初中数学二次函数知识点汇总.pdf

1.1.定义定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.2.二次函数二次函数的性质的性质2axy（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2axy y（2）函数的图像与的符号关系.2axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；0a当时抛物线开口向下顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y2axy）（0a3.3.二次函数二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线轴的抛物线.cbxaxy2y4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中cbxaxy2khxay2.abackabh4422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy22hxay；.khxay2cbxaxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yhx y0 x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开a口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点abacabxacbxaxy442222是，对称轴是直线.），（abacab4422abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，khxay2h k对称轴是直线.hx （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用cbxaxy2cba,（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；abx20by0ababy（即、异号）时，对称轴在轴右侧.0ababy（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0 xcy cbxaxy2yc ，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.y0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy（轴）0 xy（0,0）kaxy2（轴）0 xy(0,)k2hxayhx(,0)hkhxay2hx(,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abacab4422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).ycbxaxy2c（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yhx cbxaxy2hcbhah2（3）抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程cbxaxy2x1x2x的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02cbxaxx式判定：有两个交点抛物线与轴相交；0 x 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0 x 没有交点抛物线与轴相离.0 x （4）平行于轴的直线与抛物线的交点x 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.kkcbxax2 （5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由方0knkxyl02acbxaxyG程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点;cbxaxynkxy2lG方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.lGlG （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，xcbxaxy2x0021，xBxA由于、是方程的两个根，故1x2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线与 x 轴有交点时，即对应二次好方程有实根和cbxaxy202cbxax1x存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数2x)(212xxxxacbxax可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。cbxaxy2)(21xxxxay考点三、二次函数的最值考点三、二次函数的最值 （10 分）分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。abx2abacy442最值如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，21xxxab221xxx若在此范围内，则当 x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在ab2abacy442最值范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当时，21xxx2xx，当时，；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，cbxaxy222最大1xx cbxaxy121最小则当时，当时，。1xx cbxaxy121最大2xx cbxaxy222最小考点四、二次函数的性质考点四、二次函数的性质 （614 分）分）1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，a0a0图像 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是（，ab2ab2）；abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最ab2小值，abacy442最小值（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab2大值，abacy442最大值2、二次函数中，的含义：表示开口方向：)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、aa0 时，抛物线开口向上，0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正右移，负左移；值正上移，负下移值正上移，负下移”hk概括成八个字概括成八个字“同左上加，异右下减同左上加，异右下减”三、二次函数三、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。2245yxx2yaxbxc2ya xhk总结：总结：从解析式上看，从解析式上看，与与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2ya xhk2yaxbxc的符号的符号a开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上hk，X=hX=h时，时，随随的增大而增大；的增大而增大；时，时，xhyxxh随随的增大而减小；的增大而减小；时，时，有最小有最小yxxhy值值k0a 向下向下hk，X=hX=h时，时，随随的增大而减小；的增大而减小；时，时，xhyxxh随随的增大而增大；的增大而增大；时，时，有最大有最大yxxhy值值k前者，即前者，即，其中，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，四、二次函数四、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式化为顶点式，确定其开口方向、确定其开口方向、2yaxbxc2()ya xhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点轴的交点、以及、以及关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点、与、与轴的交点轴的交点，（若（若y0c，0c，2hc，x10 x，20 x，与与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点，与轴的交点轴的交点.xy五、二次函数五、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当当时，抛物线开口向上，对称轴为时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，有最有最2bxa yx2bxa yx2bxa y小值小值244acba 2.当当时，抛物线开口向下，对称轴为时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为当当时，时，0a 2bxa 2424bacbaa，2bxa 随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，有最大值有最大值yx2bxa yx2bxa y244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：一般式：（，为常数为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：顶点式：（，为常数为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：两根式：（，是抛物线与是抛物线与轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与只有抛物线与轴有交点，即轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解x240bac析式的这三种形式可以互化析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次项系数a二次函数二次函数中，中，作为二次项系数，显然作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当当时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；的值越小，开口越大；0a aa 当当时，抛物线开口向下，时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大的值越大，开口越大0a aa总结起来，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大的大小决定开口的大aaa小小2.一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线的对称轴决定了抛物线的对称轴ab 在在的前提下，的前提下，0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴左侧；轴左侧；ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的右侧轴的右侧a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay 在在的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴右侧；轴右侧；a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的左侧轴的左侧ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay总结起来，在总结起来，在 确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置ab总结：总结：同左上加同左上加 异右下减异右下减 3.常数项常数项c 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴上方，即抛物线与轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为；0c yy0 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴下方，即抛物线与轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，总结起来，决定了抛物线与决定了抛物线与轴交点的位置轴交点的位置cy 总之，只要总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式