资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．(﹣3，2) B．(3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(3，﹣2)
2．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0 B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣ D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
5．若点在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
7．反比例函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）
A． B． C． D．
10．下列图形中一定是相似形的是( )
A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形
11．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是( )
A．a+c＝0
B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
C．当函数在x＜时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜
二、填空题（每题4分，共24分）
13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____．
14．如图，的直径垂直弦于点，且，，则弦__________．
15．已知1是一元二次方程的一个根，则p=_______.
16．如图，某河堤的横截面是梯形，，迎水面长26，且斜坡的坡比（即）为12:5，则河堤的高为__________．
17．在△ABC中，已知（sinA-）2+│tanB-│=1．那么∠C=_________度．
18．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为_____；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
20．（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张．
（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率．
21．（8分）某厂生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多1500元．
（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少？
（2）某销售商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍．恰逢该厂正在对甲商品进行降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了，该销售商购进甲的数量比原计划增加了，乙的出厂单价没有改变，该销售商购进乙的数量比原计划少了．结果该销售商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求的值．
22．（10分）已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCD；
（2）若AD=8，AB=5，求ME的长．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．
24．（10分）已知关于的方程
（1）无论取任何实数，方程总有实数根吗？试做出判断并证明你的结论.
（2）抛物线的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且也为正整数.若，是此抛物线上的两点，且，请结合函数图象确定实数的取值范围.
25．（12分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，如果∠A是锐角，∠DCB＝∠EBC＝∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
26．如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B
【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
2、C
【解析】将x的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断．
【详解】当x=-3时，y1=1，
当x=-1时，y2=3，
当x=1时，y3=-3，
∴y3＜y1＜y2
故选：C．
【点睛】
考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3、A
【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】∵，
∴二次函数图像顶点坐标为：.
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
4、D
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．
B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是＝1．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
5、C
【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】解：反比例函数为，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随着的增大而增大，
又，，，．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
6、A
【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．
【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是，
的顶点坐标是．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是
7、B
【解析】由图像经过A（2，3）可求出k的值，根据反比例函数的性质可得时，的取值范围.
【详解】∵比例函数的图象经过点，
∴-3=，
解得：k=-6,
反比例函数的解析式为：y=-，
∵k=-6<0，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵x=1时，y=-6，x=3时，y=-2，
∴y的取值范围是：-6<y<-2，
故选B.
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，k>0时，图像在一、三象限，在各象限y随x的增大而减小；k<0时，图像在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键.
8、C
【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长；
【详解】∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB＝9，AC＝6，AD＝3，
∴AE=2，
即EC=AC-AE=6-2=4；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
9、D
【解析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形．
【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，
故选：D．
【点睛】
本题考查正投影的定义及正投影形状的确定．
10、B
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．
11、A
【详解】这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95，
故选A.
12、C
【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．
【详解】解：∵函数经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，
∴a+c＝0，b＝﹣2，
∴A正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2x﹣a，
∴△＝4+4a2＞0，
∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，
∵x1+x2＝，x1x2＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝2＞2，
∴B正确；
二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴x＝﹣＝，
当a＞0时，不能判定x＜时，y随x的增大而减小；
∴C错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0，＞0，
∴m+n＜；
∴D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（2，﹣1）．
【解析】先把函数解析式配成顶点式得到y=（x-2）2-1，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
解：y=（x-2）2-1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
14、
【分析】先根据题意得出⊙O的半径，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．
【详解】连接OB，∵，，
∴OC＝OB＝（CE＋DE）＝5，
∵CE＝3，
∴OE＝5−3＝2，
∵CD⊥AB，
∴BE＝＝．
∴AB＝2BE＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
15、2
【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将代入方程中，即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵1是一元二次方程的一个根
∴
∴
故答案是：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16、24cm
【分析】根据坡比（即）为12:5，设BE=12x，AE=5x，因为AB=26cm，根据勾股定理列出方程即可求解.
【详解】解：设BE=12x，AE=5x，
∵AB=26cm，
∴
∴BE=2×12=24cm
故答案为：24cm.
【点睛】
本题主要考查的是坡比以及勾股定理，找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解.
17、2
【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，进而根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】∵(sinA)2+|tanB|=1，
∴sinA1，tanB1，
∴sinA，tanB，
∴∠A=45°，∠B=61°，
∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解答本题的关键．
18、2． -1
【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．
【详解】解：①如图，连接OA．
∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（共78分）
19、（1）x＝；（1）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；
（1）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF1＝BE1+BF1＝（a﹣x）1+x1＝1x1﹣1ax+a1，
∴正方形EFGH的面积y＝EF1＝1x1﹣1ax+a1，
当a＝1，y＝3时，1x1﹣4x+4＝3，
解得：x＝；
（1）∵y＝1x1﹣1ax+a1＝1（x﹣a）1+a1，
即：当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
20、（1）；（2）.
