土木工程制图03投影基础.pdf

目录页第2页绪论01制图的基本知识与技能02投影基础03平面立体及其轴测投影04曲面立体及其轴测投影05工程形体的表达方法目录页第3页力 06标身投影107房屋建筑施工图I 08结构施工图I 09建筑给水排水工程图 10道路、桥梁及涵洞工程图目录页第4页绪论01制图的基本知识与技能02投影基础03平面立体及其轴测投影04曲面立体及其轴测投影05工程形体的表达方法本章导读第5页4本章导读工程图样是通过投影图来表达工程形体或建筑物 的结构形状的。要看懂这些图样，就必须理解并掌握 与投影有关的基础知识。为此，本章重点介绍三面投 影图的形成和投影规律，空间点、线、面的投影和画 法，以及用换面法求空间直线和平面的实际形状、尺 寸及与投影面的夹角等，以初步培养学生的空间想象 能力，从而为学好后面的知识打下坚实的基础。技能目标第6页技能目标了解投影的基本知识，掌握正投 影的基本特性。掌握三面投影图的形成过程、投影 规律及物体的6个方位关系。掌握点的投影规律和点的投影与直 角坐标系之间的关系。掌握直线和平面的投影规律，能够 熟练地在三面投影图和立体图上分 析相应点、直线、平面的投影，并 能判断点、直线和平面的空间位置。能利用换面法求空间点、直线和平面 之间的距离或角度。第二章投影基础第7页第一节投影的基本知识一、投影的概念及分类在日常生活中，物体在灯 光或日光的照射下，在墙面或 地面上就会显现出影子，通过 影子能看出物体的外轮廓形状。但影子仅是一个黑影，它不能 清楚地反映物体的完整结构，如图2-1(a)所示。光线(a)影子 图2-1物体的影子和投影第二章投影基础第8页人们对自然界的这一物理现象加以科 学的抽象和概括，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体(只研究其形状、大小、位置，不考虑其物理性质和化学性质)，把地面和墙面抽象为投影面。即假设光线 能穿透物体，而将物体表面上的各个点和 线都在承接影子的平面上落下它们的影子,从而使得这些点、线的影子组成了能够反 映物体形状的线框图，如图2-1(b)所(b)投影图2-1物体的影子和投影第二章投影基础第9页我们把这样形成的线框图称为投影。把能 够产生光线的光源称为投影中心，光线称为投影线 或投射线，承接影子的平面称为投影面。这种把空 间形体转化为平面图形的方法称为投影法。要得到物体的投影，必须具备投射线、物体和 投影面3个条件。其中，投射线可自一点发出，也可 是一束与投影面成一定角度的平行线。这样，可将 投影分为中心投影和平行投影。第二章投影基础第10页(-)中心投影当光源S距离投影面为有限远 时，所有投射线都交汇于一点(即 投影中心)，这种投影法称为中心 投影法，用中心投影法所得到的投 影称为中心投影。如图2-2所示，H 面上的必。就是空间 ABC的中心 投影。若改变空间ABO寸投射中 心S的距离，则所得投影儿的大 小将发生变化，即中心投影不能反 映空间几何形体的实形。图2-2中心投影法第二章投影基础第11页二）平行投影当光源S距离投影面无穷远时，所有投射线都变得几乎平行，这种所 有投射线都相互平行地经过空间物体,并在投影面上得到投影的方法称为平 行投影法。第二章投影基础第12页在平行投影中，若投射线与投影面倾斜，则为斜投影法，所得到 的投影图称为斜投影或斜投影图；若投射线与投影面垂直，则为正投 影法，所得到的投影图称为正投影或正投影图，也可简称为投影，如 图2-3所示。平行投影的投射线相互平行，所得投影的大小与物体离投 影中心和投影面的距离无关。图2-3平行投影法第二章投影基础第13页二、工程中常用的投影图用图样表达形体空间形状的方 法，称为图示法。用图示法表达工 程形体时，根据表达的目的和被表 达对象的特性不同，往往需要采用 不同的图示方法。工程中常用的图 示法有透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图。第二章投影基础第14页:-)透视投影图用中心投影法将物体投射在单一 投影面上所得到的图形称为透视图，如图2-4(a)所示。透视图与照相原 理相似，相当于将相机放在投影中心 所拍的照片一样，具有形象、逼真、立体感较强、符合人近大远小的 视觉特点。但作图较繁琐，且建筑物 各部分的确切形状和大小不能在图中 度量，常用作建筑设计方案比较、展 览或绘制建筑物的效果表现图。(a)透视图 图2-4透视图和轴测图第二章投影基础第15页轴测投影图是用平行投影法(正投影法或斜投影法)将物体 投射到单一投影面上所得到的图 形。根据投射线与投影面的角度 不同，轴测图可分为正轴测投影 和斜轴;即殳影，如图2-4(b)和(c)所示。