绝对值知识点.doc

绝对值（一）
【预习引领】
两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方行驶10km,到达A、B两处．
（1）它们的行驶路线相同吗？
（2）它们行驶路程的远近相同吗？
答:（1）不相同；(2)相同.
【要点梳理】
知识点一:绝对值的意义
1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，读作：a的绝对值.
例1 利用数轴求下列各数的绝对值.
（1），，；
（2）；
（3），，.
答:(1)=2;=; =；
(2) =0;
(3) =5; =3.2; =.
2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
例2 直接写出下列各数的绝对值.
，，，，，，
，，，，
答: =6, =8, =3.9, =;=10; =0;
=6, =8, =3.9, =;=10; =0;

小结：（1）对任一个有理数，绝对值只能为正数或0，不可能为负数，即.
（2）两个互为相反数的绝对值 ，绝对值相等的两个数 .
（3）绝对值为正数的有理数有 类，它们 ；绝对值为0的有理数是 .
答:(2)相等,相等或互为相反数.(3)两，正数与负数；0；
例3 判断下列说法哪些是正确的：
（1）符号相反的数互为相反数；
（2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；
（3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；
（4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；
（5）绝对值最小的有理数是0．
答案：（2）（5）

知识点二：绝对值的求法

例4 求下列各数的绝对值：
，，，．
答案：=；；；=2;

例5 填空：
（1）绝对值小于4的正整数有 .
（2）绝对值大于2而小于5的所有整数是 .
（3）如果一个数的绝对值是13，那么这个数是 ．
（4）若，则为 数.
答案：（1）3，2，1；（2）±3，±4；（3）±13；（4）负数与0；
例6 计算下列各式：
⑴

⑵
答：（1）原式=5－2=3；（2）原式=0.77÷=0.28；

☆例8 ⑴若，则 ，
.
⑵若，
则 ， .
答案：（1）0，0；（2）7，4；

【课堂操练】
1.的绝对值是 ，0的绝对值是 ，绝对值为2的数是 .
1. ，0，±2；
2.= ,= ,
= ,= .
2.1.5，10，2，－2.5；
3.⑴一个数的绝对值和相反数都是它本身，这个数是 ；
⑵绝对值小于的整数有 ；
⑶的相反数是 ，绝对值是 ；
⑷ 使成立的的值是 .
3.（1）0；（2）3，2，1，0，－1，－2，－3；（3）
4.在数轴上到数3所表示的点距离为5的点所表示的数是 .
4.8或－2；
5.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，则这两个数为 .
5．3与－3；
6.若，则= ；
若，则= ；
若，则= .
6．2m，0，0；
7. （2011北京市，1，4分）的绝对值是( )
A． B． C． D．
7.D

8．（2011浙江丽水，4，3分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ）
A．＋2 B．－3 C．＋3 D．＋4
8.A
9.若，则（ ）
A．是正数或负数；B．是正数；
C．是有理数； D．是正整数.
9．B
10.计算下列各题:
⑴;

⑵.

10．（1）原式=21+6=27；（2）原式=2008－2008=0；
☆11．若，求、的值.

11．由题意可知，x－7=0，3y－12=0，解得：x=7；y=4；
12.某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录如下表：
1
2
3
4
5
6
+0.4
－0.2
+0.1
0
－0.3
－0.2
（1）找出哪个些零件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解释.
（2）若规定与标准直径相差不超过0.2mm为合格品，则6件产品中有几件是不合格品？

12．（1）第4个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越接近；（2）第1个与第5个不合格，所以共有2件是不合格的产品；

【课后盘点】
1. （2011浙江省舟山，1，3分）－6的绝对值是（ ）
A. －6 B.6 C. D.－
1．B
2.一个有理数的相反数与自身的绝对值的
和 （ ）
A．可能是负数； B．必是正数；
C．必为非负数； D．必为0.
2．C
3．式子等于 （ ）
A． B． C. D．
3．C
4.某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，则该运动员跑步的总路程为 （ ）
A．1500米 B．5500米
C．4500米 D．3700米
4．B
5．绝对值等于本身的数是 （ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
5．C
6．下列结论中，正确的是 （ ）
A．一定是正数
B．和一定不相等
C．和互为相反数
D．和一定相等
6．C
7．代数式的最小值是 （ ）
A．0 B．2 C.3 D．5
7．C
8．下列结论中，正确的是 （ ）
A．
B．若，则
C.
D．若、互为相反数，则
8．B
9.若，则为 数；
若，则为 数.
9．非负数；非正数；
10.当时，= .
10．4－a；
11. （2011湖南常德，1，3分）
11．2
12.若，则= ；
若，则= ；
12．8或2；4或－4；
13．若，则= ，= ；
若，则= ，= .
13．a－1，2a－1；1－a，a－1；
14.若，则= .
14．0；
15.计算：
⑴
⑵
15．（1）原式=9=24；（2）原式==；
16.已知，，求.
16．=30－3×4=18；
17.已知，
求的值.
17．由题意可得，a=2，b=3，c=4，则=2+2×3+3×4=20；

