坐标x0st=2mm，初速v0=0，则初位相 振幅系统的振动规律 mmmm等效弹簧并联和串联弹簧等效弹簧并联和串联弹簧 并联弹簧 下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分析方法相同。由平衡方程得 式中为并联弹簧的等效弹簧刚度。n个并联弹簧的等效刚度 串联弹簧 图示为串联弹簧。静平衡时，变形分别为 和 。弹簧总伸长 等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有 图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m，摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求系统微小振动的运动微分方程及振动频率。例16-3解：解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩 由平衡方程 有 以平衡位置为角坐标原点，摆绕轴O的转动微分方程 得系统自由振动微分方程 固有频率 可见，只要以平衡位置为坐标原点，系统的运动微分方程具有标准形式。16-2计算系统固有频率的能量法对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守恒定律求出，称为能量法。设图示系统作简谐振动，则有 若以平衡位置为势能零点，则系统势能 系统动能 由机械能守恒，即T+V常数，则系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的只要写出系统的动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，而不必列写系统的微分方程。而不必列写系统的微分方程。图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳，轮上连一铅直弹簧，轮上挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度为k，重物质量为m。求系统振动的固有频率。例16-4解：解：以系统平衡时重物的位置为原点，取x为广义坐标。设系统振动的规律为 则 塔轮角速度 系统动能 取平衡位置为势能零点，系统的势能为 由 得系统的固有频率 在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。例16-5解：解：取摆角 为广义坐标，设其变化规律为 系统动能 以平衡位置为势能零点，系统势能 由 得固有频率 如图所示，质量为m，半径为r的圆柱体，在半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。例16-6解：解：取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为 圆柱体中心O1的速度 由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，角速度 系统动能 整理后得 系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为势能零点，则系统势能圆柱体作微振动 由 得 16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动 由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼线性阻尼。即 式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼介质的性质和物体的形状。1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式图（a）为一有阻尼的质量-弹簧系统。取平衡位置为坐标原点，受力如图（b）。阻力微分方程为或化简得代入上式得衰减振动微分方程的标准形式令2、微分方程的解设 ，代入式中，得特征方程 方程的两个根 通解 有三种可能情形：小阻尼情形 当 或 时，称为小阻尼小阻尼。此时 令 则 得运动方程 如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动衰减振动。衰减振动的周期令称为阻尼比阻尼比。周期Td较无阻尼自由振动的周期T略有增加。阻尼对周期的阻尼对周期的影响很小影响很小，可忽略不计，取TdT。则阻尼对振幅的影响为描述振幅Ai的衰减，引入减幅系数（或称振幅缩减率振幅缩减率）。由图示得上式表明：衰减振动的振幅按几何级数递减。阻尼对自阻尼对自由振动的振幅影响较大由振动的振幅影响较大。例如：0.05时，Td1.00125T而经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。初始幅值A 和初位相取决于初始条件。对上式两边取对数得对数缩减率对数缩减率所以设t0时，则有 临界阻尼情形 当 或 时，称为临界阻尼临界阻尼。此时，。微分方程的解为 不具有振动的特点不具有振动的特点，积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。大阻尼情形 当 或 时，称为大阻尼大阻尼。此时微分方程的解为 积分常数C1、C2由初始条件定。运动图如图所示。图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k1，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为Td。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。例16-7解：解：盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M与角速度成正比，且转向相反。设，为阻力偶系数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为或 由此得衰减振动周期 则阻力偶系数 得 16-4单自由度系统的受迫振动振动系统在外加持续激励下的振动称为受迫振动受迫振动。下面仅讨论简谐激励情形。图示为三种类型的简谐激励，分别是：激励力直接作用；弹簧端点运动引起的激励和偏心转子引起的激励。1、激振力直接作用下的受迫振动 振动微分方程 图为受迫振动系统的简化模型。激振力 其中，H为最大激振力，为激振力的圆频率。以平衡位置为坐标原点，则：令 整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式 微分方程的解 方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程的一个特解。上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，称瞬态响应瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应稳态响应，即系统的受迫振动 由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率受迫振动的频率等于激振力的频率。将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅振幅和位相差位相差式中 分别称为频率比频率比、阻尼比阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数放大系数，即 当一定，与间的关系如图所示，称为幅频特性曲线幅频特性曲线。由图可知：幅频特性当1时，阻尼对振幅的影响很小，可忽略不计。共振区共振区=0.751.25。在此区域内阻尼对振幅有显著影响，1时，振幅急剧增加出现峰值的现象，称为共振共振。对应曲线峰值的频率，称为系统的共振频率。当 1时，阻尼对振幅影响可忽略不计。小阻尼时，共振频率近似等于固有频率，共振振幅近似与阻尼比成反比，即 相频特性曲线如图所示。由图可知，当有阻尼时，随频率比/n连续变化。当1时，0，受迫振动位移与激振力接近同位相。当1时，受迫振动与激振力接近反位相。当1时，与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。相频特性工程上利用此特点，通过实验测定系统固有频率n。2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点A 的运动规律则弹簧恢复力 微分方程 令 得 与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫振动的讨论适用于此。3、偏心转子引起的受迫振动电机安装在基础上，如图所示，弹性地基简化为刚度为k的弹簧。设基础质量为m1，电机定子质量为m2，转子质量为m，偏心距e。转子以匀角速度转动。由于偏心，系统将沿铅垂方向作受迫振动。建立图示坐标轴Ox。系统在平衡位置时，有转子质心的加速度 由质心运动定理，得 得令 得微分方程的标准形式 与激振力直接作用下的受迫振动微分形式相同。令 则 代入 注意到激振力幅值与其频率有关，得系统受迫振动的振幅 放大系数 幅频特性曲线如图所示 当0时，b0，0；当1时，又逐渐减少，当很大时，1；当=1时发生共振，此时转子的转速称为临界转速临界转速。图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放在振动物体表面，并随物体而运动。设物体的振动规律为求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。例16-8解：解：测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为 取t=0时物块的平衡位置为坐标原点，取x 轴如图。在任一瞬时t，弹簧的变形为物块的运动微分方程注意到 ，上式整理后，得 受迫振动规律为 此时激振力的力幅为H=ke，由式得由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e，因而图中记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 。由式可知，当 时，有 ，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。例16-9图为一无重刚杆。一端铰支，距铰支端l 处有一质量为m的质点，距2l 处有一阻尼器，其阻尼系数为c，A 端有一刚度为k 的弹簧，并作用一简谐激振力。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率n，以及当激振力频率 等于n 时质点的振幅。解：解：取摆角为广义坐标，系统平衡位置为坐标原点。整理后得 令 当 时，得振幅（最大摆角）质点的振幅 受力如图示。由刚体转动微分方程得电动机安装在基础上，基础下面是弹性基地，如图所示。已知地基的弹性系数为k，基础质量为m1，电动机定子质量为m2，转子质量为m，转子有偏心距e，转子以匀角速度转动。求：（1）基础的强迫振动的振幅；（2）基础对电动机的铅直动约束力。e ex xy ym m1 1g gC CO O 平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置m mg gm m2 2g gF F例16-10571.将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况弹性力(a)(a)(b)(b)(c)(c)解解解解:e ex xy ym m1 1g gC CO O 平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置m mg gm m2 2g gF F应用得因为平衡时则有58（2）(d)(d)根据振动理论，系统的固有频率为强迫振动的规律为其振幅为(e)(e)(f)(f)(g)(g)或 e ex xy ym m1 1g gC CO O 平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置m mg gm m2 2g gF F592.2.求地基对电动机的铅直动约束力。求地基对电动机的铅直动约束力。由此求出动约束力(h)(h)将式(f)对t微分两次，并将式(g)代入后，有(f)(f)(g)(g)e ey yC CO O m mg gm m2 2g gF FN N取电动机为研究对象，由质心运动定理得取电动机为研究对象，由质心运动定理得6016-5 隔振的概念减轻振动的危害，在工程上是一个重要的研究课题。通常有以下的减振措施：抑制振源强度例如，对高速转子进行静平衡和动平衡试验，以消除不平衡的惯性力；为减小车辆振动提高路面或轨道的质量；减小高层建筑的迎风面积以降低风载等。消振采用多种形式的消振器，如动力消振器，阻尼消振器等。隔振将振源与减振体隔开，隔断振动的传播，降低振源的影响。本节只讨论隔振的理论基础。按照研究对象的不同，分为主动隔振和被动隔振。其隔振效果均以隔振系数表示。主动隔振主动隔振 主动隔振是将振源与支承它的基础隔开。研究的对象是振源本研究的对象是振源本身身。如电机、水泵、铸压机械等。为减小机器的振动对周围环境的影响，垫上橡胶、枕木等弹性支承，以降低振动传到基础上的强度。图为主动隔振的简化模型，激振力 系统稳态受迫振动规律 振幅 物块振动时，通过弹簧和阻尼器传到地基上的力分别为 它们以相同的频率作简谐变化，但相位差。用旋转矢量表示如图所示。隔振之后传给地基的力的最大值 和主动隔振系数（力的传递率）图是在不同阻尼情况下的曲线。由图可知，只有当时才有意义。即以后才有隔振效果。当 时，加大阻尼反而会使增大，降低隔振效果。但阻尼太小，又会使机器起动时通过共振区的振幅过大，因此采取隔振措施时，要选择适当的阻尼，使隔振效果良好，而振幅又在规定范围内，以保证机器的正常运转。被动隔振被动隔振 将需要保护的仪器设备与振源隔开，称为被动隔振。研究的研究的对象是减振体对象是减振体，振源是周围环境。例如，在仪器底部垫上软垫；将放置在车辆上的测量仪器用弹簧吊起来等。图为被动隔振的简化模型。设地基振动规律 弹簧力 阻力 被隔振对象的运动微分方程：其中 受迫振动规律 振幅 被动隔振系数（或称位移的传递率）曲线如图所示。图为一汽车在波形路面行走的力学模型。路面的波形可用公式表示，其中幅度d=25mm，波长l=5m。汽车质量m=3000kg，弹簧刚性系数k=294kN/m。忽略阻尼，求汽车以速度v=45km/h匀速前进时，车体的垂直振幅及汽车的临界速度。例16-11解：解：汽车匀速行驶的位移 若以汽车起始位置为坐标原点，则路面的波形方程可写为 令 则 式中相当于位移激振频率，将速度v=45km/h12.5m/s代入，求得系统的固有频率为 频率比 求得位移传递率为 振幅 当=n时，系统发生共振，有临界速度 作业：P254P26116-7、16-9、16-12、16-16