关于新中考背景下学生发展代数推理能力的几点思考.pdf

6中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)关于新中考背景下学生发展代数推理能力的几点思考*广东省东莞市松山湖北区学校(523808)张海营摘要 义务教育数学课程标准(2022 版)对“代数式”部分的阐述增加“了解代数推理”1.代数推理是指通过数学证明,等式变换等方式将复杂的问题简单化,最终达到想要的结果,代数推理题型在广州和深圳中考常常以压轴方式出现,所用知识涵盖初中数学中代数式、方程、不等式、函数等代数知识等.本文以近年广东省中考数学试题为主,对代数推理的基本题型及相关推理能力培育作探讨.关键词 代数推理;推理题型;推理能力随着中考制度改革,广东省中考全省统一命题呼声越来越高.2023 年 3 月 8 日,广东省教育厅发布了 关于公开征求深化高中阶段学校考试招生制度改革实施意见 的公告,拟从 2024 年起初中学业水平数学考试将由省级统一命题,笔者结合 20 余年一线教学工作经验,就广州、深圳中考自主命题和省卷作对比研究,发现代数推理在试题中占较大比重,如 2021 年广东省中考第 25 题、2023 年广州市中考第 24 题、2023 年重庆市中考第 18 题等,此类代数推理题型蕴含演绎推理、情境推理、归纳推理和条件推理等思想方法,极可能成为下一阶段广东省统一试卷命题的热点方向.推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.代数推理题是以代数知识为主或以代数变形技巧为主的一类数学问题,推理过程是从条件出发,由代数定义、代数公式、运算法则和运算律得到结论(特定的目标结构或关系)的一种变形和转化2.1 演绎推理题推理既包括合情推理,也包括演绎推理,因此特殊化和一般化也应成为代数推理的一项基本技能.演绎推理则是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)出发,按照规定的法则(包括逻辑和运算)证明结论,这种推理严密到滴水不漏,演绎推理要求尽量还是循序渐进,中考考查及评卷严谨,历年考查主要突出推理能力及运算能力3.例 1.1(2021 年广东省中考第 15 题)若 x+1x=136且0 x 1,则 x21x2=.解析 x+1x=136,(x 1x)2=(x+1x)24x1x=2536,0 x 1,x 1x,即 x 1x=56,因 此,x21x2=(x+1x)(x 1x)=136(56)=6536.点评代数推理就是通过数学证明、等式变换等方式,将复杂的问题简单化,最终达到想要的结果.本题根据x+1x=136,利用完全平方公式可得(x 1x)2=2536,根据x 的取值范围可得 x 1x的值,利用平方差公式即可得答案.在初中阶段培养学生严谨的代数推理能力对初高中衔接有重要意义,尤其是学生进入高中后对基本不等式、复数的学习后代数推理更必不可少.2 情境推理题情境推理题解题时,往往会从题干信息中找到答案,合理筛选出有效信息,排出干扰信息,挖掘潜在信息进行类比迁移.2023 年各省市数学中考特别突出对新情境下数学知识的考查,突出“无情境、不命题”的命题思路,引导一线教师从具体情境中抽象出数学符号的过程及用代数式进行表述的方法例,逐渐形成推理能力,培养学生的科学精神.例 2.1(2023 重庆市中考第 18 题)对于一个四位自然数M,若它的千位数比个位数多 6,百位数比十位数多 2,则称M 为“天真数”,如:四位数 7311,7 1=6,3 1=2,7311 是“天真数”;一个“天真数”M 的千位数为 a,百位数为 b,十位数为 c,个位数为 d,记 P(M)=2(a+b)+c+d,Q(M)=a 5,若P(M)Q(M)能被 10 整除,则满足条件 M 的最大值为.解析根据题意,a d=6,b c=2,6 6 a 6 9,2 6b 6 9,则 c+d=(a+b)8,P(M)=3(a+b)+c+d=4(a+b)8,P(M)Q(M)=4(a+b)8a 5,若 M 最大,只需千位数字 a 取最大,即 a=9,P(M)Q(M)=4(a+b)89 5=7+b,P(M)Q(M)能被 10 整除,b=3,因此,满足条件的 M 的最大值为 9313.点评新情境、新阅读材料下的代数推理题一直是近年中考考查的热点.根据题中“天真数”新定义得到c+d=(a+b)8,进而P(M)Q(M)=4(a+b)8a 5,若 M 最大,只需千位数字 a 取最大,即 a=9,再根据P(M)Q(M)能被 10 整除求得 b=3,进而可求解.此类题型抓住题目主干,通过类比推理方式是解决问题关键.*本文系东莞市教育科研“十四五”规划 2022 年度课题“双减 政策背景下初中数学作业设计与实施研究”(2022GH071)的阶段性成果.2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究73 归纳推理题3.1 等差规律例 3.1.1(2019 年广东省中考第 16 题)如图 1 所示的图形是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图 2 所示方法玩拼图游戏,两两相扣,相互间不留空隙,那么小明用 9 个这样的图形拼出来的图形的总长度是(结果用含 a、b 代数式表示).图 1图 2解析 由题意,第 1 个图形的总长是 a+0b=a;第 2 个图形是 a+1b=a+b;第 3 个个图形是 a+2b=a+2b;第4 个图形是 a+3b=a+3b;第 5 个图形是 a+4b=a+4b;因此图形变化规律是 a+(n 1)b;故第 9 个图形拼出来的总长度为:a+(9 1)b=a+8b.点评数列问题是高中学习重点内容,也是初高中知识衔接的桥梁.本题属于简单常规题型,通过基本数字变化规律可得到答案.