(b)正轴测投影(c)斜轴测投影图2-4透视图和轴测图轴测投影图具有一定的立体 感，能反映出物体的长、宽、高,但不能完整地表达物体的形状，一般只能用作工程辅助图样。第二章投影基础第16页（三）正投影图用正投影法将物体向两个或 两个以上相互垂直的投影面投影,再按一定规律将投影面展开到一 个平面上所得到的投影图，称为 正投影图，工程上最常用的是三 面正投影图。图2-4所示形体的三 面正投影图如图2-5所示。图2-5三面正投影图正投影图作图简便，度量性 好，可反映物体的真实形状和大 小，常用于绘制建筑施工图和建 筑结构图等。但正投影图的立体 感差，只有具备制图知识的人才 能看懂。第二章投影基础第17页）标高投影图标高投影图是一种带有高度数字标记的单面正投影图，如图 2-6所示。作图时，需将间隔相等而高程不同的等高线投影到水平 投影面上，并标出等高线的高程。标高投影图常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路等方面的平面布置图样。（a）透视图（b）标高投影图图2-6标高投影图第二章投影基础第18页三、正投影的基本性质正投影的形成条件是投射线相互平行且垂直于投影面。,正投影图具有以下几个特性。实形性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其 投影反映实形（或实长）。如图 2-7（a）中，平行于丫面的平面P 和形成平面P的所有棱线在该投 影面上的投影反映其实形。第二章投影基础第19页积聚性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）。如图2-7（b）中，垂直于V 面的平面。在该投影面上的投影积聚为一条 直线，棱线5。积聚成（。）点。（b）积聚性（c）类似性图2-7正投影的基本特性第二章投影基础第20页类似性：当物体的某一平面(或棱线)与投影面倾斜时，其投影与该平面(或棱边)类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平 面图形变小了，线段变短了。如图2-7(c)中，倾斜于V面的平面R在该投影面上的投 影是平面R的类似形。(C)类似性 图2-7正投影的基本特性第二章投影基础第21页第二节三面投影图的形成及投影规律物体的一个投影只能反映两个方向的尺寸，不同形状的物体在同 一投影面上的投影有可能相同，如图2-8(a)所示。因此，一个投影 不能完整地表达物体的形状和大小。第二章投影基础第22页用相互垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影,这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高3个方向上的尺寸。因此，一般情况下，两面投影能清楚表达物体的形状，但有些物体用两面投影 也不能准确表达其形状，如图2-8(b)所示。由此可见，要确切表达物 体的形状和大小，就需要建立一个三面投影体系。(b)不同物体的两面投影相同 图2-8物体的单面投影和两面投影第二章投影基础第23页图2-9三面投影体系一、三面投影体系的建立要唯一确定物体的形状和大小，通常将物体放在由3个相 互垂直的投影面组成的三面投影体系中，然后向这3个投影面 分别进行以影。这3个相互垂直的投影面称为三面投影体系，如图2-9所示。第二章投影基础第24页其中，处于正立位置的平面称 为正立投影面，简称正立面，用V 标记；处于侧立位置的平面称为侧 立投影面，简称侧立面，用尔,标记；处于水平位置的平面称为水 平投影面，简称水平面，用H标 记。3个投影面之间的交线称为投影 轴，分别用OX,0丫和0Z表示，3根 投影轴的交点。称为原点。第二章投影基础第25页二、三面投影图的形成与展开将物体放置于三面投影体系中，并使物体的主要表面平 行于投影面，然后采用3组分别垂直于3个投影面的平行投射 线对物体进行投射，即可得到物体的三面投影图，它们分别 是丫面投影、面投影和W面投影，如图2-10所示。图2-10三面投影图的形成第二章投影基础第26页V 面投影：又称正面投影，是由前 向后投射时物体在正立投影面（V面）上所得到的投影图。“面投影：又称水平投影，是由上 向下投射时物体在水平投影面（面）上所得到的投影图。W 面投影：又称侧面投影，是由左 向右投射时物体在侧立投影面（W 面）上所得到的投影图。第二章投影基础第27页为了把相互垂直的3个投影面上的 投影画在同一张图纸上，绘图时需将相 互垂直的3个投影面展开在同一个平面 上。