一元二次函数知识点汇总.pdf

姓名 二次函数总复习（知识点）1.1.定义：一般地，如果定义：一般地，如果是常数，是常数，那么，那么叫做叫做的一元二次函数的一元二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.2.二次函数二次函数的性质的性质2axy(1 1)抛抛物物线线的的顶顶点点是是原原点点，对对称称轴轴是是轴轴.2axy）（0ay(2 2)函函数数的的图图像像与与的的符符号号关关系系：2axy a当当时时抛抛物物线线开开口口向向上上顶顶点点为为其其最最低低点点；当当时时抛抛物物线线开开口口向向下下顶顶点点为为其其最最高高点点0a0a3.3.二次函数二次函数 的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于(包括重合包括重合)轴的抛物线轴的抛物线.cbxaxy2y4.4.二二次次函函数数用用配配方方法法可可化化成成：的的形形式式，其其中中.cbxaxy2khxay2abackabh4422，5.5.抛物线抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点的三要素：开口方向、对称轴、顶点.cbxaxy2决决定定抛抛物物线线的的开开口口方方向向：a当当时时，开开口口向向上上；当当时时，开开口口向向下下；越越小小，抛抛物物线线的的开开口口越越大大，越越大大，抛抛物物线线的的开开口口越越0a0aaa小小。对称轴为平行于对称轴为平行于轴轴(或重合或重合)的直线，记作的直线，记作.特别地，特别地，轴记作直线轴记作直线.yhx y0 x定点是抛物线的最值点定点是抛物线的最值点 最大值最大值(时时)或最小值或最小值(时时)，坐标为，坐标为(,)。0a0ah k6.6.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)(1)公式法：公式法：，顶点是顶点是，对称轴是直线，对称轴是直线.abacabxacbxaxy442222），（abacab4422abx2(2 2)配配方方法法：运运用用配配方方法法将将抛抛物物线线的的解解析析式式化化为为的的形形式式，得得到到顶顶点点为为(,)，对对称称轴轴是是.khxay2h khx(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失7.7.抛物线抛物线中，中，的作用的作用cbxaxy2cba,(1)(1)决定开口方向及开口大小，这与决定开口方向及开口大小，这与中的中的完全一样完全一样.a2axy a(2 2)和和共共同同决决定定抛抛物物线线对对称称轴轴的的位位置置.由由于于抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是直直线线,故故：bacbxaxy2abx2时时，对对称称轴轴为为轴轴；时时,对对称称轴轴在在轴轴左左侧侧；时时,对对称称轴轴在在轴轴右右侧侧.0by0aby0aby(3)(3)的大小决定抛物线的大小决定抛物线与与轴交点的位置轴交点的位置.ccbxaxy2y当当时，时，抛物线抛物线与与轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0(0，)：0 xcy cbxaxy2yc，抛物线经过原点，抛物线经过原点;,与与轴交于正半轴；轴交于正半轴；,与与轴交于负半轴轴交于负半轴.0c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时仍成立以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在如抛物线的对称轴在轴右侧，则轴右侧，则 .y0ab8.8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.2axy kaxy22hxaykhxay2cbxaxy2 其中其中左右移动可得到左右移动可得到，再上下移动可得到，再上下移动可得到。口诀。口诀“左加右减，上加下减左加右减，上加下减”图像特征如下：图像特征如下：函数解析式函数解析式开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标2axy(轴轴)0 xy(0,0)(0,0)kaxy2(轴轴)0 xy(0,(0,)k2hxayhx(,0),0)hkhxay2当当时时0a开口向上开口向上当当时时0a开口向下开口向下hx(,)h kcbxaxy2abx2()abacab4422，9.9.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 (1)(1)一般式：一般式：.已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy (2)(2)顶点式：顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2 (3)(3)交点式：已知图像与交点式：已知图像与轴的交点坐标轴的交点坐标、，通常选用交点式：，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay10.10.抛物线与抛物线与 Y Y 轴的交点轴的交点(1)(1)轴与抛物线轴与抛物线得交点为得交点为()ycbxaxy2c,0 (2)(2)抛物线与抛物线与轴的交点轴的交点x二次函数二次函数的图像与的图像与轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程，是对应一元二次方程cbxaxy2x1x2x的的两两个个实实数数根根.抛抛物物线线与与 轴轴的的交交点点情情况况可可以以由由对对应应的的一一元元二二次次方方程程的的根根的的判判别别式式判判定定：02cbxaxx有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与轴相交；轴相交；0 x有一个交点有一个交点(顶点在顶点在轴上轴上)抛物线与抛物线与轴相切；轴相切；x0 x没有交点没有交点抛物线与抛物线与轴相离轴相离.0 x1111二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1)一元二次方程一元二次方程就是二次函数就是二次函数当函数当函数 y y 的值为的值为 0 0 时的情况时的情况cbxax20cbxaxy2(2 2)二二次次函函数数的的图图象象与与轴轴的的交交点点有有三三种种情情况况：有有两两个个交交点点、有有一一个个交交点点、没没有有交交点点；cbxaxy2x当当二二次次函函数数的的图图象象与与轴轴有有交交点点时时，交交点点的的横横坐坐标标就就是是当当时时自自变变量量的的值值，cbxaxy2x0yx即即一一元元二二次次方方程程的的根根02cbxax(3)(3)当二次函数当二次函数的图象与的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不有两个不cbxaxy2xcbxaxy2相等的实数根；当二次函数相等的实数根；当二次函数的图象与的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程轴有一个交点时，则一元二次方程cbxaxy2x有两个相等的实数根；当二次函数有两个相等的实数根；当二次函数的图象与的图象与轴没有交点时，则一轴没有交点时，则一02cbxaxcbxaxy2x元二次方程元二次方程没有实数根没有实数根02cbxax12.12.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小小)值。一般而言，最大值。一般而言，最大(小小)值值会在顶点处取得，达到最大会在顶点处取得，达到最大(小小)值时的值时的即为顶点横坐标值，即为顶点横坐标值，最大最大(小小)值值也就是顶点纵坐标值。也就是顶点纵坐标值。x(2)(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小小)值值 附：将二次函数的一般式附：将二次函数的一般式化为顶点式化为顶点式的方法：的方法：(可用配方法和公式可用配方法和公式cbxaxy2khxay2法法)典型例题精讲：某商人如果将进货单价为典型例题精讲：某商人如果将进货单价为 8 8 元的商品按每件元的商品按每件 1010 元出售，每天可销售元出售，每天可销售 100100 件，现在他采用件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少 1010 件，问他将件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？