18.正式的足球比赛，对所用足球的质量有严格规定，下面是6个足球的检测结果.（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）
－25，+10，－20，+30，+15，－40
请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原因.
18．第二个。绝对值越小，说明此球与标准足球误差越小；

19．某一出租车一天下午以车站为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）按先后次序记录如下：+9，－3，+4，－8，+6，－3，－6，－4，+10.
将最后一名乘客送到目的地，出租车又回到车站，若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？

19．（9+3+4+8+6+3+6+4+10）×2.4=127.2；

【课外拓展】
1.计算：

1． 原式
=
=；

２.阅读下列材料，并解答所提出的问题.
我们知道，的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义是什么呢？我们不妨先考虑一下、取特殊值时的情况，比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出－6和5的点A、B（如图）.因为A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是在数轴上表示－6和5的两点间的距离.

⑴的几何意义是 .
⑵根据的几何意义知
（填“＞”、“＜”或“＝”）
⑶说出的几何意义，并求当 时的值.
⑷数轴上表示和－2的A、B两点之间的距离是多少？如果，那么为多少？
⑸猜想对于有理数，能够取得的最小值是多少？

2．答：（1）点a与点b之间的距离；（2）=；（3）表示点x与点2之间的距离，4或0；（4），－5或1；（5）3；
（设计人：梅海燕）
No．5
1.2 绝对值（二）
【目标导航】
1．借助数轴初步理解绝对值的概论，能求一个数的绝对值.
毛2.体会绝对值的意义和作用.
【预习引领】
1．比较大小：
5.7 6.3；
0.03 0 ；
0；
－3 2。
1．＜，＞，＜，＜；
毛2．某气象台发布的未来七天的天气预报中，　每天的最高气温和最低气温如下：
第一天： 0℃～8℃；
第二天： 1℃～7℃；
第三天： －1℃～6℃；
第四天： －2℃～5℃；
第五天： －4℃～3℃；
第六天： －3℃～4℃；
第七天： 2℃～9℃.
（1）这14个温度中最高的是 ，
最低的是 .
（2）你能将这14个温度按从低到高的顺序排列吗？
2．（1）9℃，－4℃；（2）9℃＞8℃＞7℃＞6℃＞5℃＞4℃＞3℃＞2℃＞1℃＞0℃＞－1℃＞－2℃＞－3℃＞－4℃；

【要点梳理】
知识点：有理数大小比较的法则
(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
(2)两个负数，绝对值大的反而小.
例1 比较下列各对数的大小：
(1) －（－1）和－（+2）；
(2) 和 ；
⑶ －（－0.3）和 ；
⑷和
答案：（1）－（－1）＞－（+2）；（2）＞；（3）－（－0.3）＜；（4）＜
小结：先判断是否是两个负数的比较，如果不是，直接应用法则（1）：如果是，先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再应用法则（2）：判断原来两个负数的大小.
针对性练习：
1.比较下列各对数的大小：
（1）－0.7 和 －70
（2） 和 －（+3.2）
（3） 和 （4） 和
1．答案：（1）－0.7＞－70；（2） =－（+3.2）；（3）＞；（4）＞；
例2 比较下列各数的大小，并把它们用“>”号排列起来.
，－（－4）,,,0,－(+2)．
答案：－（－4）＞0＞－(+2) ＞ ＞＞；
小结:多个有理数比较大小时,可结合数轴形象地表示数,直观地比较有理数的大小.

针对性练习：在数轴上表示出下列各数,并用“＜”把它们连接起来.
,－2.5,,2,
答案：＜－2.5＜2＜＜；

例3 胜达公司有五个制药厂，下表是这五个制药厂七月份的盈亏情况（其中盈利记作正，亏损记作负），公司决定给盈利最多的厂颁发流动红旗，请问红旗应颁发给哪个工厂？（亏盈单位：万元）
工厂
一厂
二厂
三厂
四厂
五厂
亏盈
2.8
2.9
0
－2.1
－0.7

答案：二厂；

【课堂操练】
1.用“＜”、“＞”、“＝”号填空.
（1） ； （2） ；
（3） 0.001；（4） ；
（5） 0； 　（6） －0.825；
（7） ； （8） －3.14；
1.（1）= （2）＞ （3）＜ （4）＞ （5）＜ （6）＞ （7）＞ （8）＜
2. （2011 江苏连云港 9，3分）写出一个比－1小的数是_ ．
2.－2（答案不唯一）
3.根据有理数、、在数轴上对应的位置，　　
比较下列各对数的大小.

⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ ； ⑹ ；
3.（1）＞（2）＞ （3）＞ （4）＜ （5）＞（6）＞
4．已知，，且，则= ，　　
= .
4.4或－4，－5；
5．比较下列每组数的大小：
⑴与； ⑵与；

⑶与 ； ⑷与；

⑸与 ； ⑹与．
5．（1）＞ （2）＜ （3）＞ （4）＜ （5）＜ （6）＞
6．若，，且，求、值.