展开方法是：丫面保持不动，将H 面绕邮由向下旋转90。，将W面绕OZ轴 向右旋转90。，分别使其与V面处于同一 平面。这时，。若由被分成两条，分别 用。（在“面上）和。几（在卬面上）表示，如图2-11（a）所示。图2-11三面投影图的展开第二章投影基础第28页(b)图2-11三面投影图的展开由于投影面是假想的，投影面的大小 并不影响投影图的形状和大小，因此在实 际绘图时不必画出投影面的线框。此外，也不需要注写H,V,W字样。展开后的 三面投影图如图2-11(b)所示。第二章投影基础第29页三、三面投影图之间的对应关系 三面投影图表示物体3个方向上的投影，所以3个投影图之间既有区别又有联系。从物体三面投影图的形成和展开过程可 以看出，三面投影图在投影和方位上具有如下对应关系。-)投影关系由图2-11(b)可知，V面和“面投影 都反映了物体的长度，展开后这两个投影 左右对齐，这种关系称为长对正；V 面和W 面投影都反映了物体的高度，展开 后这两个投影上下对齐，这种关系称为 高平齐；面和W面投影都反映了物 体的宽度，这种关系称为宽相等。(b)图2-11三面投影图的展开第二章投影基础 第30页长对正、高平齐、宽相等是正投影图重要的投影对应关系。作图 时，长对正可用靠在丁字尺工作边上的三角板将丫面投影和H面投影对 正；高平齐可直接用丁字尺将丫面投影和W面投影拉平；宽相等 可利用以原点为圆心所作的圆弧将宽度在面投影与W面投影之间互相转 移，也可利用45。辅助线保证H面投影和W面投影的关系，如图2-12所示。(a)用圆弧表示(b)45。辅助线表示 示图2-12三面投影图的投影关系(c)45。辅助线表第二章投影基础 第31页第二章投影基础第32页二）方位关系三面投影图不仅反映了物体在长度、宽度和高度方向上的尺寸关 系，同时还反映了物体上、下、左、右、前、后6个方位。如图2-13所 示，V面投影（正面投影）反映物体的上、下和左、右的相对位置关系；面投影（水平投影）反映物体的前、后和左、右的相对位置关系；W 面投影（侧面投影）反映物体的前、后和上、下的相对位置关系。第二章投影基础第33页绘制三面投影图时，可设想分别从 物体的前方向后、左侧向右和上方向下 观察物体，如果棱边和轮廓线可见，则 用粗实线表示；如果棱边和轮廓线不可 见，则用细虚线表示。当粗实线与虚线 或点画线重合时，应画成粗实线；当虚 线与点画线重合时，则应画成虚线。此外，画图和读图时，要特别注意 面投影和W面投影之间的前、后位置 关系和尺寸关系。第二章投影基础第34页【例2-1】根据图2-14中的立体图及V 面和W面投影,补画其H面投影。解：面投影可根据三面投影图的三等 关系和6个方位关系来补画，具体补画过程如 下。(1)根据长对正、宽相等补画基础 长方体的H面投影，如图2-15(a)所示。(2)根据长对正、宽相等补画基础 长方体上缺口的H面投影，如图2-15(b)所 ZJo图2-14已知条件图2-15补画H面投影第二章投影基础第35页【例2-2】分析图2-16(a)中加，和/线框所代表的平面分别与优，b，/线 框所代表的平面的方位关系。解：在H面投影上找出M和，线框所代表的图 线机和,如图2-16(b)所示。由于“面投影反映物 体的前、后、左、右关系,且图线m在图线的上面 故M面在4面的后方。在H面投影上找出/和d线框 所代表的图线用口。,由于图线q在图线c的右侧,故。面在。面的右侧。在V面投影上找出丽峨框所代表的图线孔和。由于V面投影反映物体的上、下、左、右关系，目 图线在图线。的下方,故N面在8面的下方。(b)图2-16分析平面的方位关系第二章投影基础第36页第三节点的投影房屋形体由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交 于多个顶点，如图2-17中的顶点A I B。J 从形体角度来看，只要把这些顶点的投影画出后，再用直线将各点的投影一一连接，就 可以得到该形体的投影。由此可见，点是形体的最基本元素，其投影 规律也是线、面、体投影的基础。图2-17房屋形体第二章投影基础第37页一,点的三面投影若将空间点A置于三面投影体系中，然后自点A分别向3个 投影面作垂线(即投射线)，交得的3个垂足点，和唧为 空间点A的面投影、V面投影和W面投影，如图2-18所示。XXYhYh(c)(b)图2-18点的三面投影W1/第二章投影基础第38页画投影图时通常规定，空间点用大写拉丁字母A,5,表示，H面投影用相应的小写字母表示，如。，；V面投 影用相应的小写字母加一撇表示，如H,加，；W面投影用 相应的小写字母加两撇表示，如优，点的投影规律由图2-18中点A的三面投影图的 形成过程，可总结出点的投影规律，具体如下。