土木工程制图04平面立体及其轴测投影.pdf

I绪论.1 01制图的基本知识与技能02投影基础I 03平面立体及其轴测投影 04曲面立体及其轴测投影!05工程形体的表达方法06标投影107房屋建筑施工图I 08结构施工图I 09建筑给水排水工程图 10道路、桥梁及涵洞工程图I绪论.1 01制图的基本知识与技能I 02投影基础I 03平面立体及其轴测投影 04曲面立体及其轴测投影!05工程形体的表达方法本章导读第5页本章导读图3-1建筑形体的组成土木工程中，我们经常会接触到 各种形状的建筑物，这些建筑物及其 配件的形状虽然复杂多样，但一般都 是由一些简单的几何体经过叠加、切 割或相交等形式组成的，如图3-1所 示。我们把这些简单的几何体称为基 本几何体或基本体。本章主要介绍基本几何体中的平 面立体的相关知识，如平面立体及其 表面上点和线的投影、平面立体表面 交线的投影、同坡屋顶的交线，以及 绘制平面立体轴测图等内容。通过绘 制轴测图，可帮忙读者理解投影理论,提高空间想象力。技能目标第6页技能目标掌握各种常见平面立体的投影规 律和投影特性。掌握平面立体表面上点和线的投 影规律，并能够利用从属性法、积聚性法和辅助线法补画 立体表面上点和线的投影。掌握平面与平面立体相交，以及 平面立体与平面立体交接时的投影 画法。了解同坡屋顶交线的画法。能够绘制平面立体的轴测投影图。第三章平面立体及其轴测投影第7页第一节平面立体及其表面上点和线的投影基本几何体的大小和形状是由其表 面限定的。按表面性质不同，基本几何 体可分为平面立体和曲面立体。我们把 表面全部由平面围成的几何体称为平面 立体，如棱柱、棱锥、棱台等，如图3-2 所示；把表面全部为曲面或由曲面和平 面围成的几何体，称为曲面立体，如圆 柱、圆锥、球体、圆环等。本章仅介绍 平面立体的相关知识。(d)四棱台(c)四棱锥图3-2平面立体第三章平面立体及其轴测投影第8页一平面立体的投影立体上相邻表面的交线称为棱线。由图3-2可知，平面立体的 表面都是平面多边形。常见的平面立体有棱柱体和棱锥体。其中，棱线与底面倾斜的棱柱体称为斜棱柱；棱线与底面垂直的棱柱体称 为直棱柱；上、下底面均为正多边形的直棱柱称为正棱柱。棱锥体 的底面为多边形，棱线相交于一点，如图3-2中的四棱锥。棱柱体和棱锥体均以底面的形状来命名。例如，底面为三角形、四边形、五边形.边形的形体，分别称为三棱柱（锥）、四棱柱（锥）、五棱柱（锥）.棱柱（锥）。平面立体的投影就是作出组成立体表面的各平面、各棱边和各 顶点的投影。由于点、直线和平面是构成平面立体表面的几何元素,因此，绘制平面立体的投影，归根结底是绘制点、直线和平面的投 影。在平面立体中，可见棱线用粗实线表示，不可见棱线用细虚线 表示，以此区分可见表面和不可见表面。第三章平面立体及其轴测投影第9页-)棱柱的投影(1)形体特征。棱柱是由两个底面和若 干棱面围成的平面立体。棱柱的各棱线相互 平行，底面和顶面为多边形。如图3-3(a)所 示的正六棱柱，它是由上、下两底面和6个矩 形侧面组成的。其中，上、下两底面相互平 行，6个侧面均为全等的矩形，且与底面垂直。因此，6条棱线也相互平行，长度相等，且与 上、下两底面垂直。(2)摆放位置。摆放形体时应考虑两个 因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑 形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使 形体的表面平行于投影面。如图3-3(a)所示 的正六棱柱，可将上下底面平行于H面、前后 侧面平行于丫面放置。图3-3正六棱柱的投影第三章平面立体及其轴测投影第10页(3)投影分析。图3-3(b)所示为正 六棱柱的投影图，它具有如下特点。H面投影：为正六边形，它是上、下底 面的投影，且反映两底面实形；六边形的 6个顶点是6条棱边(铅垂线)的积聚投影。V面投影：为3个矩形线框。其中，中间 的矩形线框为前、后侧面的重合投影；左 侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影，右 侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影，它 们均为类似形；上、下两底面的投影积聚 为直线段。W面投影：为两个矩形线框，分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影(不反映实 形)。