高等代数作业第一章多项式答案.doc

高等代数第一次作业第一章 多项式 13一、填空题1. 如果,，则 。2. 若,，则 。3. 若,，则 。二、判断题1. 数集是数域（ ）2. 数集是数域 （ ）3. 若,则 ( ) 4. 若,则 （ ）5. 数集是数域 （ ）6. 数集是数域 （ ） 除法不封闭7. 若，则或 ( ) 当是不可约时才成立8. 若,，则 ( ) 如，时不成立9. 若,，则且 ( ) 三、选择题1. 以下数集不是数域的是（ ）BA、， B、， C、 D、2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）CA、若且,则B、若,则C、若，且，则D、若,，则四、计算题数域中的数适合什么条件时, 多项式?解：由假设，所得余式为0，即 所以当时有五、证明题试证用除所得余式为。证明：设余式为，则有 求得=高等代数第二次作业第一章 多项式 46一、填空题1. 当是 多项式时，由可推出或。不可约2. 当与 时，由可推出。互素3. 设用除余数为3，用除余数为5，那么 。a=0,b=14. 如果，则 。5. 设是不可约多项式，,则 。或6. 设是不可约多项式，是任一多项式，则 。或7. 若,，且，则 。8. 若,且 ，则或。是不可约多项式二、判断题1. 若,，则 （ ）2. 若,则， ( ) 3. 若,且,则 ( ) 4. 设是数域上不可约多项式，那么如果是的重因式，则是的重因式。 （ ）5. 若有,则是,的最大公因式 （ ）6. 若是内的重因式，则是的重因式（ ） 如三、选择题1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）DA、若且 ,则B、若存在，使得，则是和的最大公因式C、若,且有，则是和的最大公因式D、若，则且2. 关于不可约多项式,以下结论不正确的是（ ）CA、若，则或B、若也是不可约多项式，则或C、是任何数域上的不可约多项式D、是有理数域上的不可约多项式3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）DA、若不可约多项式是的重因式，则是的重因式B、若不可约多项式是的重因式，则是，的最大公因式C、若不可约多项式是的因式，则是的重因式D、若不可约多项式是的重因式，则是的单因式四、计算题1设求以及使解：利用辗转相除法得因此又.所以2设(1)判断在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求在R上的标准分解式.解:（1）运用辗转相除法可得：.为在R上二重因式.(2)由(1)可得在R上的标准分解式为.解法2: 的可能有理根为,经检验为的有理根,由综合除法可得因此有.为在R上二重因式. 在R上的标准分解式为.五、证明题1设为正整数,证明:.证明:当时，有因此即有.反之设其中是互不相同的不可约多项式,.由可得,即.因此有.2. 已知是数域上的多项式，且则.证明:两式相加得:.由得.因此有.两式相减有,因此有.由及可得.又,因此有.类似有.高等代数第三次作业第一章 多项式 79一、填空题1. 设用除余数为5，用除余数为7，则用除余数是 。2. 设用除余数为3，则 。23. 如果，则 ， 。3, 74. 如果有重根，那么 。25. 以l为二重根，2，为单根的次数最低的实系数多项式为= 。6. 已知是的一个根，则的全部根是 。7. 是的根的充分必要条件是 。8. 没有重根的充分必要条件是 。二、判断题1. 如果没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ）2. 奇次数的实系数多项式必有实根。（ ） 虚根成对3. 在有理数域上可约。（ ） 变形后用判别法知 不可约4. 如果在有理数域上是可约的，则必有有理根。（ ）5. 在有理数域上不可约。（ ）三、选择题1. 关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ）DA、如果在有理数域上可约，则它必有理根。B、如果在实数域上可约，则它必有实根。C、如果没有有理根，则在有理数域上不可约。D、一个三次实系数多项式必有实根。2. 关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）BA、是的根的充分必要条件是B、若没有有理根，则在有理数域上不可约C、每个次数1的复数系数多项式，在复数域中有根D、一个三次的实系数多项式必有实根3. 设是整系数多项式，当=( )时，在有理数域上可约。DA、1 B、0 C、1 D、3或-54. 设是整系数多项式，当=（ ）时，在有理数域上可约。A A、7或-5 B、1 C、1 D、05. 设是整系数多项式，当=( )时，在有理数域上可约。DA、1 B、1 C、0 D、5或36. 设，以下结论不正确的是（ ）BA、在有理数域上不可约 B、在有理数域上可约C、有一实根 D、没有有理根7. 设,为奇素数，以下结论正确的是 （ ）AA、在有理数域上不可约 B、在有理数域上可约C、在实数域上不可约 D、在复数域上不可约四、计算题1.已知，试确定的值，使有重根，并求其根.解:若有重根,则.因此有解得或当时为的3重根;当时1为的2重根,-8为单根.解法2:若有重根,则.当时, 为的3重根; 当时, ,1为的2重根,此时,-8为单根.2.已知是多项式的一个根，求其所有的根.解:由实系数多项式虚根成对性, 也是的根.因此的所有根为,.3.当满足什么条件时，多项式有重根？解:显然当时,0为的四重根.当时,.当时,为的二重根.显然也满足.因此当时有重根.五、证明题1. 设是整系数多项式,为整数,证明:证明:若，令，其中为整系数多项式，为整数.由可得.因此有. 类似可证当2. 设，证明：若，则只能是常数.证明:反证法证明.假设不是常数. .在复数域上考虑, 至少有一个复根.由可得.即都是的根,与至多有个根相矛盾.因此为常数.