(1)点A的水平投影和正面投 影优的连线垂直于0脂由，即“HJLOX。(2)点A的正面投影和侧面投 影”的连线垂直于由，即优/JLOZ。第二章投影基础第39页(3)空间点到某一投影面的距离，等于 另外两个投影面上的投影到与该投影面相交的 投影轴的距离，即_A点到H面的距离Aa=afa=arfa;A点到丫面的距离Aafaa arra;A点到W面的距离Aan=aax=a!由上述可知，点的两面投影即可确定点的 空间位置。因此，只要绐出点的两面投影，就 可以求出其第三面投影。第二章投影基础 第40页【例2-3】已知点A的正面投影屋和侧 面投影，如图2-19(a)所示，求该点 的水平投影。分析：根据点的投影规律可知,aarOXo因此，过点作OX轴的垂线，所 求点。必在该垂直的延长线上。由qz二Qx 可确定点。的位置。作图步骤：(1)过屋点作邮由的垂线并延长。(2)过点作OYW轴的垂线交轴Z qz or。oYh(a)图2-19求点的水平投影第二章投影基础第41页r(3)以。点为圆心、o“w为半径作圆、弧,交。坛轴于“H点。(4)过阳点作。X轴的平行线，与过,点的竖直线相交，则交点即为所求的水平投 晚点。，如图2-19(b)所示。/XQQ-以 0Z40 嬴Yh(b)图2-19求点的水平投影第二章投影基础第42页:二)点的投影与坐标空间点可用直角坐标匕，y,21来表示。由图2-18中可以看出：_-Q)Aa n-a faz=aaY=x,x坐标即为空间点A到W面的距离。A”二二优。丫=z,2坐运即为空荷点A到面的距离。=V，丁坐标即为空间点A到丫面的距离。第二章投影基础第43页【例2-4】已知空间点A(15,10,20),求作它的三面投影图。(1)画出两条相互垂直的直线，以作为投影轴，然后在邮由上向左量取15，得“X 点，接着过“X点作。唱由的垂线，如图2-20(a)所示。(2)在过6点的垂线上向上量取20得,点，向下量取10得。点，如图2-20(b)所(3)过。点画出45。斜线，然后由。点和点作出。点即可,如图2-20(c)所示。(a)(b)(c)图2-20求空间点的三面投影第二章投影基础第44页二、两点之间的相对位置关系空间两点的相对位置是以其中一 个点为基准，来判断另一个点在该点 的上方或下方、前面或后面、左侧或 右侧。空间两点的相对位置，可根据其坐标 关系来判断，具体表现为：(1)X坐标确定两点的左右关系，X坐 标大者在左边，X坐标小者在右边；(2)y坐标确定两点的前后关系，y坐 标大者在前边，y坐标小者在后边；(3)2坐标确定两点的上下关系，2坐 标大者在上边，2坐标小者在下边。图2-21两点的相对位置第二章投影基础第45页值得注意的是，如果空间两点位于某一投影 面的同一投射线上，则这两点在该投影面上的投 影必定重合为一点，我们将这两点称为该投影面 的重影点。如图2-22(b)中，A,5两点在面上 的投影为重影点。三面投影图中，重影点中的可 见点标注在前，不可见点应加圆括号注写在可见 点的后面,如图2-22(b)中的点)。图2-22重影点及其可见性第二章投影基础第46页提示重影点可见性的判断应遵循“前遮后（前可见后不可见）、上遮下（上可见下不可见）、左 遮右（左可见右不可见广的投 影规律。第二章投影基础第47页【例2-5】已知空间点A(7,12,6),B点在A点的左侧5 mm、上方4 mm、后方6 mm处，求作B点的三面投影。作图步骤：(1)根据A点的3个坐标值作出其三面投影，如图2-23(a)所示。(2)沿0X轴方向量取12(即75)并作0X轴的垂线，沿。於由方向量取6(即 126)并作。若由的垂线，两条垂线的交点即为5点的H面投影，如图2-23(b)所(3)沿由方向量取10(即64)并作由的垂线，该垂线与过点的竖直垂 线的交点为勿点，最后根据和点作出点，如图2-23(c)所示。图2-23求点的三面投影第二章投影基础第48页第四节直线的投影r 两点可以确定一条直线。在几何学中，直线没有起点和终点，、即直线的长度是无限的。直线上两点之间的部分（一段直线）称为 线段，线段有一定长度。本书所涉及的直线实质上是指线段。空间两点可确定一条直线，故直线的投影取决于该直线上两个 点的投影。由此可得出作直线的三面投影的基本方法，即分别作出直线上两个点的三面投影，然后将同面投影用直线连接起来即可 A第二章投影基础第49页一、各种位置直线的投影及投影特性根据直线与投影面的相对位置不同，可将直线分为投影面 平行线、投影面垂直线和一般位置直线。-）投影面平行线平行于某一投影面，同时倾斜于其余 两个投影面的直线，称为投影面平行线。