关于切线条数问题的探究.pdf

48中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)关于切线条数问题的探究广东省佛山市实验中学(528061)谢伟帆丁荣辉摘要对不同类型函数的切线条数问题的探究,发现它们在解法上有一致性:从数的角度考虑,基本上是将切线条数问题转化为函数零点的个数问题;从形的角度考虑,如果函数的图象中心对称,那么切线条数会呈现对称分布的规律,体现了数学的统一性和对称美,这一发现也为命制切线条数的问题拓宽了思路.关键词 切线条数问题切线条数问题在高考中是一个比较重要的考点,在近几年全国卷屡次出现相关考题,重点考查导数与不等式、函数图象等知识,而且通过不同类型的函数模型来体现导数的工具作用,下面笔者就不同类型的初等函数的切线条数问题逐一进行探究.一、指对数类型的切线条数问题题 1(2021 年新高考 I 卷第 7 题)若过点(a,b)可以作曲线 y=ex的两条切线,则()A.eb a B.ea b C.0 a ebD.0 b ea题 2(2022 年新高考 I 卷第 15 题)若曲线 y=(x+a)ex有两条过原点的切线,则 a 的取值范围是.以上两道高考题如出一辙,都是以指数型函数作为模型进行考查.第 1 题考查的是曲线确定,经过的点不确定,由切线条数求两个参数的关系,是双变量问题;第 2 题考查的是曲线不确定,经过的点确定,由切线条数求单个参数的取值范围,是单变量问题.对于题 1 的解答,若从数的角度,设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 ex0,所以切线方程为 y y0=ex0(x x0),又因为切线过点(a,b),所以 ex0(a x0+1)b=0.若过点(a,b)可作曲线 y=ex的两条切线,则关于 x0的方程 ex0(a x0+1)b=0 有两异根.记 g(x0)=ex0(ax0+1)b,令 g(x0)=ex0(ax0)=0,得 x0=a.当 x0 0;当 x0 a,g(x0)0 且 b 0,即0 b f(a)时,不存在曲线 y=ex的切线;当点(a,b)在曲线 y=ex的下方且在 x 轴的上方(区图 1域2),即 0 b f(a)时,存在曲线 y=ex的两条切线;当点(a,b)在曲线 y=ex上或在 x 轴及其下方(区域3),即b 6 0 或 b=f(a)时,那么切线的条数就只有一条;综上,可得 D 选项.对于题 2,与题 1 解答相似,曲线 y=(x+a)ex有两条过原点的切线可以转化到方程 x2+ax a=0 有两个相异的实根,从而通过判别式得到 a 0.实际上,我们也可以将指数模型变为对数模型,如题1 将“y=ex”变为“y=lnx”,可以得到 a 与 b 的关系是0 a 0,如果过点(a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线,证明:a b 0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的切线方程为 y=1.(1)确定 b,c 的值;(2)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线,求 a 的取值范围.题 5(2014 年高考北京卷文科第 20 题)已知函数f(x)=2x3 3x.(1)求 f(x)在区间 2,1 上的最大值;(2)若过点 P(1,t)存在三条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围;(3)问过点 A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需写出结论).以上三道考题都涉及研究三次函数的区域特征内的切线条数,即在什么区域可作多少条切线的问题.下面就以题 5 的第二问为例,探究过点 P(1,t)可以作几条曲线f(x)=2x3 3x 的切线?设切点为(x0,f(x0),切线的斜率k=f(x0)=6x203,所以切线方程为 y f(x0)=(6x20 3)(x x0),因为切线过点 P(1,t),得 4x30 6x20+3+t=0,于是过点 P(1,t)可作曲线 f(x)=2x3 3x 的几条切线问题等价于关于 x0的方程 4x30 6x20+3+t=0 有几个相异的实根问题,记g(x)=4x36x2+3+t,则g(x)=12x212x=12x(x1),令 g(x)=0,得 x=0 或 1.x(,0)0(0,1)1(1,+)g(x)+00+g(x)单调递增3+t单调递减1+t单调递增由g(x)的单调性,当极大值3+t 0,即 t 1 时,方程 g(x)=0 有一个实根;当极大值 3+t=0 或极小值 1+t=0,即 t=3 或 t=1 时,方程 g(x)=0 有两个实根;当极大值 3+t 0 且极小值1+t 0,即 3 t 1 时,方程 g(x)=0 有三个实根.综上,若过点 P(1,t)存在三条直线与曲线 y=f(x)相切,则t 的取值范围是(3,1).根据上面的解答,再结合图形,可以进一步得到一般性结论:如图 2,过三次函数 f(x)的对称中心作切线y=g(x),坐标平面被切线和曲线 y=f(x)分为1、2、3、4四个区域,那么图 2(1)过区域2和4内的点以及对称中心作曲线 y=f(x)的切线,有且仅有一条;(2)过切线上的点或曲线 y=f(x)上的点(除对称中心)作曲线 y=f(x)的切线,有且仅有两条;(3)过区域1和3内的点作曲线 y=f(x)的切线,有且仅有三条.利用这个结论我们可以轻松地解决题 5 中的第三小问,因为点 A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别在区域、曲线上、区域,所以过点 A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在 3、2、1 条直线与曲线 y=f(x)相切.三、三角函数的切线条数问题在历年高考题中,笔者并没有发现以三角函数为模型的切线条数问题的考题,于是笔者尝试在题 1 的基础上去变式,将 y=ex变为三角函数,结果发现也是可行的!不单在解法上相似,而且和三次函数还有相似的结论.题 6(原创题)已知 0 b a B.b=f(a)C.a+b=D.f(a)b a题 7(原创题)已知 2 b a 2B.b=f(a)C.a+b=2D.f(a)b 0C.f(a)bD.a b f(a)从数的角度解法与题目 1 相似,不再赘述,下面从图象出发依次得出它们的一般性结论.由于三角函数的周期性,对于正弦函数,只需研究 y=sinx 在一个周期 0,2 的切线条数.曲线 y=sinx 及其在 x=0、x=、x=2 处的切线把平面区域进行分割,发现点(a,b)落在不同区域,切线条数呈对称分布,如图 3 所示:(a,b)与点 M,N,R 重合时,只有 1 条切线;与点 O,P,Q,S 重合时,有 2 条切线;(a,b)在曲线 y=sinx 上(不含点 O,R,S)或在线段 PQ(不含 R 及端点)上,有 2 条切线;(a,b)在线段 QS,OP(不含端点)上,有 3条切线.图 3图 4为了更好地找到结果,可将(a,b)所在区域放大(见图4),利用图 3 的结论,选项 A 中 a b a,可得2 a ,