【分析】(1)解答时根据条件找出规律解答，先找出奇数，然后求概率．(2)熟悉列表法或画树状图法，求出数字相同的概率．
【详解】（1）∵共有3张纸牌，其中数字是奇数的有2张，
∴甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为奇数的概率为，
故答案为．
（2）列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中两人抽取的数字相同的有3种结果，
所以两人抽取的数字相同的概率为＝．
【点睛】
此题重点考察学生对概率的实际应用能力，抓住概率的计算公式，理解列表法或画树状图法是解题的关键．
21、（1）甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件；（2）的值为1．
【分析】（1）设甲商品的出厂单价是x元/件，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意列出方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量结合改变采购计划后的总货款与原计划的总货款恰好相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲商品的出厂单价为元/件，乙商品的出厂单价为元/件，根据题意，可得，
，解得．
答：甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件．
（2）根据题意，可得，
,
令，化简，得，
解得，（舍去）．
∴，即．
答：的值为1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系，正确列出二元一次方程组与一元二次方程．
22、（1）证明见解析（2）4
【分析】（1）由AD为直径，得到所对的圆周角为直角，利用等角的余角相等得到一对角相等，进而利用两对角对应相等的三角形相似即可得证；
（2）连接OM，由BC为圆的切线，得到OM与BC垂直，利用锐角三角函数定义及勾股定理即可求出所求．
【详解】解：（1）∵AD为圆O的直径，∴∠AMD=90°．
∵∠BMC=180°，∴∠2+∠3=90°．
∵∠ABM=∠MCD=90°，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，∴△ABM∽△MCD；
（2）连接OM．
∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC．
∵AB⊥BC，∴sin∠E==，即=．
∵AD=8，AB=5，∴=，即OE=16，根据勾股定理得：ME===4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23、（2）y＝﹣x2+2x+2；（2）点P的坐标为（0，2+）；（2）MD2＝n2﹣n+3；点M的坐标为（ ，）或（，）．
【分析】（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，根据旋转的性质及同角的余角相等，可证出△ODP≌△FED（AAS），由抛物线的解析式可得出点D的坐标，进而可得出OD的长度，利用全等三角形的性质可得出EF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出DF，OP的长，结合点P在y轴正半轴即可得出点P的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出m2﹣2m＝2﹣n，根据点D，M的坐标，利用两点间的距离公式可得出MD2＝n2﹣n+3，利用配方法可得出当MD2取得最小值时n的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出当MD2取得最小值时点M的坐标．
【详解】（2）将A（﹣2，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．
∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，
∴∠OPD＝∠FDE．
在△ODP和△FED中，，
∴△ODP≌△FED（AAS），
∴DF＝OP，EF＝DO．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣2）2+3，
∴点D的坐标为（2，0），
∴EF＝DO＝2．
当y＝2时，﹣x2+2x+2＝2，
解得：x2＝2﹣（舍去），x2＝2+，
∴DF＝OP＝2+，
∴点P的坐标为（0，2+）．
（2）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，
∴n＝﹣m2+2m+2，
∴m2﹣2m＝2﹣n．
∵点D的坐标为（2，0），
∴MD2＝（m﹣2）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+2+n2＝2﹣n+2+n2＝n2﹣n+3．
∵n2﹣n+3＝（n﹣）2+，
∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+2＝，
解得：m2＝，m2＝．
∴MD2＝n2﹣n+3，
当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值以及两点间的距离公式，解题的关键是：（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征求出OP的长；（2）利用两点间的距离公式结合二次函数图象上点的坐标特征，找出MD2＝n2﹣n+3．
24、（1）无论取任何实数，方程总有实数根；证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题意分当时以及当时，利用根的判别式进行分析即可；
（2）根据题意令，代入抛物线解析式，并利用二次函数图像性质确定实数的取值范围.
【详解】解：（1）①当时，方程为时，，所以方程有实数根；
②当时，
所以方程有实数根
综上所述，无论取任何实数，方程总有实数根.
（2）令，则，解方程，
∵二次函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且为正整数
∴
∴该抛物线解析式
∴对称轴
∵，是抛物钱上的两点，且
∴
【点睛】
本题考查二次函数图像的综合问题，熟练掌握二次函数图像的相关性质是解题关键.
25、存在等对边四边形，是四边形DBCE，见解析
【分析】作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，证明△BCF≌△CBG，得到BF＝CG，再证∠BDF＝∠BEC，得到△BDF≌△CEG，故而BD＝CE，即四边形DBCE是等对边四边形．
【详解】解：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等对边四边形．
【点睛】
此题考查新定义形式下三角形全等的判定，由题意及图形分析得到等对边四边形是四边形DBCE，应证明线段BD＝CE，只能作辅助线通过证明三角形全等得到结论，继而得解此题.
26、（1）证明见解析；（2）BD=．
【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；
（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=．
【详解】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF=，
∴S△ABF=，
即4×2=2BD，
∴BD=．
【点睛】
本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．
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