其中，平行于面的直线称为水平线；平 行于丫面的直线称为正平线；平行于W面的 直线称为侧平线。投影面平行线的投影特 性如表2-1所示。第二章投影基础第50页表2-1投影面平行线的投影名称水平线投影特性a归 OX,qb。丫w ab-AB仍与投影轴的夹 角反映。角和Y角的 实形正平线侧平线Q)ab OX,a,fbff/OZ(2)db=AB与投影轴的夹 角反映a角和Y角的 实形仍0珀，ab/OZ廿二AB与投影轴的夹 角反映a角和。角的 实形第二章投影基础第51页直线与投影面之间的夹角，称为直 线的倾角。直线对面、V面、W面的 倾角分别用希腊字母。、/、7标记。由表2-1可知，投影面平行线的投 影可概括为一斜两平，其投影特性 为:(1)投影面平行线在与其平行的 投影面上的投影反映实长，且该投影与 相应的投影轴之间的夹角反映直线与另 两个投影面的倾角；(2)投影面平行线在另外两个投 影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且长度小于实长。第二章投影基础第52页:二)投影面垂直线若空间一直线垂直于某一个投影面，则 该直线必定平行于另外两个投影面，这样的 直线称为投影面垂直线。其中，垂直于面 的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为 正垂线；垂直于w面的直殡称为侧垂线。投 影面垂直线的投影特性如表2-2所示。由表2-2可知，投影面垂直线的投影可 概括为“一点两垂其投影特性为：(1)直线在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点；(2)直线的另外两个投影垂直于相应 的投影轴，且反映该直线的实长。第二章投影基础第53页表2-2投影面垂直线的投影特性第二章投影基础第54页【例2-6】已知图2-24所示直线A5的 水平投影，该直线对打面的倾角为30。,端点A距水平面的距离为10,A点在5点 的左下方，求直线的其他两面投影。作图步骤：(I)过。点作邮由的垂线。“X，在MX的延 长线上截取优以二1。，如图2-25(a)所示。(2)由于A点在B点的左下方，故过优点 作与OX轴成30。的斜线，该斜线与过瓦点的垂 线仍x的延长线相交，即可得到点，如图2-25(b)所示。(3)根据直线的水平投影仍和正面投 影。,可作出其侧面投影优劣，如图2-25(c)所亦。x-o图2-25求点的三面投影图2-25求点的三面投影第二章投影基础第55页三）一般位置直线与3个投影面都倾斜的直线称为一般位 置直线，如图2-26中的直线A及图2-26 一般位置直线的投影第二章投影基础第56页1.一般位置直线的投影特性由图2-26可以看出，一般位置直线的投 影可概括为“三斜三短”，其投影特性为：(1)一般位置直线在3个投影面上的 投影线均倾斜于投影轴，其投影与相应投 影轴的夹角不能反映真实的倾角；(2)3条投影线段的长度都小于空间 线段的实长。第二章投影基础第57页2.一般位置直线的实长和倾角一般位置直线对3个投影面的投影都是倾斜的，3个投 影均不能直接反映直线的实长和倾角，但可根据直线的投 影，用图解的方法求出该直线的实长及其对投影面的倾角 o图解的方法有多种，此处仅介绍最常用的直角三角形法如图2-27(a)所示，43为一般位置直线。在A3与其水平投影所决定的平面内，过A点作A曷仍，并与班相交于当点。由于班JLH,所以AB,ABB,为直角三角形。(a)(b)(c)图2-27求一般位置直线的实长和倾角第二章投影基础第58页该三角形的斜边是一般位置线A3本身，NA4为为A3对“面的 倾角，直角边AB1等于，另一直角边为A,5两端点在垂直方 向上的高差，即血产|Bb-Aa|=|ZB-ZA|=AZBAo如果能作出 A班i的投影，就可以求出一般位置直线钻的实长和倾角。如图2-27（b）所示，当直线A3的水平投影已知时，以他为 一直角边，以A,5两点的高度差值（即|ZB-ZA|）为另一直角边,作直角三角形此0,则。防=ABXB,叫）即为一般位置线AB的 实长，/m舔为直线AB与H面的倾角。同理，求直线AB对丫面的倾角，可将“作为一直角边，将A,5两点的y坐标差|yA-yB I（即。，两点前后方向的距离，可在水 平投影图中找出）作为另一直角边，在V面投影上作A。0,则 AabAAB,A。/即为一般位置直线AB的实长，/人。%为直 线AB与丫面的倾角，如图2-27（c）所示。第二章投影基础第59页二.直线上点的投影特性直线上的点都具有从属性和定比性两个特性。从属性：是指若一个点在直线上，则该点的投影必 在该直线的同面投影上；反之，若一个点的三面投 影均在直线的同面投影上，则该点必在该直线上，如图2-28中的。