厂通过上述分析可以得出棱柱体、的投影特性，具体为：(1)棱柱体在平行于上、下 底面的投影面上的投影反映底面实 形，即投影为多边形；(2)另外两面投影均为矩形，L或矩形的组合图形。第三章平面立体及其轴测投影第11页知识基本体中柱体的投影特征可归 纳为矩矩为柱。这句话的含义 是：只要是柱体（包括圆柱和棱 柱），则必有两面投影的外线框为 矩形。反之，若某一形体的两面投 影的外线框为矩形，则该形体一定 是柱体，这时，可利用第三面投影 来判别具体是哪种柱体。rT.Y1第三章平面立体及其轴测投影第12页(二)棱锥的投影(1)形体特征。棱锥是由一个多边形 底面和若干个具有公共顶点(锥顶)的三角 形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为 正多边形，且锥顶在底面的投影位于正多边 形的中心，则该棱锥称为正棱锥。棱锥的所 有棱线交于一点，侧棱面均为三角形，如图 3-4(a)所示。(2)摆放位置。底面平行于某一投影 面，并尽量使多个侧面垂直于其他两个投影 面，以减少投影图中的虚线。如图3-4所示，将三棱锥的底面ABC平行于“面、侧面SAC 置于侧垂面放置。第三章平面立体及其轴测投影第13页(3)投影分析。图3-4(b)所示为正 三棱锥的投影图，它具有如下特点。H面投影：为等边三角形，它反映正三 棱锥的底面实形，3个侧面的投影表现为 类似形，顶点投影重合于等边三角形的垂 心。V面投影：为两个三角形，即左、右两 个侧棱面的类似形。W面投影：为一个三角形。其中，后侧 棱面SAC积聚为最后方的一直线段，左、右侧棱面的投影仍为三角形，且相互重合。图3-4正三棱锥的投影通过上述分析可以得出以下结 论：(1)三棱锥在与其底面平行 的投影面中的投影反映底面实形，即投影为多边形或三角形的组合图 形；(2)另外两面投影为并列的 三角形。第三章平面立体及其轴测投影第14页锥体的投影特征可归纳为三 三为锥，即若形体有两面投影的 外线框均为三角形，则该形体一定 是锥体（包括棱锥和圆锥）。反之 凡是锥体，则必有两面投影的外线 框为三角形，这时，可利用第三面 投影来判别具体是哪种锥体。几种 常见棱锥的投影如图3-5所示。第三章平面立体及其轴测投影第15页(c)六棱锥(a)四棱锥(b)五棱锥图3-5几种常见棱锥的投影第三章平面立体及其轴测投影第16页二,平面立体表面上点和线的投影平面立体的表面都是平面多边形，求其表面上取点、线的作图 问题，实质上就是求平面上点、线的投影问题。由于平面立体的各 表面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产 生各表面投影的可见与不可见问题。因此，对于平面立体表面上点 和线的投影，还应考虑其投影的可见性。判断立体表面上点、线可见性的原则是：如果点、线所在表面 的投影可见，则点、线的同面投影可见；否则，不可见。求立体表面上点和线的投影问题，一般是指已知立体的三面投 影和其表面上某一点的一面投影，求该点或线的其他两面投影。这 类问题的求解方法有从属性法、积聚性法和辅助线法。第三章平面立体及其轴测投影第17页-)利用从属性法和积聚性法作图 从属性法：当点位于立体表面的某条棱 边上时，该点的投影必定在该棱线的投影 上。此时，可利用线上点的从属性求出该 点的投影。A 3积聚彳生法：当点所在的立体表面对某投 影面的投影具有积聚性时，该点的投影必 在该表面的积聚投影线上。此时，可利用 平面的积聚性求出该点的投影。如图3-6(a)所示，三棱柱后棱面上给 出了M点的正面投影(加)，上表面给出了N 点的水平投影，可利用棱面和上表面投影的 积聚性直接作出M点和N点的水平投影加和正 面投影，如图3-6(b)所示。妒图3-6三棱柱表面上点的投影第三章平面立体及其轴测投影第18页【例3-1】已知立体表面上直线勺正 面投影加为，如图3-7(a)所示，试作该直 线的其他两面投影。分析：由图3-7(a)可知，该形体的投影特 征符合梯梯为台的特性，故该图所示的形体 为四棱台。由于正面投影中的根”可见，因此可 判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在 棱边上，故可利用从属性法求出该点的其他 两面投影；N点所在的表面为侧垂面，其侧面投 影具有积聚性，因此可先利用表面的聚积性求出 点，然后再利用，点和点求出点。(a)已知条件图3-7利用从属性法和“积聚性法 求立体表面上点的投影第三章平面立体及其轴测投影第19页作图步骤(参见图3-7(b)：(1)利用从属性法过万点作水平 直线和铅垂线，分别交四棱台的另外两面投 影于初点和加点。