折叠问题与二次函数.doc

(完整word)折叠问题与二次函数
几何专题—-折叠问题
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质——--—折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上.
题型一：根据折叠的性质求角度
例1如图1,将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处,折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．
例2 （2011山东泰安）如图2,点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则∠ACD= 。
例3 （2009湖北省荆门市）如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则（ )
图3
A、40° B、30° C、20° D、10°

图1 图2
总结：(1）注意折叠前后的对应角相等；（2）注意折叠图形本身的性质。
题型二：根据折叠的性质求线段长度
例4 （2012武汉）如图，矩形ABCD中,点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）
A、7 B、8 C、9 D、10
例5 （2012遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2,则BC的长为（　　）
A、 B、 C、 D、
例6 （2009年日照市）将三角形纸片(△ABC）按如图9所示的方式折叠,使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′,F，C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 ．

图4 图5 图6
总结:注意勾股定理和三角形相似与折叠问题的结合。
随堂练习一
1、（07山东东营）如图1，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （　　)
A、　 B、　　 C、 D、８　　
2、（2009年衢州）如图2,在△ABC中，AB=12，AC=10,BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ )
A、9。5 B、10。5 C、11 D、15.5
3、（2012•资阳）如图3，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB,MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　)

A、

B．

C．

D．

A
B
C
D
E
F
图1

图2
图3
4、（2009东营）如图4，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°,则∠AED′等于 （ ）
A、70° B、65° C、50° D、25°
5、（2009年上海市）如图5,在中，为边上的点，联结（如图所示)．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处,那么点到的距离是 ．
6、（2009仙桃）如图6，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕,
∠BAE＝30°,AB＝,折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为 。
E
D
B
C′
F
C

D′
A

A

B
M
C

图4 图5 图6
7、（2012上海）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A
落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ．

题型三：折叠的综合应用
例7如图：在中,,是边上的中线，将沿边所在的直线折叠，使点落在点处，得四边形．
E
C
B
A
D
(1）求证：．
（2)若∠BAC=30°,试证明四边形ABCE是等腰梯形。

例8如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋b与x轴、y轴分别交于A、B两点，且B点的坐标为（0，8）,直线AC交线段OB于点C（0，n）．
（1）过C点作CD⊥AB于D点，CD＝m,求m与n的函数关系式；
（2）将△AOC沿着AC翻折，使点O落在AB上．
①求点C的坐标；
②P是直线AC上的点，在x轴上方的平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在,求点Q的坐标；若不存在,请说明理由．

O
x
y
A
B

总结：（1)证明要注意书写格式的规范；（2）综合题要注意各小问之间的联系。
随堂练习二
1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( 　)
A、50° B、55°　　 C、60° D、65°
2、如图2，把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的 点处，若，,，则矩形的边长为（　　）
A、 B、 C、 D、
3、如图3，四边形为矩形纸片．把纸片折叠,使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（　　)
Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ａ
图3
A、 B、 C、 D、
A
E
P
D
G
H
F
B
A
C
D
图2

4、在梯形纸片中,,,将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处,折痕交于点,连结．
（1）求证：四边形是菱形;
（2）若，试判断四边形的形状，
并加以证明．

5、在平面直角坐标系中，直线y＝ kx＋m（－ ≤k ≤)经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0,7）．记△ABC的面积为S．
（1)求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）当S取得最大值时，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，求点B′ 的坐标．

课后作业（周六）
1、（2012达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF。若BC=6，则AB的长为 .

2、（2012•丽水）如图，在等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　 　．
3、(2012•德州）如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠,使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF,连接BP、BH．
（1）求证:∠APB=∠BPH；
（2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

二次函数复习
基础过关
1、将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝（x－h）2＋k的形式,结果为（ ）
A、y＝（x＋1)2＋4 B、y＝（x－1)2＋4
C、y＝(x＋1)2＋2 D、y＝(x－1）2＋2
2、抛物线的顶点坐标是（ )
A、(2,3） B、（－2，3） C、(2，－3） D、(－2，－3）
3、（2010年贵州毕节）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5,则( 　　)
A、b=3，c=7　　　　B、b=6,c=3 C、b=9，c=5　　D、b=9，c=21
4、已知抛物线,请回答以下问题:
（1）它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ;
（2）图像与轴的交点为 ,与轴的交点为 。
5、如图所示,二次函数y=x2—4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点，则△ABC的面积为
6、（2012泰安)二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　)
　　A、　　 B、3　　 C、　　 D、9
7、已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0，2）,B（-1，0）．
（1）求点C的坐标;
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3)设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；

二次函数综合题型
类型一：与面积相等有关的综合题
例1如图,抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3,0）、C（0，3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由；
y
x
O
C
A
B
M
P
（3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标;若不存在，说明理由．

总结:在求面积的表达式是，一般选取坐标轴或者与坐标轴平行的直线作底.
强化练习
1、如图，抛物线y＝ax2＋c(a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其
中A（－2,0）,B（－1， －3）．
（1)求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3)在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立,求点P的坐标．
x
y
C
B
_
D
_
A
O

2、如图已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0)三点．
(1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为(—1，0），在直线y=—x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标;
（3)在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在,请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

类型二：最大面积问题
例2如图，在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6,0），点B的坐标为(0,8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t＞0）．
(1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值;若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

总结：建立函数关系的两种方法：(1）面积公式；(2）三角形相似。
强化练习
1、如图，抛物线y=ax2-x—2（a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,已知B点坐标为（4，0)．
（1)求抛物线的解析式;
(2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

2、如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
(2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在,求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分)上一点，△MAB的面积为S，求S的最大(小）值．

课后作业(周日）
1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3,-)．
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

2、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
(1）求抛物线的解析式．
（2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标;如果不存在，请说明理由．

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