6．a=－5，b=1或－1；

【课后盘点】
1.如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法正确的是 （ ）
A．这个数必大于另一个数
B．这个数必小于另一个数
C．这两个数的符号必相反
D．无法确定两个数的大小
1．D
2．在数轴上，下面说法中不正确的是 （ ）
A．两个有理数，绝对值大的离原点远
B．两个有理数，大的在右面
C．两个负有理数，大的离原点近
D．两个负有理数，大的离原点远
2．D
3．下列说法正确的是 （ ）
A．有最大的整数 B．有最小的负数
C．有最小的整数 D．有绝对值最小的数
3．D
4.下列说法不正确的有 （ ）
⑴绝对值等于他本身的数有两个：0和1
⑵一个有理数的绝对值必为正数
⑶任何有理数的绝对值不可能为负数
⑷若、为有理数，且，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. 4。A
5．5．2011遵义，1，3分）下列各数中，比－1小的数是
A．0 B.－2 C. D.1
5.B
6. （2011安徽，1，4分）－2，0，2，－3这四个数中最大的是（ ）
A．2 B．0 C．－2 D．－2
6.A
7.已知有理数、满足条件，， ，则下面关系正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．B
8.有理数、b在数轴上表示如图所示，
那么 （ ）

b
0
a
A． B．
C． D．
8．D
9.在数轴上，如果点A对应的有理数为4，点B对应的有理数为，且A、B的距离为7，，那么的值为 （ ）
A．+11 B．－3 C．3 D．－11
9．A
10.比较下列每组数的大小：
⑴和
⑵－2.5 和

⑶和

10．（1）＞ （2）＜ （3）＜

11. 如果，， ，试比较、 、、的大小.

11．可利用特殊值法，如设a=1，b=－2，则－a=－1，－b=2，则＞＞＞
【课外拓展】
阅读：比较和.
解法一:利用两数差的正负来判断:
因为,所以.
解法二:利用通分化为同分母,看分子大小判断:
因为,,所以.
解法三：,所以.
1.从以上三种比较大小的方法中，选择其中一种比较和的大小.
答案：，，又，所以
＞。

2.将下列各数用“＜”号连接起来.
，，，
答案：
＞＞＞

3．试比较下列四数的大小，，，.

答案：＞＞＞

绝对值的五种处理方式
绝对值定义 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值．（又称绝对值的几何意义）
绝对值性质
①绝对值法则：一个正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零；（又称绝对值的代数意义）
②若，则；若，则；
③非负性：．
1. 借助于其代数意义．即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例1 已知：|x-3|+x-3＝0，
求：(1)x+1的最大值；(2)7-x的最小值．
2. 借助于数轴
例2 已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，试化简：|b|-|a+b|+|c-a|+|b-c|
3. 零点分段讨论法． (所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内代数式等于零的字母所取的值在数轴上所对应的点)
一般步骤：
（1）找零点，定范围；
（2）去绝对值（分类讨论的数学思想）
例3 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．

4. 借助于其几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例4 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．

5. 其他方法：
例5 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
计算中如何去掉绝对值?

　　疑 点：计算中如何去掉绝对值?

　　解析：绝对值是有理数章节的一个重要概念，它表示了数轴上的点到原点的距离，因此绝对值的结果一定是大于等于0的。在计算中，如何正确去掉绝对值呢?分两种情况：

　　一、绝对值中不含字母(0的绝对值等于0)　　1、当绝对值里的算式大于等于0时，直接去掉绝对符号即可;例如：去掉|25-4|的绝对值。 ∵25-4=21>0，∴|25-4|=25-4.　　2、当绝对值里的算式小于0时，去掉绝对值后，绝对值里的算式变为它的相反数。例如：去掉|4-25|的绝对值. ∵4-25=-21<0，∴|4-25|=-(4-25)=-4+25

　　二、绝对值中含有字母(0的绝对值等于0)　　1、绝对值中只含一个字母时，只需明确字母的正负符号。例如：(1)去掉|2a-5a|绝对值。 此绝对值中含有字母a，2a-5a=-3a，我们无法确定-3a的符号，因此在没有给出a的其他条件时不能去掉绝对值符号。如果明确a的范围就可以。　　 当a>0时，-3a<0，有|2a-5a|=-(2a-5a)=3a　 　当a<0时，-3a>0，有|2a-5a|=2a-5a=-3a　　2、绝对值中含有两个或以上字母时，需明确字母的大小关系。例如：(1)去掉|m-n|绝对值，m，n均不为0。 此绝对值中含有字母m，n，如果题目中没有告知m，n 的大小关系，这个绝对值无法去掉。需要加上前提条件：　　 当m>n时，m-n>0，有|m-n|=m-n　　 当m<N时，M-N< p>

　　结 论：当绝对值符号里面是负数时，去掉绝对值符号后的结果是它的相反数;当绝对值符号里面是正数时，去掉绝对值符号后的结果是它本身;当绝对值符号里为0时，去掉绝对值符号后的结果为0.