点为直线43上的一点。定比性：是指直线上的点分割线段之比在投影后保持不变。如图2-28(a)所示，已知C点分线段纯为ACWC5两部分，由于Aa/ICcHBb,因此 四=同理 AC 二 ac 二=ac,即 AC _ ac CB c，b，c，b 百=一而_=CB cb1第二章投影基础第60页图2-28直线上点的投影已知直线与点的投影，可利用定比性法和补投影法 来判定点与直线的相对位置。其中，定比性法是通过点 的定比性对其位置进行判断的方法；补投影法是通过补 画已知直线和已知点的投影，来判断点与直线相对位置 的方法。第二章投影基础第61页【例2-7】已知直线A&点M和点M勺 正面投影,mr,nr,以及水平投影,丽,如图2-29(a)所示,试判断点 场口点N与直线A5的关系。补投影法作图步骤：(1)根据直线A5的正面投影力和水平 投影，作出其侧面投影 2。(2)分别作点M和点M勺侧面投影加点 和4点,如图2-29(b)所示。由于W点在直 线。上，而点不在直线上，因此可以 判定M点在直线AB上，而N点不在直线上。图2-29点与直线相对位置的判别第二章投影基础第62页【例2-7】已知直线A&点M和点M勺 正面投影,“，nr,以及水平投影,丽,如图2-29(a)所示,试判断点 场口点N与直线A5的关系。xob0定比性法作图步骤：若采用定比性法作图时，应先过点。作任 一辅助线，并取,连接仍1,然后在 上量取利o=Q及徇1=b,最后过点外和点。分别作直线仍1的平行线，如图2-29(c)所 示。由该图中可知，M点在直线A3上而N点不 在直线上。mb(a)已知条件图2-29点与直线相对位置的判别(c)定比性法图2-29点与直线相对位置的判别第二章投影基础 第63页【例2-8】已知图2-30(a)所示为直线8的两面投影，试在该直线上 取一点E，使得。石等于定长。(1)用直角三角形法求的实长,如图2-30(b)所示。(2)在线段通上截取以，并使的实长，然后过分点作“的平行线,交cd于e点,最后由e点求出，点，如图2-30(c)所示。图2-30求一般位置直线的实长和倾角第二章投影基础第64页三,两直线的相对位置空间两直线可能有3种不同的相对位置,即平行、相交和交叉。如图2-31所示白旷房 形体，棱边A3与BCffi交，DG与石方平行，与GH交叉（既不相交又不平行）。由于 两平行棱边或相交棱边都在同一平面上，所 以它们均称为共面线。两交叉棱边不在同一 平面上，因此称为异面线。图2-31厂房形体第二章投影基础第65页:-）两直线平行两直线平行的投影规律为：若两直线平行，则它们的各同面投影一定相互平行。反之，若空间 两直线各同面投影均相互平行，则该两直线一定为 平行关系；若两直线平行，则它们的长度之比等 于它们各同面投影的长度之比。如图2-32所示，直线AB平行于直线C。，则 abllcd,aIcd:CD=ab:cd=arbr:cd。图2-32两直线平行的投影规律第一早投影基础值得注意的是,如果两直线均为投影面平行线，则只有当反映实长的同面投影 上的投影为平行线时，才能判定这两条直 线平行。如图2-33(a)所示,虽然abhd,，但由于AB和均为侧平线，且其侧面投影a方与c4相交，故直线 和不平行。除了通过补画第三面投影来判断两直 线是否共面外，还可以利用辅助直线来判 断这两条直线的空间位置。如图2-33(b)所示，分别在丫面和面中连接A点与。点，5点与C点的投影，然后过这两个交 点作垂直于投影轴的投影线。若两交点的 投影连线不在同一直线上，则表示直线 和不共面，即为交叉。否则，直线 43和为共面线。(a)补画W面投影图2-33判断两条侧平线的相对位置(b)用辅助直线判断是否共面 图2-33判断两条侧平线的相对位置第二章投影基础第67页:二)两直线相交两直线相交的投影规律为：如果空间两直线相交，则它们的各同 面投影一定相交，并且交点的投影必符合直线上点的投影规律。反之,如果空间两直线的各组同面投影都相交，并且交点的投影符合直线 上点的投影规律，则这两直线一定为相交关系，如图2-34中的直线A3 和为空间两相交直线。(a)立体图图2-34两直线相交(b)投影图第二章投影基础第68页值得注意的是：(1)如果两直线都为一般直线，那么只需任意两组同面投影相交，且交 点符合直线上点的投影规律，就可以判 定这两条直线相交，如图2-34中的直线 和相交。(2)如果两直线中有一条为投影 面平行线，则只有当该直线在反映其实 长的投影面上的投影相交，且交点符合 直线上点的投影规律时，才能判定这两 条直线相交，如图2-35中的直线A3和 C。不相交。