课时达标检测(二十二)函数y=A.doc

课时达标检测（二十二） 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用
[练基础小题——强化运算能力]
1．要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析：选B　由y＝sin＝sin得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
2．(2017·渭南模拟)由y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，则f(x)为(　　)
A．2sin B．2sin
C．2sin D．2sin
解析：选B　y＝2siny＝2sin
y＝2sin＝2sin＝f(x)．
3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则φ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D　由图可知A＝2，T＝4×＝π，故ω＝＝2，又f＝2，所以2sin＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝.
4．(2016·长沙四校联考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选C　将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的函数为y＝sin，将函数y＝sin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为y＝sin＝f(x)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，选C.
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．
解析：根据所给图象，周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象经过点，所以有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，所以f(x)＝sin，则f＝sin2x＋，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·汕头调研)已知函数周期为π，其图象的一条对称轴是x＝，则此函数的解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选A　由函数周期为π，排除D；又其图象的一条对称轴是x＝，所以x＝时，函数取得最值，而f＝sin＝1，所以A正确．
2.(2017·洛阳统考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选D　由图象可知A＝1，＝－，∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A，C，把x＝代入检验知，选项D符合题意．
3．(2017·湖北八校联考)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C　把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y＝sin(x∈R)．
4．(2017·郑州模拟)将函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
解析：选B　由题意得，g(x)＝－cos 2＝－cos2x－＝－sin 2x.A.最大值为1正确，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；B.当x∈时，2x∈，g(x)单调递减，显然g(x)是奇函数，故B正确；C.当x∈时，2x∈，此时不满足g(x)单调递增，也不满足g(x)是偶函数，故C错误；D.周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称．故选B.
5．(2017·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
6．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由已知得g(x)＝sin (2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.
二、填空题
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：观察图象可知，A＝1，T＝2＝π，
∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
即－＋φ＝kπ，k∈Z，
由|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴＝，即x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝.
答案：
8．(2017·山东师大附中模拟)设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.
答案：
9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.
解析：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
10．已知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析：依题意，x＝＝时，y有最小值，即sin＝－1，则ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．所以ω＝8k＋(k∈Z)．因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.
答案：
三、解答题
11.函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，因为0<φ<，故φ＝.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2，故<πx0＋<，由f(x0)＝得cos＝，所以πx0＋＝，故x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx＝cos πx－sin πx＝sin.当x∈时，－≤－πx≤.所以－≤sin≤1，故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P在时刻t(单位：分钟)距离地面的高度y(单位：米)满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y关于t的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米？
解：(1)由题设可知A＝50，b＝60，
又T＝＝3，所以ω＝，
从而y＝50sin＋60.
由题设知t＝0时y＝10，
将t＝0，y＝10代入y＝50sin＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－，
因此y＝60－50cost(t≥0)．
(2)要使点P距离地面的高度超过85米，则有y＝60－50cost>85，
即cost<－，解得<t<，即1<t<2，
所以在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.