(2)利用积聚性法过川点作水平直 线交四棱台的侧面投影于点，然后利用 点和4点求出水平投影点。(3)由于直线位于四棱台的前棱面 上，四棱台的前棱面的水平投影为可见梯形,因此，直线的水平投影如:不可见直线，即用直线依次连接水平投影中的小点和点即 可。(4)四棱台的前棱面在侧面投影中积(b)作图方法图3-7利用从属性法和积聚性法 求立体表面上点的投影聚为一条斜线，因此该平面上的直线的 投影)”为该斜线上的两点，因此可不用直J出接。J第三章平面立体及其轴测投影第20页二）利用辅助线法作图当点所在的立体表面无积聚投影时，该 点的投影必须利用辅助线法求出，即先过已 知点在立体表面上作一辅助直线（辅助线可 以是一般位置直线或特殊位置直线），求出 该直线的另外两面投影，然后依据点的从 属性求出点的各面投影。第三章平面立体及其轴测投影第21页【例3-2】已知立体表面上M点和N点的 投影加和，如图3-8(a)所示，求作这两个 点的其他两面投影。分析：加点为可见点，故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面，故M点的其他两面 投影需通过作辅助线求出。点为可见点，故N点 位于S3。平面上，同理可分析出S3。平面为一般位 置平面，故N点的其他两面投影也需要通过作辅 助线求出。(a)已知条件图3-8利用辅助线法求立体 表面上点的，殳影第三章平面立体及其轴测投影第22页作图步骤(参见图3-8(b)：、(1)过点作一条平行于底面的辅助 线，该辅助线的投影交sw于r点。由于r点 位于直线S0上，故可直接求出水平投影点1。(2)过1点作直线的平行线，则m点 的水平投影一定在该平行线上。因此，过 点作垂线交平行辅助线于一点，则该点即为 加点。(3)连接s点和点并延长，交直线儿于 点2；由于点2在底面ABC上，故可直接求出 其正面投影点7。(4)连接s，和7,则N点的正面投影一 定在s?上。因此，过点作垂线交于一点,则该点即为点。由于N点所在的平面S3。在 正面投影图中被SAB平面的投影遮挡，因此,d点的正面投影不可见，即为()。(b)作图方法图3-7利用辅助线法求立体 表面上点的温影当标 1第三章 平面立体及其轴测投影【例3-3】已大U图3-9(a)朋小二梭锥的 三面投影及其表面上线段前的投影求作 该线段的其他两面投影。分析：从图3-9(a)可知，线段方的水平投 影拘见，则该线段必在左侧棱面SAB上。由于该 平面为一般位置平面，因此可过村乍一条辅助直 线，然后根据从属性求出瓦点和厂点的投影。第23页AA V l b(a)已知条件 图3-8利用辅助线法求立体 表面上点的，殳影第三章平面立体及其轴测投影第24页作图步骤(参见图3-9(b)：(1)延长直线使其与SAB的两条 边相交于点1和点2。(2)根据从属性法依次作出点1和点2 点的侧面投影1，2及正面投影r,2然后 用细实线依次连接1点和2点，点和7点。(3)从水平投影中的e点和/点向上作铅 垂线，并与直线分别交于，点禾，点；分 别过一点和厂点向右作水平线，与直线12的 交点即为e 点和广点。(4)由于直线方所在的平面的侧 面投影和正面投影均为可见三角形，因此直 线刀的侧面投影和正面投影也可见。用粗实 线依次连接，点和厂点，e点和/点，则线段 e尸和，广即为所求。(b)作图方法图3-7求作三棱锥表面上线段的投影第三章平面立体及其轴测投影第25页由以上例题可以看出，要在平面立体的表面上根据已知点 或已知直线的一个投影，求作其他面投影时，必须从以下几方 面着手：(1)首先分析平面立体的性质，以及立体表面与投影面的 相对位置；(2)分析所给出的点或直线位于立体的哪个表面上；(3)若点或直线所在的表面有积聚性，则应先求出该表面 积聚投影上的点或线段的投影；若点或直线所在的表面为一般 位置平面，则应利用该平面上过已知点或直线的辅助线来求点 或直线的投影；(4)由后或直线的已知投影和求得的第二面投影，再根据 投影规律求出其第三面投影；(5)最后判别所求点或直线的投影的可见性。第二节 平面立体的表面交线土木工程中的平面立体在多数情况 下，以图3-10所示的3种形式出现。其中，图3-10(a)中的形体称为切割体，它是 利用平面来切割平面立体后形成的；图 3-10(b)所示为叠加体，是由多个平面 立体叠加后形成的；图3-10(c)所示为 平面立体与平面立体的交接。