2022-2023学年南师附中集团数学九上期末考试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如果两个相似多边形的面积之比为，那么它们的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）

A．8 B．4 C．10 D．5
3．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是(　　)

A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能确定
7．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（　　）

A．2 B．1 C． D．
9．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．下列事件为必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
11．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
12．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，小明在探究活动“测旗杆高度”中，发现旗杆的影子恰好落在地面和教室的墙壁上，测得，，而且此时测得高的杆的影子长，则旗杆的高度约为__________．

14．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率
（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．
15．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心画圆，与轴交于；两点，与轴交于两点，当时，的取值范围是____________.

16．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ．

17．抛物线的顶点坐标是___________．
18．已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为___．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量x在范围内时，函数值y满足．那么我们称b-a为这段函数图象的横宽，称d-c为这段函数图象的纵高．纵高与横宽的比值记为k即：．
（示例）如图1，当时；函数值y满足，那么该段函数图象的横宽为2-（-1）=1，纵高为4-1=1．则．
（应用）（1）当时，函数的图象横宽为 ，纵高为 ；
（2）已知反比例函数，当点M(1，4)和点N在该函数图象上，且MN段函数图象的纵高为2时，求k的值．
（1）已知二次函数的图象与x轴交于A点，B点．
①若m=1，是否存在这样的抛物线段，当()时，函数值满足若存在，请求出这段函数图象的k值；若不存在，请说明理由．
②如图2，若点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，为半径作圆，当AB段函数图象的k=1时，抛物线顶点恰好落在上，请直接写出此时点P的坐标．

20．（8分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
21．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝1
（2）5x2+2x﹣1＝1．
22．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　 　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是　 　．

23．（10分）某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下社团：A．足球、B．机器人、C．航模、D．绘画，学校要求每人只能参加一个社团小丽和小亮准备随机报名一个项目.
（1）求小亮选择“机器人”社团的概率为______；
（2）请用树状图或列表法求两人至少有一人参加“航模”社团的概率.
24．（10分）解方程：x2﹣6x+8＝1．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
26．如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，，求的值及的长．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为，
∴两个相似多边形周长的比等于，
∴这两个相似多边形周长的比是．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2、D
【详解】解：∵OM⊥AB，
∴AM=AB=4，
由勾股定理得：OA===5；
故选D．
3、B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
4、D
【分析】根据EF∥BC，FD∥AB，可证得四边形EBDF是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．
【详解】解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴BE=DF，EF=BD，
∵EF∥BC，
∴，，
∴，故B错误，D正确；
∵DF∥AB，
∴，,
∴，故A错误；
∵，，故C错误；
故选：D．

【点睛】
本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5、B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接写出答案．
【详解】点P(-3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，-4) ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
6、B
【解析】根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【详解】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A=∠A′，sinA=sinA′
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A=∠A′是解题关键．
7、B
【分析】根据二次根式的性质，同类二次根式的定义，以及二次根式的除法，分别进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、无法计算，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.
8、C
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，于是得到结论．
【详解】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，
∴OH＝AH＝，
故选：C．

【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
9、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出的值．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根
∴
故选C．
【点睛】
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=是解决此题的关键．
10、B
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.
【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
11、A
【解析】试题分析：A．∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B．∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C．∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
考点：根的判别式．
12、B
【分析】根据平均年增长率即可解题.
【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：

故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】作BE⊥AC于E，可得矩形CDBE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CE的长度即为旗杆的高度
【详解】解：作BE⊥AC于E，

∵BD⊥CD于D，AC⊥CD于C，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BE=CD=1m，CE=BD=2m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，即，
解得AE=2（m），
∴AC=AE+EC=2+2=1（m）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
14、0.1
【解析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.1附近，
故摸到白球的频率估计值为0.1；
故答案为：0.1．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
15、
【解析】作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC.当CD=6和CD=时在中求出半径MC,然后在 中可求的值，于是范围可求.
【详解】解：如图1，当CD=6时，作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC，
∵，
∴ME=4,MF=3,
∵ME⊥CD, CD=6,
∴CE=3,
∴,
∴MA=MC=5,
∵MF⊥AB,
∴==,
如图2，当CD=时，作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC，

∵，
∴ME=4,MF=3,
∵ME⊥CD, CD=,
∴CE=,
∴,
∴MA=MC=8,
∵MF⊥AB,
∴==,
综上所述，当时， .
故答案是：.
【点睛】
本题考查了三角函数在坐标系和圆中的应用，作辅助线构造直角三角形利用垂径定理求出半径是解题的关键.
16、π﹣1．
【详解】解：在Rt△ACB中，AB==，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC==π﹣1．
故答案为π﹣1．
考点：扇形面积的计算．
17、（1，﹣4）．
【解析】解：∵原抛物线可化为：y=（x﹣1）2﹣4，∴其顶点坐标为（1，﹣4）．故答案为（1，﹣4）．
18、4π．
【分析】根据弧长公式求弧长即可.
【详解】此扇形的弧长＝＝4π，
故答案为：4π．
【点睛】
此题考查的是求弧长，掌握弧长公式：是解决此题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）2，4；（2），2；（1）①存在，k=1；② 或或
【分析】（1）当时，函数的函数值y满足
从而可以得出横宽和纵高；
（2）由题中MN段函数图象的纵高为2，进而进行分类讨论N的y值为2以及6的情况，再根据题中对k值定义的公式进行计算即可；
（1）①先求出函数的解析式及对称轴及最大值，根据函数值满足确定b的取值范围，并判断此时函数的增减性，确定两个端点的坐标，代入函数解析式求解即可；
②先求出A、B的坐标及顶点坐标，根据k=1求出m的值，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）当时，函数的函数值y满足，
从而可以得出横宽为，纵高为
故答案为：2，4；
（2）将M（1，4）代入，得n=12，
纵高为2，
令y=2，得x=6；令y=6，x=2，
，
.
（1）①存在，
，
解析式可化为，
当x=2时，y最大值为4，
，解得，
当时，图像在对称轴左侧，
y随x的增大而增大，
当x=a时，y=2a；当x=b时，y=1b，将分别代入函数解析式，
解得(舍)，(舍)，，

