高等代数作业第一章多项式答案.doc

高等代数第一次作业
第一章 多项式 §1—§3
一、填空题
1. 如果,，则 。
2. 若,，则 。
3. 若,，则 。
二、判断题
1. 数集是数域（ ）√
2. 数集是数域 （ ）×
3. 若,,则 ( ) ×
4. 若,,则 （ ）√
5. 数集是数域 （ ）√
6. 数集是数域 （ ）× 除法不封闭
7. 若，则或 ( ) × 当是不可约时才成立
8. 若,，则 ( ) × 如，时不成立
9. 若,，则且 ( ) √
三、选择题
1. 以下数集不是数域的是（ ）B
A、， B、，
C、 D、
2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C
A、若且,则
B、若,,则
C、若，且，则
D、若,，则
四、计算题
数域中的数适合什么条件时, 多项式?
解：由假设，所得余式为0，即
所以当时有
五、证明题
试证用除所得余式为。
证明：设余式为，则有

求得=
高等代数第二次作业
第一章 多项式 §4—§6
一、填空题
1. 当是 多项式时，由可推出或。不可约
2. 当与 时，由可推出。互素
3. 设用除余数为3，用除余数为5，那么 。a=0,b=1
4. 如果，，则 。
5. 设是不可约多项式，,则 。或
6. 设是不可约多项式，是任一多项式，则 。或
7. 若,，且，则 。
8. 若,且 ，则或。是不可约多项式
二、判断题
1. 若,，则 （ ）×
2. 若,则， ( ) √
3. 若,且,则 ( ) ×
4. 设是数域上不可约多项式，那么如果是的重因式，则是的重因式。 （ ）√
5. 若有,则是,的最大公因式 （ ）×
6. 若是内的重因式，则是的重因式（ ）× 如
三、选择题
1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）D
A、若且 ,则
B、若存在，，使得，则是和的最大公因式
C、若,且有，则是和的最大公因式
D、若，则且
2. 关于不可约多项式,以下结论不正确的是（ ）C
A、若，则或
B、若也是不可约多项式，则或
C、是任何数域上的不可约多项式
D、是有理数域上的不可约多项式
3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）D
A、若不可约多项式是的重因式，则是的重因式
B、若不可约多项式是的重因式，则是，的最大公因式
C、若不可约多项式是的因式，则是的重因式
D、若不可约多项式是的重因式，则是的单因式
四、计算题
1．设求以及使

解：利用辗转相除法得

因此又

.
所以
2．设
(1)判断在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;
(2)求在R上的标准分解式.
解1）运用辗转相除法可得：.
为在R上二重因式.
(2)由(1)可得在R上的标准分解式为
.
解法2: 的可能有理根为,经检验为的有理根,由综合除法可得

因此有.为在R上二重因式. 在R上的标准分解式为
.
五、证明题
1．设为正整数,证明:.
证明:当时，有因此即有.
反之设

其中是互不相同的不可约多项式,.由可得,即.因此有.
2. 已知是数域上的多项式，，且

则.
证明:两式相加得:.由得.因此有
.
两式相减有,,因此有.由及可得.又,因此有.类似有.
高等代数第三次作业
第一章 多项式 §7—§9
一、填空题
1. 设用除余数为5，用除余数为7，则用除余数是 。
2. 设用除余数为3，则 。2
3. 如果，则 ， 。3, 7
4. 如果有重根，那么 。±2
5. 以l为二重根，2，为单根的次数最低的实系数多项式为= 。
6. 已知是的一个根，则的全部根是 。
7. 是的根的充分必要条件是 。
8. 没有重根的充分必要条件是 。
二、判断题
1. 如果没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ）×
2. 奇次数的实系数多项式必有实根。（ ）√ 虚根成对
3. 在有理数域上可约。（ ）× 变形后用判别法知 不可约
4. 如果在有理数域上是可约的，则必有有理根。（ ）×
5. 在有理数域上不可约。（ ）√
三、选择题
1. 关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ）D
A、如果在有理数域上可约，则它必有理根。
B、如果在实数域上可约，则它必有实根。
C、如果没有有理根，则在有理数域上不可约。
D、一个三次实系数多项式必有实根。
2. 关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）B
A、是的根的充分必要条件是
B、若没有有理根，则在有理数域上不可约
C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根
D、一个三次的实系数多项式必有实根
3. 设是整系数多项式，当=( )时，在有理数域上可约。D
A、1 B、0 C、1 D、3或-5
4. 设是整系数多项式，当=（ ）时，在有理数域上可约。A
A、7或-5 B、1 C、1 D、0
5. 设是整系数多项式，当=( )时，在有理数域上可约。D
A、1 B、1 C、0 D、5或3
6. 设，以下结论不正确的是（ ）B
A、在有理数域上不可约 B、在有理数域上可约
C、有一实根 D、没有有理根
7. 设,为奇素数，以下结论正确的是 （ ）A
A、在有理数域上不可约 B、在有理数域上可约
C、在实数域上不可约 D、在复数域上不可约
四、计算题
1.已知，试确定的值，使有重根，并求其根.
解:若有重根,则.
因此有
解得或
当时为的3重根;当时1为的2重根,-8为单根.
解法2:若有重根,则.
.

.
当时,, 为的3重根; 当时,
,1为的2重根,此时,-8为单根.
2.已知是多项式的一个根，求其所有的根.
解:由实系数多项式虚根成对性, 也是的根.
.
因此的所有根为,,.
3.当满足什么条件时，多项式有重根？
解:显然当时,0为的四重根.当时,
.

.
当时,,为的二重根.显然也满足.因此当时有重根.
五、证明题
1. 设是整系数多项式,为整数,证明:
证明:若，令，其中为整系数多项式，为整数..由可得.因此有
.
类似可证当
2. 设，证明：若，则只能是常数.
证明:反证法证明.假设不是常数. .在复数域上考虑, 至少有一个复根.由可得
.
即都是的根,与至多有个根相矛盾.因此为常数.