绘制图3-10所示形体的投影，主要 是绘制平面与平面立体交线的投影，以 及平面立体与平面立体叠加或交接时交 线的投影图3-10平面立体的表面交线第三章平面立体及其轴测投影第27页一平面与平面立体相交平面与平面立体相交，可设想 为用平面截切平面立体，该平面称 为截平面，所得交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断 面，平面立体被平面截切后的形体，称为截切体，如图3-n所示。图3-11平面与平面立体相交第三章平面立体及其轴测投影第28页截平面与立体表面的相对位置不相同，所产生 的截交线的形状也可能不同，但所有的截交线都具 有以下两个基本性质。封闭性：因为任何基本体表面都是封闭的，而截 交线又是截平面和基本体表面的交线，所以截交 线所围成的图形一定是封闭的。共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本 体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共 有线。由血可见，求作截交线的实质，就是求出截平 面与立体表面公共点的集合。第三章平面立体及其轴测投影第29页2.截切体投影的画法由图3-11可知，平面立体的表面 由若干个平面围成，因此平面立体的 截交线是由直线段围成的封闭多边形 该多边形的各边是截平面与各平面的 交线，顶点是棱边的投影或截平面与 各棱边的交点。因此，平面立体上截 交线的投影常采用交点法。所谓交点法，是指先求出平面立 体的各棱线与截平面的交点，然后将 各点依次连接起来即得截交线。连接 各交点时应注意：只有两点在同一 投影面上时才能连接；可见棱面上 的两点用粗实线连接，不可见棱面上 的两点用细虚线连接。求平面立体切 摩，割体的投影时，要 先分析平面立体在未切割前的形状、它是怎样被切割的 以及截交线有何特 点等问题，然后再 进行作图。第三章平面立体及其轴测投影第30页【例3-4】已知五棱柱及其截平面的V面 投影和“面投影，如图3-12所示，求作五棱柱被截切后的三面投影图。分析：由图3-12可知，五棱柱的棱线均为铅 垂线，除了后方侧棱面为正平面外，其他侧棱面 均为铅垂面，上、下底面为水平面。截平面为正 垂面，截切五棱柱的上表面和4个侧棱面，所以，截交线的空间形状为五边形A5CLE图3-12五棱柱截断体第三章平面立体及其轴测投影第31页作图步骤：(1)参照立体图在丫面投影和W面投影 上找到截断面ABC。略顶点的投影，并标上 相应的字母。C,。点在面上的投影c和何 利用积聚，笆去作出，并用直线连接，如图3-13(a)所示。(2)用细线画出未切割前五棱柱的W面 投影，如图3-13(a)所示。(3)由于A,C,瓦点是棱线与截平面 的交点，因此，可利用高正齐在W面投 影上找到点及点,再利用宽 相等可求出。点的W面投影。，然后用直 线依次连接。，br,cn,，次，点。(4)由于截断面在W面上的投影可见，故截交线为可见轮廓线。在侧面投影图中，五棱柱最右侧侧棱的上半部分被截断面遮挡,下半部分与最左侧侧棱重合，因此该投影线 的上半部分应画成虚线，如图3-13(b)所示。图3-13补画五棱柱截断体的投影第三章平面立体及其轴测投影第32页【例3-5】已知正三棱锥被一正垂面斜切,且正面投影和水平投影的轮廓线已知，如图 3-14(a)所示，试补全该截断体的水平投影。分析：由于截平面与三棱锥的3个棱面相交，故截交线是一个三角形。由于截平面是正垂面，因此其正面投影积聚成一条直线，且该直线与三 棱锥各侧棱投影的交点即为截交线各顶点的正面 投影。在水平投影中找出这几个顶点的水平投影 然后用直接连接即为截交线的水平投影。第三章平面立体及其轴测投影第33页作图步骤：(1)在正面投影图上找到截交 线各顶点的正面投影r,2，3，然 后在水平投影中对应棱线的投影上找 出点I和点in的水平投影点1和点3,如图3-14(b)所示。(2)由于点n在侧平线S3上，故点n的水平投影需借助辅助线求出，其作图方法如图3-14(c)所示。(3)用直线连接水平投影中的 点1、点2和点3,可得截交线的水平 投影，然后用直线连接这3个点与三 棱锥底面各顶点，最后擦去多余的线 条并加深，结果如图3-14(d)所示。图3-14正三棱锥截交线的作图步骤第三章平面立体及其轴测投影第34页【例3-6】补全图3-15所示带切口的三 棱锥的水平投影和侧面投影。分析：图3-15所示形体为三棱锥被两个截 平面（水平面和正垂面）切割后形成的，如图 3-16所示。因此，要补画该切口的水平投影和 侧面投影，只需求出两个截平面与三棱锥表面 的交线，以及两截平面之间的交线。