②，，，理由是：

A（0，0），B（4，0），顶点K（2，4m），
AB段函数图像的k=1，
，
m=1或-1，
二次函数为或，过顶点K和P点分别作x轴、y轴的垂线，交点为H.
i)若二次函数为，
如图1，设P的坐标为（x，x），则KH=，PH=，
在中，，
即
解得，

ii)若二次函数为，
如图2，设P的坐标为（x，x），则，
在中，
，解得x=-1，

【点睛】
本题考查的是新定义问题，是中考热门题型，解题关键在于结合抛物线的图像性质、直角三角形的勾股定理以及题中对于k值的定义进行求解．
20、 (1) A社区居民人口至少有2.1万人；(2)10.
【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；
（2）A社区的知晓人数＋B社区的知晓人数＝7.1×76%，据此列出关于m的方程并解答．
【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.1−x）万人，
依题意得：7.1−x≤2x，
解得x≥2.1．
即A社区居民人口至少有2.1万人；
（2）依题意得：1.2（1＋m%）2＋1×（1＋m%）×（1＋2m%）＝7.1×76%，
设m%＝a，方程可化为：1.2（1＋a）2＋（1＋a）（1＋2a）＝1.7，
化简得：32a2＋14a−31＝0，
解得a＝0.1或a＝−（舍），
∴m＝10，
答：m的值为10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．
21、（1）x1=-2，x2=6；（2）x1=，x2=
【分析】（1）先移项，两边再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2-4ac的值，代入公式求出即可．
【详解】（1）(x-2)2-16=1，
(x-2)2=16，
两边开方得：x-2=±4，
解得：x1=-2，x2=6；
（2）5x2+2x-1=1，
b2-4ac=22+4×5×1=24，
x=，
∴x1=，x2=
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查了学生的计算能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
22、（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；
【解析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．
【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；

（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），
故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）
【点睛】
此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．
23、（1）；（2）；
【分析】（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得；
（2）用列表格法列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得.
【详解】解：（1）小亮随机报名一个项目共有4种等可能结果，分别为A.足球、B.机器人、C.航模、D.绘画，其中选择“机器人”的有1种，为B.机器人，所以选择“机器人”的概率为P=.
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如图：

从表格可以看出，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中至少有一人参加“航模”社团有7种，分别为(A,C),(B,C),(C,A), (C,B),(C,C), (C,D),(D,C),所以两人至少有一人参加“航模”社团的概率P=.
【点睛】
本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率,用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键.
24、x1＝2 x2＝2．
【分析】应用因式分解法解答即可.
【详解】解：x2﹣6x+8＝1
（x﹣2）（x﹣2）＝1，
∴x﹣2＝1或x﹣2＝1，
∴x1＝2 x2＝2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
25、（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或.
【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE；
（2）如图，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由和，可得结论；
（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt＋b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根据Q3（−4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；
②分三种情况：
（i）当PQ∥OE时，根据，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；
（ii）当PQ∥OF时，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t−2＝ (7−t)，可得t的值．
（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．
【详解】解：（1）令，则，
∴，
∴为.
∵为，
在中，.
又∵为中点，∴.
（2）如图，作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴为.

（3）①∵动点同时作匀速直线运动，
∴关于成一次函数关系，设，
将和代入得，解得，
∴.
②（ⅰ）当时，（如图），，
作轴于点，则.
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.

（ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.
∵,
∴,
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.

（ⅲ）由图形可知不可能与平行.
综上所述，当与的一边平行时，的长为或.
【点睛】
此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．
26、（1）见解析；（2）见解析；（3），
【分析】（1）根据圆的切线的定义来证明，证∠OCD=90°即可；
（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；
（3）根据已知条件先证△CDB∽△ADC，由相似三角形的对应边成比例，求CB的值,然后求求的值；连结BE,在Rt△FEB和Rt△AEB中，利用勾股定理来求EF即可．
【详解】解：（1）如图1，连结，
是的直径，，
又点是的中点，
．

，
又

是的切线
图1
（2）四边形内接于，

．

，

即是等腰三角形
（3）如图2，连结，
设，，
在中，

，
由（1）可知，又
，

在中，
，
，
是的直径，，

即
解得
图2
【点睛】
本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长．