第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A.doc

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛
总 分
决赛试题A(初一组）
（时间: 2010年4月10日10：00～11：30）
一、填空题 (每题10分, 共80分）
1。互不相等的有理数a, b， c在数轴上的对应点分别为A， B, C. 如果
，
那么在点A， B， C中, 居中的是点 .
2。右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成,
这个立体图形的表面积为 .
3。汽车A从甲站出发开往乙站， 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇。 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km。
4.把自然数 分组, 要求每组内任意3个数的最大公约数为1， 则至少需要分成
组。
5。已知正n边形的内角度数的两倍为整数， 那么这样的正整数n有 个.
6.已知 , 则的值等于 .
7。六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b， b， c， d， d， 且， 那么a等于 。
8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光； 然后开始同速注水, 注满一半时， 将注水速度加倍直到注满。 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.

二、解答下列各题 （每题10分， 共40分， 要求写出简要过程）
9。能否找到7个整数， 使得这7个整数沿圆周排成一圈后， 任3个相邻数的和都等29 ？ 如果能, 请举一例。 如果不能， 请简述理由。

10.已知k 是满足 的整数， 并且使二元一次方程组

有整数解。 问： 这样的整数k有多少个？

11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若， 求的可能值.

12.解方程
，
其中 ［x］ 表示不大于x的最大整数。

三、解答下列各题 (每题15分, 共30分， 要求写出详细过程)
13.右图中, ABC， BCD， CDE, DEF， EFA， FAB
的面积之和等于六边形ABCDEF的面积. 又图中的6个阴影
三角形面积之和等于六边形ABCDEF的面积的. 求六边形
的面积与六边形ABCDEF的面积之比。

装
订
线

14。一个单项式加上多项式 后等于一个整式的平方, 试求所有
这样的单项式.

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A参考答案(初一组）
一、填空 (每题10分, 共80分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
A
32
680
503
28

5

8. 解答.

二、解答下列各题 （每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)
9. 答案: 不能.
解答. 假设存在7个整数排成一圈后， 满足任3个相邻数的和都等于29。 则
， ， , ,
, ， 。
将上述7式相加, 得
.
所以
,
与为整数矛盾！ 所以不存在满足题设要求的7个整数。
10. 答案: 2。
解答. 直接解方程组，
。
当
（其中m和n是整数) (1)
时方程组有整数解。 消去上面方程中的k, 得到
. （2）
从（2)解得
(其中l是整数). （3）
将（3)代入(1)中一个方程
, 。
解不等式
， , 。
因此共有2个k值使原方程有整数解.
11. 答案： 49， 14. 96.5（96.5可答可不答）
解答。 因为为质数, 所以为最简真分数, 所以
.
同理可得
.
所以
.
首先， 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设。 因为
=,
所以p和 q可以是以下情形:
， 对应的;
， 对应的.
12. 答案: .
解答. 当时， 有。 当时, 有。 由于
，
可以断言， 如果方程有正数解 x， 则. 因此， 是不可能的。
另一方面，
，
可以断言, 如果方程有负数解 x, 则. 因此
, , ， .
故原方程的解为。
三、解答下列各题 （每题15分， 共30分， 要求写出详细过程)
13. 答案: .
解答。 记六边形的面积为S， 图中阴影部分的面积为S1; 记 △ABC， △BCD， △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的面积之和为S2， 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3, 由题设条件可知
S2 =, S1 =.
在计算S2时， 加了两次S3， 所以 , 从而得
。
又
,
所以
.
故
.
14. 答案: ， 或8x, 或32x， 或.
解答。 设所求的单项式是 ， 。
共有3个不为同类项的单项式， 如果 ， 则多项式
+
中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方， 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方， 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以， 得到.

所求的单项式为， 或8x, 或32x, 或, 再无其他解答。