图3-15已知条件图3-16三棱锥切割体第三章平面立体及其轴测投影第35页(1)由于水平截平面与棱锥的底面 ABC平行，所以。石AB,DF/ACO由 于。点是棱边SA上的一点，因此，过正 投影图中的d点作铅垂线，交水平投影线 sq于点；过点作帅的平行线，可得e点。同理，可得至此点。最后根据de,dflWde1,dff,可求出侧面投影de和丁，如图 3-17(a)所亦。图3-17补画三棱锥切割体的水平投影和侧面投影第三章平面立体及其轴测投影第36页(2)正垂面可利用正面投影的 积聚性，作出它与棱锥表面交线和 的三面投影。即过g点作铅垂线，交水平投影线sa于g点。将g点分别与九 e点连接。最后根据高平齐求出侧 面投影中的点，并连接g尸与gZ,如图3-17(b)所示。(3)由于两截面同时垂直于丫面，所以它们的交线方为正垂线，其正面 投影积聚为一个点，即(/)，水平 投影的为一竖直线，侧面投影人尸与水 平截平面的侧面投影重合。(4)擦去被切掉部分的图线，然后检查图形并加深图线，结果如图 3-17(b)所示。图3-17补画三棱锥切割体的水平投影和侧面投影当标 1第三章 平面立体及其轴测投影有些工程形体是由两个或两个 以上相交的平面基本体组成的，如 图3-18所示。其中，两相交立体称为 相贯体，它们的表面交线称为相贯第37页图3-18两平面立体相贯第三章平面立体及其轴测投影第38页相贯线的形状和数目随着基本立体的形状和它们的相对位置而定。当一个 立体全部贯穿另一个立体时，这样的相贯称为全贯，这时有两条相贯线，如图 3-19(a)所示；当两个立体相互贯穿时，则称为互贯，这时只有一条相贯线，如图3-19(b)所示。相贯线 相贯线第三章平面立体及其轴测投影第39页两平面立体的相贯线一般是一条或两条闭合的空间折线或闭合的平面 多边形。相贯线上的边是两立体所有参与相贯的表面之间的交线，相贯线 上的顶点是所有参与相交的棱线或底边对另一立体表面的交点。由此可见,相贯线也具有封闭性和共有性这两个基本性质。求相贯体的三面投影，主要是求作相贯线的投影。相贯线的画法为：先求出每一个立体上参与相交的棱线或底边与另一个立体表面的交点，再 依次连接这些交点即可。匚第三章平面立体及其轴测投影第40页求两平面立体相贯线的步骤如下：(1)分析相贯线的类型，确定相贯线 的条数、每条折线的边数和顶点数；(2)求相交表面间的交线，或每一立 体上台与相交的棱线和底边对另一立体表 面的交点；(周)如果求出的投影是交点，则按照 一定的规则连接所求各交点。值得注意的 是，只有两点同时在两个立体的同一个表 面上时，这两点才可以连接；(4)判断各条连接线(相贯线段)的 可见性。只有当产生该连接线的两个表面 的同面投影均可见时，该投影面上的这段 相贯线的投影才可见。否则，相贯线段不 可见；(5)检查，整理。检查投影图中相贯 体及相贯线的投影，擦去多余的图线，然 后加深其他图线。第三章平面立体及其轴测投影第41页【例3-7】补全图3-20所示房屋形体的 水平投影。分析：由图3-20可以看出，该房屋形体为 两个五棱柱相贯，本题需要求出这两个五棱柱 相贯线的水平投影。由于两个五棱柱均水平放 置，且底面在同一水平面上，小五棱柱的5条侧 棱均参与相交，其空间折线如图3-21所示。图3-21房屋模型立体示意图第三章平面立体及其轴测投影第42页作图步骤：(1)止面投影图中，相贯线与小 五棱柱的平面1完全重合。为避免出现 漏线，可先在止面投影图中标出相贯 线各交点的字母，如r,2，t,然后在侧面投影中找到并标出这7个点 的投影(这一步在初学时是必不可少 的)。(2)由于n点为两个五棱柱的共 有点，根据投影特性可求出水平投影 中的投影点2和3,如图3-22所不。;fxr)f由47?(3 e d)1 7Z_|_|d，口 6(7)-r=Ne(d)f g图3-22补画水平投影Kk j毁第三章平面立体及其轴测投影第43页(3)I点位于小五棱柱的侧棱方上，因此过1点可求出水平投影中的点1。除小五棱柱的侧棱F外，小五棱柱的其他侧棱均与大五棱柱的平面2相交，目 平面2为正平面，其水平投影积聚为水平线段。因此，这4条侧棱交点IVvn 点的水平投影可直接求出。(4)依次连接4(6)点，2点，1点，3点，5(7)点，即可得到相贯线 的水平投影。由于相交各棱面的水平投影均可见，故交线的水平投影也可见。由于两个五棱柱底部的两个 水平棱面共面，因此不能在水平 投影的6,7点间画线。图3-20已知条件1第三章 平面立体及其轴测投影【例3-8】如图3-23所不，补回两相贯 体的止平投影。分析：根据相贯体的水平投影可知，水平 棱柱部分贯入直立棱柱，是互贯。