向量数量积定义和运算律.doc

(完整word)向量数量积定义和运算律
课时作业21　向量数量积的物理背景与定义
　向量数量积的运算律
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a|＝3,|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　)
A．－3 B．－6
C．6 D．12
解析:∵a·b＝|a｜|b｜cos135°＝3×4×（－)＝－6.
答案：B
2．若非零向量a，b满足|a｜＝|b|，(2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由（2a＋b)·b＝0得2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，〈a，b〉＝120°。
答案：C
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，｜a｜＝1，｜b|＝2,则|c｜2等于(　　)
A．1　　 　　 B．2　　 　　
C．4　　 　　 D．5
解析：|c|2＝|a＋b｜2＝｜a｜2＋|b|2＋2a·b＝5.
答案：D
4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝（　　)
A．4　　 　　 B．3　　 　　
C．2　　 　　 D．0
解析：∵a⊥c，∴a·c＝0。∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0。
∴c·（a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
答案：D
5．如图，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　）

A。∥
B．（＋）⊥（＋)
C．（－)·（－）＝0
D。·＝·
解析：A显然正确;
B：＋＝,＋＝，∵菱形对角线互相垂直，
∴⊥。∴B正确．
C：－＝，－＝,同B一样，正确．
D：·＝｜｜｜|cos∠BAD，·＝｜｜｜｜cos(π－∠BAD)＝－｜｜｜｜cos∠BAD.
答案：D
6．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a｜≠｜b｜，则函数f（x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　）
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
解析:本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f（x)＝（xa＋b）·（xb－a)＝（a·b）x2＋(|b｜2－|a｜2）x－a·b
又∵a⊥b，且|a｜≠｜b｜，
∴f(x）＝（｜b｜2－｜a｜2)x　(｜b|2－｜a｜2≠0)
故f（x）为一次函数且为奇函数，选A.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分）
7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：本题考查向量数积及运算性质．
以｛，}为基底,则·＝0，而＝＋,＝－,
∴·＝(＋）·（－）
＝－｜｜2＋｜|2＝－×22＋22＝2。
答案：2
8．已知非零向量a，b满足a⊥b,且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________。
解析：（a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2,∵a⊥b，
∴｜a＋2b｜＝，｜a－2b|＝.
∴cos120°＝＝
＝＝－.
∴＝。∴＝.
答案：
9．如图，在平行四边形ABCD中,已知AB＝8，AD＝5，＝3,·＝2，则·的值是________．

解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，
所以·＝(＋）·(－)＝2－·－2,
即2＝25－·－×64,解得·＝22.
借助·表示出·是解决本题的关键所在．
答案:22
三、解答题（共计40分,其中10题10分,11、12题各15分）
10．已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）·（2a＋b)＝61，求a·b的值及a与b的夹角θ.
解：由（2a－3b)(2a＋b）＝61，得
4|a|2－4a·b－3|b｜2＝64－4a·b－27＝61。
所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－，
因为0≤θ≤π,所以θ＝，所以a与b的夹角θ为.
11．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a｜＝1，｜b｜＝2，求｜2a－b|。
(2）已知a,b是两个非零向量，且｜a|＝｜b|＝｜a－b|.求a与a＋b的夹角．
解：(1)∵|2a－b｜2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b｜＝2。
(2）∵|a｜＝|a－b｜,
∴|a|2＝｜a－b｜2＝｜a｜2－2a·b＋|b｜2.
又|a|＝｜b|，∴a·b＝|a｜2,
又|a＋b|＝＝＝｜a｜，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝＝，
又θ∈［0，π］，∴θ＝，即a与a＋b的夹角为。
12．已知｜a｜＝4，｜b|＝3，（2a－3b)·(2a＋b）＝61。
（1)求|a＋b｜；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
解:(1）∵（2a－3b）·(2a＋b)＝61，
∴4｜a｜2－4a·b－3｜b|2＝61。
∵｜a|＝4，|b｜＝3,∴a·b＝－6，
∴｜a＋b|＝
＝＝。
（2）∵a·(a＋b)＝｜a｜2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝。