含60°内角的三角形的两个命题.pdf

问题赏析272023年第6 期含6 0 内角的三角形的两个命题康路（西安远航真空钎焊接技术有限公司，7 10 2 0 1）摘要：以含特殊内角6 0 的三角形人手，发现平面几何中最常见的三点共线和四点共圆命题各一则。关键词：6 0 内角；三点共线；四点共圆中图分类号：0 12 3.1文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 6-0 0 2 7-0 3引用格式：康路.含6 0 内角的三角形的两个命题 J，中等数学，2 0 2 3（6）：2 7-2 9.命题1#在锐角ABC中，ABAC,ZBAC=60，O O 是外接圆，D是劣弧BC的中点，E、F、G 分别在OO上且满足BE工AC，CF工AB，A G/B C,直线GE与AB交于点M，直线GF与AC交于点N，直线GD与BC交于点L.证明：L、M、N 三点共线.证明如图1，记H是ABC的垂心，联结AH、D H并延长，分别交0 于点S、T.则由垂心性质知H、S 关于BC对称.记P、Q 分别是DT、A D 与BC的交点，A B C 的内角为ZA、ZB、ZC,O O 的半径为r.易知ODLBC,AHIBC=AH/OD.ABcos 60又AH=r=OD,则sin C四边形ODHA是平行四边形ZAGT=ZADT=ZOADNGAFT1川M1E小H，1BLC-1P11QSD图1ZA(90-ZC)=ZC-602=ZAGT+ZGAD=ZC-60+ZGAB+ZBAD=ZC-60+ZB+30=90GT AD.由ZDBQ=ZDAC=ZDABDBDQ=D B Q S D A B=DADB=DB2=DA.DQ.类似地,DB?=DT.DP.则DA.DQ=DT.DPA、Q、P、T 四点共圆.类似地，G、L、P、T 四点共圆.由ZPSH=ZPHS=90-ZHPC=90-ZDAT=ZATG=ZGSHG、P、S 三点共线.由ZGTL=ZGPL=ZCPS=ZCPH=ZTGLLG=LT.又OG=OT，则OL是GT的中垂线.从而,GT工OL.收稿日期：2 0 2 1-11-0 2修回日期：2 0 2 3-0 8-0 7作者简介：康路（198 9一），男，陕西榆林人，硕士研究生，主要从事平面几何研究类似地，ON/AD.ZABR-ZBARZARB=180ABR=90在ABR中点RB=150B180-(90ZBEMZMBEZBME=180故BAG/BEMBEG在BEM中，由于AG/BC，Brsin(150BE:2rsinBCEACE中等数学28又GTAD,故OL/AD在BEC中，由正弦定理得由正弦定理得BEMBsin1ZBMEsin ZBEMsinZBEMMB=BE=2rsinB=AC.sinZBME=180-(90-ZC)-30=180-ZB.由正弦定理得ARABsin ZABRsin ZARBsinZABRcosCAR=ABAB.sinZARBsin BOBSABsinZBAO由LABOORSLAROARsinZOARABcos Csin BABcOSCsin(C-60)sin(60-B)sin Bsin Bsin(120 B)-sin BACMBAB-ACMAOM/AR=OM/AD.结合OL/AD知L、O、M、N 四点共线，即L、M、N 三点共线.注：本命题是由文1中加试部分的题目1改编而成.此外，对于任意ABC均有O、M、N 三点共线.证明留给读者.命题2 夜在锐角ABC中，ABAC,ZBAC=60，O 0 为外接圆，I为内心，点D在OO上且满足AD/BC，E、F 分别为劣弧AC、A B 的中点，直线DE与AB交于点M,直线DF与AC交于点N，线段MN与OO交于点L.证明：A、L、O、I 四点共圆.证明记K为劣弧BC的中点，直线LA与BC交于点H，其余辅助线如图2.设ABC的三个内角为A、B、C,L A K N=x，ZA K M=y.NLAM1111E11111Y工三BHCK图2先证K、M、N 三点共线.对FKC及点N运用角元塞瓦定理得sinZNFCsinZNKFsinZNCK1sin ZNFKsin ZNKCsinZNCFCAsinXsin+Csin C22Asin(+B)Csin+Csin22=1sin(+B)C=2cosC2sin2=sin x.cos B+sin B.cos xCCC=2cossin.cosx-sinxcos222O、B、C、I 四点共圆.BIC由BOC：2ZA=120E、I、O、F 四点共圆COSB+cos C+1，该式则式tanxsinsinB2023年第6 期29sin C-sin B=tan x=cos B+cos C+1类似地，对EKB及点M有sin C-sin Btan y=cos B+cos C+1=tan x=tan y=x=y二占线TK、M、N三点共线=ZAKL=.再证LA、F E、BC三线共点.对BFL及点H运用角元塞瓦定理的逆定理知即证sin ZHBLsin ZEFBsin ZHLFsinZHBFsin ZEFLsinZHLBBsinA+sin(+B)2CBsinB+sinx+22Csin18021sin(180-C)CC2cossinB+sin(x+B)22BBsinx+sinA+22sin A+sin BBsin+C2sin x.cos B+sin B.cos xBBsinx.cos+sin.cosx22sin A+sin BBsin+C2B(sin A+sin B)cos2Bsin+C.cos Btanx2B=sin B.sin+C2B(sin A+sin B)sin2BB又(sin A+sin B)cossinP+C.cos B22B=(sin(B+C)+sin B)cos2BBsin.cos C+sin C.coscos B22=(sin B.cos C+sin C.cos B+sin B-BBsin C.cos B)cossin.cos B.cos C22BB=sin B.cos=(1+cos C)-sin=cos B.cos C22B=sin(cos B+cos C+1).2类似地，BBsin B.sin+C-(sin A+sin B)sin22B.(sin C-sin B).sin2成立，即LA、F E、BC三线共点于H.由ZEOF=2ZEKF=ZB+ZC=120ZB+ZC)+60=ZBIC=ZEIF2又B、C、E、F 四点共圆，由蒙日定理知FE、O I、BC三线共点，即点H在直线OI上.由切割线定理知HA.HL=HE.HF=HI.HOA、L、O、I 四点共圆参考文献：1荣仲，徐英男，童国福.数学奥林匹克高中训练题(230)J.中等数学,2 0 18(8)：42.