互贯的相贯 线为一组空间折线。因为直立棱柱垂直十面,所以相贯线的水平投影必然积聚在该棱柱水平 投影的轮廓线上。为此，相贯线的止面投影可 采用交线法，即将直立二棱柱的左右两棱面作 为截平面去截水平二棱柱。第44页Wb第三章平面立体及其轴测投影第45页作图步骤(参见图324)：(1)用字母标记直立棱柱的上表面 和水平棱柱的左端面。(2)用P平面表示扩大后的A3棱面,求出该平面与水平棱柱交线I III的投 影，即根据水平投影机13求出正面投影Ml 3。(3)用。平面表示扩大后的5ct麦面,求出该平面与水平棱柱交线NII IV的投 影，即根据水平投影*24求出正面投影/2甲(或利用三棱柱A3C水平投影的 积聚性，很容易找出折点I,III,II,W的水平投影1,3,2,4,利用投影关 系可求出正面投影1,3、2、4。第三章平面立体及其轴测投影第46页(4)截交线Mini 和NII IV 必与直立棱柱的侧棱5相交于V,VI 两点(或利用水平三棱柱的侧面投影 的积聚性，找出折点V,VI的侧面投 影5，6，最后利用投影关系求出正 面投影51 6J。(5)依次连接1：3：5：4：2：6,1点，然后判定其可见性。由于相贯线的水平投影积聚在直立棱 柱的水平投影上，所以正面投影1 3,和74因位于水平三棱柱不可见的棱 面上，所以应画成虚线。第三章平面立体及其轴测投影第47页第三节平面立体投影的尺寸标注平面基本体 的尺寸标注以能 确定其基本形状 和大小为原则，一般应将长、宽、高3个方向上的尺 寸都标注出来，如图3-25所示。图3-25平面基本体的尺寸标注第三章平面立体及其轴测投影第48页值得注意的是：(1)平面基本体投影图中，表示立体长、宽、高3个方向的尺寸标注应 齐全，既不能缺少尺寸，也不能重复标注尺寸。(2)标注棱柱、棱锥和棱锥台时，一般将尺寸标注在最能反映其实形 的投影图上，然后在另一投影图上标注另一方向尺寸。对于被切割的平面基本体，除了要标注基本体的尺寸外，还应注出截平 面的位置尺寸，但不必注出截交线的尺寸，如图3-26所示。0d图3-26平面截断体的尺寸标注第三章平面立体及其轴测投影第49页第四节同坡屋面的交线为了排水需要，屋顶均有坡度。坡度大于10%的屋面称为坡屋面，反之，则称为平屋面。坡屋面有单 坡屋面、两坡屋面和四坡屋面之分。当各坡面与地面(面)的倾角都 相同，目屋檐各处同高时，该屋面 称为同坡屋面，相邻同坡屋面之间 的交线称为同坡屋面的交线，如图 3-27所示。(b)投影图图3-27同坡屋面第三章平面立体及其轴测投影第50页解决同坡屋面投影图的画法问题，实质 上是解决特殊条件下平面与平面的交线问题。图3-27(b)所示为同坡屋面的投影图。从该 图中可以看出，同坡屋面具有如下投影规律。(1)过两平行屋檐的屋面如果相交，则必交出水平屋脊，该屋脊与屋檐平行，且 其水平投影与屋檐的水平投影等距离。如图 3-27(b)中的投影线/平行于满口，且与 而口儿的垂直距离相等；g上平行孑论和，且 与/丽1cd等距离。(2)过相邻屋檐的两屋面必相交于倾 斜的屋脊或天沟，且通过凸墙角的是斜脊，通过凹墙角的是天沟，如图3-27(a)所示。斜脊或天沟的水平投影是相邻屋檐水平投影 夹角的分角线。对于正交的屋檐来说，其水 平投影为45。斜线。图3-27(b)中的山和初为 斜脊的水平投影，龙为天沟的水平投影。(b)投影图图3-27同坡屋面第三章平面立体及其轴测投影第51页(3)屋面上过某点有 两条交线时，过该点必定还 有第3条交线。3条交线中一 定有一条是水平屋脊，另外 两条是斜膂天沟。如图3-27(b)所示，过g点的3条 交线中，或是屋脊的水平投 影，娓天沟的水平投影，的是斜脊的水平投影。根据上述投影规律，在 已知屋檐水平投影和屋面倾 角(或坡度)的条件下，可 以完成同坡屋面投影图的绘 制。(b)投影图图3-27同坡屋面【例3-9】已知四坡屋面的倾角=30 和檐口线的面投影，如图3-28所示，求该 屋面交线的“面投影和屋面的其他两面投 影。作图步骤：1)作屋面交线的H面投影 在屋面的面投影上过每一屋角作 45。分角线，如图3-29(a)o其中，凸墙 角上的斜脊线有Qc,ae,mg,ng,bfbh；凹墙角上的天沟线为防所示。M是将延 长至左点，从左点作45。分角线与天沟线仍相 交而得到的。作每一对檐口线(前后或左右)的 中线，即作屋脊线仍和俯，如图3-29(b)所亦。图3-28檐口线的面投影图3-29绘制屋面交线及屋面投影第三章平面立体及其轴测投影第53页2）作屋面的V面和W面投影根据屋面倾角和投影规律作出屋面的丫面和W面投影，如图3-29（c）所示。