图2-35两直线不相交第二章投影基础第69页【例2-9】已知图2-36所示四边形A5C。的V面投影及两条边的H面投影，试补全该四边形的H面投影。作图步骤：_(1)连接优。和5，即可得到两对角线交点K的V0投影玄，如图2-37(a)所(2)根据直线上点的从属性可知，交点K的打面投影必在对角线ACW5O上。因此，连接，然后过幻点作垂线，交或连线于左点，接着连接b点和匕点，贝！Jd点在 b舶勺延长线上，如图2-37(b)所示。(3)过力点向下作垂线，与根的延长线交于d点。分别连接。点与b点，以及。点 与d点，即可得到四边形A5C。的H面投影cd,如图2-37(c)所示。图2-37补画四边形ABCD的H面投影第二章投影基础第70页(三)两直线交叉既不平行也不相交的空间两直线称为交叉直线，如图2-38所示的直线和 CD。交叉两直线的投影有以下两种情况。(1)交叉两直线的同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律，即 交点不是空间两直线真正的交点，而是重影点，如图2-38(b)中W面投影中的 交点即为重影点。(2)交殳防直线的同面投影可能相互平行，但它们在3个投影面上的同面 投影不会全部相互平行，如图2-3 8(b)所亦。图2-38两直线交叉第二章投影基础第71页第五节平面的投影一平面的表示方法平面是广阔无边的，它在空间 可用下列形式中的任意一种表示。(1)不在同一条直线上的3个 点,如图2-39(a)所示。(2)直”和直线外一点，如图 2-39(b)所示。(3)两条相交直线,如图2-39(c)所示。(4)两条平行直线，如图2-39(d)所示。(5)任意平面图形，如图2-39(e)所不。图2-39平面的表示法第二章投影基础第72页二、各种位置平面的投影及其投影特性按空间平面与投影面的相对位置不同，平面可分为投影面 平行面、投影面垂直面和一般位置平面。工程形体上的平面，以投影面平行面和投影面垂直面居多。）投影面平行面平行于某一投影面而与其他投影面均垂直的平面，称为 投影面平行面。其中，平行于H面的平面称为水平面，平行 于丫面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面。投影面平行面的投影特性如表2-3所示。第二章投影基础第73页表2-3投影面平行面的投影特性名称 立体图投影图投影特性“面投影反映实形V面投影和卬面投影积 聚成直线，分别平行于投 景乡轴。/口0%V面投影反映实形“面投影和W面投影积 聚成直线，分别平行于投 景乡轴0X和0Zw面投影反映实形V面投影和面投影积 聚成直线，分别平行于投 景乡轴0Z和。珀第二章投影基础第74页由表2-3可知，由于投影面平行面又同时 垂直于其他两个投影面，所以它的其他两面 投影分别积聚为一条直线，且平行于相应的 投影轴。投影面平行面的投影特性为：(1)投影面平行面在与其所平行的投影 面上的投影反映实形；(2)投影面平行面的另外两面投影积聚 成直线段，且分别平行于相应的投影轴。第二章投影基础第75页()投影面垂直面垂直于一个投影面而与另外两个投影面 都倾斜的平面称投影面垂直面。其中，垂直 于面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面 称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。投影面垂直面的投影特性如表2-4所示。第二章投影基础第76页表2-4投影面垂直面的投影特性名称铅锤面正垂面投影图投影特性面投影积聚成一条直 线，并反映该平面与V,W面的倾角。，Y其他两面投影为原平 面图形的类似形，但比实形小V面投影积聚成一条直 线，并反映该平面与“，W面的倾角a,Y其他两面投影为原平 面图形的类似形，但比实 形小侧垂面W面投影积聚成一条直 线，并反映该平面与“，V面的倾角a,B其他两面投影为原平 面图形的类似形，但比实 形小第二章投影基础第77页由表2-4可知，投影面垂直 面在与其垂直的投影面上的投 影积聚成一条斜线，这个积聚 投影与投影轴的夹角，反映了 该平面与相应投影面的倾角。倾角是指平面与投影面所夹的 二面角。投影面垂直面的投影 特性为：(1)投影面垂直面在与 其垂直的投影面上的投影积聚 为一条线段，且该线段与投影 轴倾斜；(2)投影面垂直面在另 外两个投影面上的投影为该平 面的类似形。第二章投影基础第78页（三）一般位置平面与3个投影面都倾斜的平面称为一般 位置平面，如图2-40所示的平面ABC即为 一般位置平面。一般位置平面在3个投影 面上的投影均为原几何形状的类似形，且 面积均比原平面图形本身的面积小。