通过对一些基础的知识点或数学概念进行变形,给学生以一定规律排列的数,但其中至少缺少一项或是给几个图形规律最后转化待到数字规律,要求学生仔细观察规律,主要考查同学们的抽象思维和逻辑推理的能力.3.2 等比规律例 3.2.1(2016 广东省中考第 21 题)如图 3,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB 交 AB 于 D,以 CD为较短的直角边向 CDB的 同 侧 作 RtDEC,满 足E=30,DCE=90,再用同样的方法作 RtFGC,图 3FCG=90,继续用同样的方法作 RtHCI,HCI=90,若 AC=a,求 CI 的长.解析由题意,A=EDC=GFC=IHC=60,AC=a,DC=AC sin60=32a;同理,CF=DC sin60=34a;CH=CF sin60=338a,;因此,CI=CH sin60=98a.点评 该类题型在近几年中考经常出现,如 2018 年广东省中考第 16 题反比例函数与等边三角形规律问题,此类题型重在发展学生的符号意识,理解、运用符号表示数、数量关系和变化规律,使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性.4 条件推理题条件推理题就是将题目中给出的已知条件进行一些变形,挖掘题干中隐含的条件,从而为成功解题做好准备.此类题型中题干所给的条件一般都比较简单,因此如何能够从中发现有用的条件就是解题的关键,特别是隐性条件推理题型是近年中考的重要考查方向4.4.1 隐性条件推理题例 4.1.1(2020 年广东省中考第 17 题)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,ABC=90,点 M,N 分别在射线 BA,BC 上,MN 长度始终保持不变,MN=4,E 为 MN 的中点,点 D 到 BA,BC 的距离分别为 4 和 2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE 的最小值为.解析 如图4,连接BD,DE.由题意BD=22+42=25,MBN=90,MN=4,EM=NE,BE=12MN=2,点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心,2 为半径的弧,当点 E 落在线段 BD 上时,DE 的值最小,DE 的最小值为 25 2.点评隐性条件的代数推理题是中考的难点,和近年考查热点“隐圆”能力要求类似,要求学生构造解题模型,特别是 2023 年广东省中考第 23 题体现更加明显.此类题型解题关键在于梯子下图 4滑过程中 MN=4 不变,即点 E 到点 B 距离保持不变,因此可确定点 E 在 B 上运动,构造出“一箭穿心”模型,解决线段最值问题.5 综合推理题5.1 纯二次函数推理题例 5.1.1(2023 广州中考第 24 题)点 P(m,n)在函数y=2x(x 0)的图象上.8中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)指导学生录制数学讲题微课的思考与实践广东省广州市真光中学(510380)苏国东摘要 文章阐述了指导九年级两个教学班学生录制数学讲题微课的实践过程,总结出优秀讲题微课的一般流程包括提出问题、解决问题和小结方法三个环节,根据讲题内容指向的不同,微课可分为问题讲解、知识梳理、综合压轴和拓展应用四种类型.关键词 学生讲题;录制微课;数学讲题微课;讲题流程;微课类型1 问题提出“学习金字塔”理论指出,学生不同的学习方式所达到的学习效果不同,以“能够将所学内容教授他人”的效果为最佳(学习内容平均留存率达到 90%).对数学学科学习而言,学生讲题是一种有效的教授他人的学习方式,学生对他人讲授问题,不仅要对讲授内容作出独立思考,同时还要将内容转化为让他人理解的表达方式,在这过程中也提升了学生潜在智能的发展.(1)若 m=2,求 n 的值;(2)抛物线 y=(xm)(xn)与 x 轴交于 M,N(M 在N 的左边),与 y 轴交于点 G,记抛物线的顶点为 E.1m 为何值时,点 E 到达最高处;2设 GMN 的外接圆圆心为 C,圆 C 与 y 轴的另一个交点为 F,当 m+n=0 时,是否存在四边形 FGEC 为平行四边形?若存在,求此时顶点 E 的坐标;如不存在,请说明理由.解析(1)n=1;(2)1如图 5,不妨设 M(m,0),N(n,0),其中 m n,xE=m+n2,yE=(m+n2 m)(m+n2 n)=14(m n)2=14(m+n)2 2.当 m+n=0 时,m 2m=0,解得 m=2(舍去正值);因此,当 m=2 时,点 E 到达最高处.2存在.设 M(m,0),N(n,0),因为 m 0,由 FON v MOG 可得,2OF=mn=2,则 F(0,1),当四边形 FGEC 为平行四边形时,CE=FG,所以 12+14(m n)2=3,即(m n)2=14,又 mn=2,则(m+n)2=6,即 m+n=6,因此 E(62,72)或E(62,72).点评二次函数在初中数学课程占有重要比例,同时也是与高中数学知识衔接的重要部分.类似无图二次函数压轴题,在广州、深圳等地较为流行,本题主要考查了二次函数的综合应用,涉及到二次函数,考查了平行四边形的存在性问题,分类讨论是解题关键,体现新中考背景下数学抽象思维、代数推理能力的要求.在初中数学人教版教材中,代数推理贯穿始终,既存在于规律性问题的代数纯理论证明,也存在在几何图形特点的代数证明.近年来广东省中考数学加强了对代数推理及相关知识点的考查,由于现在更加注重对初高中数学思维和解题方式的衔接,题型也更图 5加创新和灵活,代数推理是一项需要长期培养的能力,需要教师在一线课堂教学中对学生持续引导和渗透.参考文献1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022 版)M.北京师范大学出版社,2022,4:54.2 蔡长芹.中学代数推理题的几种常见题型及解法.中考之窗 J,2011,6:26-27.3 杨明玮.三步助跑,小鸡慢飞谈如何在数与代数中发展演绎推理.中学时代(理论版)J,2012,6:31-32.4 张海强.代数推理,一项需要长期培养的能力.江苏教育(中学教学版)J,2017,7:10-12.