一般应先作出具有积聚性屋面的V面（或W面）投影，再绘制屋脊 线的丫面（或W面）投影。第三章平面立体及其轴测投影第54页第五节 平面立体轴测投影图的画法多面正投影图虽然能完整、准确地表达形体 各部分的形状和大小，且作图简便，度量性好，在工程中被广泛应用，如图3-30(a)所示。但这 种图的立体感较差，要有一定读图能力的人才能 看懂。如果能在一个投影面上同时反映形体的长、宽、高3个方向上的尺寸，这样绘制出的图形立体 感较强，我们将这种图称为轴测图，如图3-30(b)标轴测图富有立体感，直观性强，利用它可以 帮助我们想象物体的形状，培养我们的空间想象 能力。但它属于单面投影图，有时对形体的表达 不够全面，且绘制复杂形体的轴测图也比较麻烦，因此在工程上常用轴测图作为辅助图样。(b)轴测图图3-30正投影图和轴测图第三章平面立体及其轴测投影第55页一、轴测投影的形成将空间物体连同确定其位置的直角坐标系，沿不平行 于任何一个坐标平面的方向，用平行投影法投射在某一选 定的单一投影面上所得到的具有立体感的图形，称为轴测 投影图，简称轴测图，如图3-31所示。图3-31轴测图的形成第三章平面立体及其轴测投影第56页在轴测投影中，我们把选定的投影面P 称为轴测投影面；把空间直角坐标轴0X,0Y.。空轴测投影面上的投影。声，0E,。14称为轴测轴；把两轴测轴之间的夹角 NXO/i，NyQZ,NXQiZ称为轴间角 轴测轴上的单位长度与空间直角坐标轴上对应单位长度的比值，称为轴向伸缩系数。0XOY.由的轴向伸缩系数分别用p Q r表示,即=瞽,好鬻八黑值得注意的是，轴间角与轴向伸缩系数 是绘制轴测图的两个主要参数。二、轴测图的种类及性质:-)轴测图的种类根据投射方向与轴测投影面是否垂直 轴测图可分为正轴测图和斜轴测图两类。正轴测图：物体3个方向上的平面及 其3条坐标轴均与投影面倾斜，且投射 线与投影面垂直时，在投影面上所得 到的投影图，如图3-32(a)所示。斜轴测图：物体的某一平面及其两 条坐标轴与投影面平行，且投射线与 投影面倾斜时，在投影面上所得到的 投影图，如图3-32(b)所示。图3-32正轴测图和斜轴测图第三章平面立体及其轴测投影第58页根据3个轴测轴的轴向伸缩系数是否相 等，轴测图可分为3种，即3个轴向伸缩系数 都相等的称为等测；其中有两个相等的 称为二测；3个均不相等的称为三 测。由此可见，正轴测图和斜轴测图还可 以分为正等测、正二测、正三测、斜等测、斜二测、斜三测共6种。工程中常用的轴测 图有正等轴测图（简称正等测）、正二等轴 测图（简称正二测）和斜二等轴测图（简称 斜三圆），其轴间角和轴向伸缩系数如表3-1所示。第三章平面立体及其轴测投影第59页类型 立方体图形正等 轴前 图正等测二轴图斜二 等轴 测图表3-1轴间角和轴向伸缩系数轴间角17010轴向伸缩系数（括号内为简化的轴向伸缩系数）第三章平面立体及其轴测投影第60页（二）轴测图的性质由于轴测图是用平行投影法绘制的 因此它具有平行投影的基本性质，即平 行性和等比性。平行性：形体上相互平行的线段，其 轴测投影也相互平行；与坐标轴平行 的线段，其轴测投影必与相应的轴测 轴平行，如图3-32所示。等比性：形体上两平行线段的长度之 比在投影图上保持不变。由上述性质可知，在 画轴测图时，凡是物体上 与轴测轴平行的投影线段 的尺寸，可沿其轴向直接 量取，而不与坐标轴平行 的线段则不能直接量取其 尺寸。所谓轴测，实 质上就是指沿轴向进行测 量的意思。三.平面立体轴测图的画法虽然各种轴测图的轴间角和轴向伸缩系数不同，但绘制轴测图时应遵守的 原则和对形体的处理方法是相同的。画轴测图时，必须先选定轴测图的类型，确定轴间角的大小和轴向伸缩系数，然后再绘制轴测轴和轴测图。绘制轴测图时，常用的方法有坐标法、端面法、叠加法和切割法。1.坐标法坐标法是根据形体表面上各顶点的坐标，沿 轴测轴方向度量并画出它们的轴测投影，然后依 次连接各投影点得到立体表面轮廓线的方法。坐 标法是画轴测图的最基本的方法，也是其他各种 轴测图画法的基础。第三章平面立体及其轴测投影第62页【例3-10】画出图3-33(a)所示 三棱锥的正等轴测图。作图步骤：(1)在图3-33(a)中建立三棱锥的 坐标系O-XYZ,从而可确定三棱锥上S,A B,。顶点的坐标值。为作图方便起见，可使XOY坐标面与锥底面重合,OX轴通 过5点，。於由通过。点。(2)按轴间角120。画出正等轴测图 的轴测轴，然后沿各轴测轴上量取每个顶 点的坐标，以确定各顶点在轴测图中的位 置,如图3-33(b)所示。