图2-40 一般位置平面的投影第二章投影基础第79页【例2-10】图2-41所示为某三棱锥的三面投 影图，试判断该三棱锥各棱面的空间位置。分析：由投影图中的字母可知，AB和AC的 三面投影均为三角形平面（类似性），所以SAB和 SAC所在的棱面均为一般位置平面。空打。的正面投 影为一条斜线（积聚性），其他两面投影均为三角形（类似性），故BC所在的棱面为正垂面。A3。的水平投影为三角形平面（真实性），另 外两面投影为与相应投影轴平行的直线段（积聚性）故MBC所在的棱面为水平面。第二章投影基础第80页三,平面上点和直线的投影）平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的一条直线上,则该点必在平面上。因此，在平面上取点，当点所处的 平面投影具有积聚性时，可利用积聚性直接求出点的各面 投影；当点所处的平面为一般位置平面时，应先在平面上 作一条辅助直线，然后利用辅助直线的投影求得点的投影1第二章投影基础第81页【例2-11如图2-42(a)所示，K点在 A5C所确定的平面内，已知左点，求K点的水 平投影。作图步骤：(1)连点和左点交。于1点，从1点作0X 轴的垂线并与水平投影庆交于1点，连接并延长。(2)从上点作0X轴的垂线与水平投影的延 长线交于上点，则该点即为平面内K点的水平投影，如图2-42(b)所示。(b)图2-42求K点的水平投影第二章投影基础第82页二)平面上的直线直线在平面上的几何条件是：若直线通过平面上的两个点，或直 线通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线，则该直线必定在平 面上。如图2-43(a)所示，相交直线A3与5电成一平面，在A3和上 各取一点M和N,则过M,N两点的直线一定在该平面内。又如图2-43(b)所示，相交直线A5和5抽成一个平面，点在直线A3上，过点 作直线LK打。，则直线LK一定在该平面内。第二章投影基础第83页第二章投影基础第84页第六节换面法通过前面的学习我们知道，当直线或平面相对投影面处于一般位 置或不利于解题的位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的 一些度量问题或某些空间几何问题。若能改变直线或平面对投影面的 相对位置，使其由一般位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的 目的。这种变换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方 法，称为投影变换。投影变换中最常用的方法是换面法。第二章投影基础第85页一、换面法概述保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原 投影体系中的某一个投影面，这样便组成了一个新的投影 体系，使几何元素在新投影面上的投影直接反映所需要的 几何关系的方法，称为换面法。第二章投影基础第86页如图2-45所示，ABC在原投影体系的面和V面上的 投影均不反映实形。现设置一个新投影面,使面垂直 于H面并与MB。平行，这样就组成了一个新投影体系V1/H,%面与面的交线OB】称为新投影轴。在这个新投影体系 中，MBC在匕面上的投影“1仇4反映其实形。换面法中，新投影面的设置应满 足下列两个条件。(1)新投影面必须与空间几何元 素处于有利于解题的位置。(2)新投影面必须垂直于原有的 某一投影面，以形成一个新的、互相 垂直的两投影面体系，这样才能应用 正投影规律。图2-45换面法第二章投影基础第87页二、点的换面规律点是最基本的几何元素，点的换面法投影规律是学习换面法的基础。:-)点的一次换面如图2-46(a)所示，已知空间一点A在WH投 影体系中的投影为。点和。点，现设置一个新的投影 面Vi,使Vi面替换原投影面灰垂直于“面。止匕时,匕和面形成一个新的两投影面体系，%面和 面的交线。因为新投影轴，A点在VJ用殳影体系中 的投影为。和由。?口。分别称为新投影和不变投影 在丫面上的投影。称为被替换投影。使面绕新投影轴0及旋转至与H面重合,即 可得到Ag在匕/体系中的两面投影图，如图2-4J(b)所示。此时,。1收1=。服二人。，即A点的Z坐标 不变。根据点的投影城雇可如1JL 0阳轴。图2-46点的一次变换(变换V面)(b)图2-46点的一次变换(变换V面)第二章投影基础第88页由上述分析可以看出，点的换面具有如下规律：(1)点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换投影到原投