(3)连接各顶点，擦去不可见棱线 然后描深可见棱线，结果如图3-33(c)所示。图3-33绘制三棱锥的正等轴测图第三章平面立体及其轴测投影第63页2.端面法对于棱柱类和棱锥类形体，其轴测图通常可 先画出能反映其特征的一个端面或底面，然后以 此为基础画出可见侧棱和底边棱线，这种画法称 为端面法。利用端面法绘制棱台类形体的轴测图 时，通常先画出其上底面或下底面，然后以此为 基础画出可见侧棱，最后连接各侧棱的顶点，即 可完成形体的轴测图。第三章平面立体及其轴测投影第64页；【例3-11】画出图3-34(a)所示；：正六棱柱的正等轴测图。：彳乍图步骤.;(1迤正六棱柱的顶面。先画出正:等轴测图的轴测轴，然后根据上表面各顶：点的X,y坐标，画出上表面的正等轴测图；如图3-34(b)所示。；(2)画正六棱柱的侧棱。从上表面；各顶点向下引4轴的平行线(不可见棱线；I可省略不画)，其长层为六棱柱的实际高；I度，如图3-34(c)所示。：(3)画正六棱柱的底面。用直线段；：依次连接侧棱的各端点，画出正六棱柱的1 底面，最后检查图形，确认无误后擦去多；余的线条并加深图线即可，结果如图3-34：!(d)所示。图3-34绘制正六棱柱的正等轴测图第三章平面立体及其轴测投影第65页【例3-12】画出图3-35(a)所示 棱柱体的斜二等轴测图。作图步骤：(1)画出斜二等轴测图的轴测轴，然后在XQZ面内画出前端面的实形，接 着过前端面各顶点作由的平行线，在 这些平行线上量取棱柱体厚度的一半，以 得到后端面上的各顶点，如图3-35(b)所示。(2)连接后端面上的各顶点，然后 擦去被遮挡的轮廓线，最后描深可见图线 即可，结果如图3-35(c)所示。图3-35绘制棱柱体的斜二轴等测图第三章平面立体及其轴测投影第66页3.叠加法如果要绘制的形体是由几个基本体叠加后形 成的，则该形体的轴测图可使用叠加法绘制。叠 加法仍然以坐标法为基础。画图时，应按形体的形成过程先画出基础形 体，然后按照各叠加体的位置关系逐个画出其轴 测图。在画轴测图时，要判断各叠加体的轮廓是 否被遮挡，对于不可见的轮廓线可省略不画。第三章平面立体及其轴测投影第67页【例3-13根据图3-36(a)所示 三面投影图，画出其正等轴测图。彳乍图步骤.(1)蠢础形体四棱柱。先画出正 等轴测轴，然后在0X轴和。涮的两侧分 别量取4/2和d/2,以绘制四棱柱的上表 面，接着过顶点作3条可见的侧棱(侧棱 长为小),最后依次连接相应的侧棱端点 即可，如图3-36(b)所示。(2)画四棱锥台的底面。参照绘制 基础形体的方法，在XOY坐标平面内绘制 四棱锥台的底面，如图3-36(c)所示。(b)画轴测轴和基础开勿本第三章平面立体及其轴测投影第68页(3)画四棱锥台的顶面。分别在叫由和0y上方名位置处绘制一条与 ox轴和。球由平行的直线，然后以这两条直线的交点为中心，分别取四棱 锥台顶面的长、宽尺寸并绘制顶面，如图3-36(d)所示。(4)用直线连接四棱锥台顶面和底面上的对应点，然后擦去被遮挡部 分的图线和不需要的图线，最后加深图线即可，如图3-36(e)所示。(C)画叠加体的底面(d)画叠加体的顶面图3-36用叠加法画正等测图(e)连接顶点并加深图线第三章平面立体及其轴测投影第69页4.切割法如果要绘制的形体是将基本形体切割后形成 的，则该形体的正等轴测图可使用切割法绘制。画轴测图时，应先用坐标法画出完整的基础形体 的轴测图，然后依次画出各切去部分的轴测图，具体作图方法如图3-37所示。+第三章平面立体及其轴测投影第70页(a)确定坐标轴的位置(b)画轴测轴和基础形体的轴测图第三章平面立体及其轴测投影第71页徒手画平面立体的轴测图徒手绘制的轴测图称为轴测草图，其绘制方法与尺规绘制轴测图的方法基 本相同，只是在度量上依靠目测。绘制轴测草图是每个工程技术人员必须具备 的一项重要技能，它对培养人们的空间想象能力、设计构思和设计方案的探讨 等能力有很大帮助。在绘制轴测草图时，除了要掌握绘制 草图的基本技能外，还需要注意以下几点。(1)轴测轴是作图的基准，要想比 较准确地绘制轴测图，关键是使轴间角尽 量准确。由于是徒手绘图，所以可以通过 比值的方法来绘制出相对准确的角度，如 图3-38所示。图3-38绘制角度的方法第三章平面立体及其轴测投影第72页(2)注意保持轴向线段与相应轴测轴之间，以及物体上相互平行的棱 线的轴测投影是否平行(3)常氤晶蟠由各部分的比例应协调，否则会使图形失真，从而影 响立体感。【例3-14根据图3-39所示三面 投影图，画出其正等轴测图。(1