黄冈中学初中数学二次函数知识点汇总[1].pdf

11.1.定义定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.2.二次函数二次函数的性质的性质2axy（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2axy y（2）函数的图像与的符号关系.2axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；0a当时抛物线开口向下顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y2axy）（0a3.3.二次函数二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线轴的抛物线.cbxaxy2y4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中cbxaxy2khxay2.abackabh4422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy22hxay；.khxay2cbxaxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同相等，抛物线的开口大小、形状相同.a 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yhx y0 x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开a口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点abacabxacbxaxy442222是，对称轴是直线.），（abacab4422abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，khxay2h k对称轴是直线.hx （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分2线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用cbxaxy2cba,（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；abx20by0ababy（即、异号）时，对称轴在轴右侧.0ababy（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0 xcy cbxaxy2yc ，抛物线经过原点，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.0c0cy0cy 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.y0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy（轴）0 xy（0,0）kaxy2（轴）0 xy(0,)k2hxayhx(,0)hkhxay2hx(,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abacab4422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay (此公式的优点就是求二次项系数此公式的优点就是求二次项系数 a a)12.直线与抛物线的交点3（1）轴与抛物线得交点为(0,).ycbxaxy2c（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yhx cbxaxy2hcbhah2（3）抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程cbxaxy2x1x2x的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02cbxaxx式判定：有两个交点抛物线与轴相交；0 x 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0 x 没有交点抛物线与轴相离.0 x （4）平行于轴的直线与抛物线的交点x 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.kkcbxax2 （5）一次函数的图像 与二次函数的图像的交点，由方0knkxyl02acbxaxyG程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点;cbxaxynkxy2lG方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.lGlG （6）抛物线与抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线轴两交点之间的距离：若抛物线与与轴两交点为轴两交点为，xcbxaxy2x0021，xBxA由于由于、是方程是方程的两个根，故的两个根，故1x2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系 （3 分）分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。4为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。ba 考点二、不同位置的点的坐标的特征考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3 分）分）1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0,0yx点 P(x,y)在第二象限0,0yx点 P(x,y)在第三象限0,0yx点 P(x,y)在第四象限0,0yx2、坐标轴上的点的特征点 P(x,y)在 x 轴上，x 为任意实数0 y点 P(x,y)在 y 轴上，y 为任意实数0 x点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx 考点三、函数及其相关概念考点三、函数及其相关概念 （38 分）分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。5一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数考点四、正比例函数和一次函数 （310 分）分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b 是常数，k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。bkxy特别地，当一次函数中的 b 为 0 时，（k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比bkxykxy 例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；bkxy正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。kxy k 的符号b 的符号函数图像图像特征b0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。k0b0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小K0b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0a0图像 y y9 0 x 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是（，ab2ab2）；abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最ab2小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab2大值，abacy442最大值2、二次函数中，的含义：表示开口方向：)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、aa0 时，抛物线开口向上，0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正右移，负左移；值正上移，负下移值正上移，负下移”hk概括成八个字概括成八个字“同左上加，异右下减同左上加，异右下减”三、二次函数三、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。2245yxx2yaxbxc2ya xhk总结：总结：的符号的符号a开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a 向上向上hk，X=hX=h时，时，随随的增大而增大；的增大而增大；时，时，xhyxxh随随的增大而减小；的增大而减小；时，时，有最小有最小yxxhy值值k0a 向下向下hk，X=hX=h时，时，随随的增大而减小；的增大而减小；时，时，xhyxxh随随的增大而增大；的增大而增大；时，时，有最大有最大yxxhy值值k17从解析式上看，从解析式上看，与与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2ya xhk2yaxbxc前者，即前者，即，其中，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，四、二次函数四、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式化为顶点式，确定其开口方向、确定其开口方向、2yaxbxc2()ya xhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点轴的交点、以及、以及关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点、与、与轴的交点轴的交点，（若（若y0c，0c，2hc，x10 x，20 x，与与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点，与轴的交点轴的交点.xy五、二次函数五、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当当时，抛物线开口向上，对称轴为时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，有最有最2bxa yx2bxa yx2bxa y小值小值244acba 2.当当时，抛物线开口向下，对称轴为时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，顶点坐标为当当时，时，0a 2bxa 2424bacbaa，2bxa 随随的增大而增大；当的增大而增大；当时，时，随随的增大而减小；当的增大而减小；当时，时，有最大值有最大值yx2bxa yx2bxa y244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：一般式：（，为常数为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：顶点式：（，为常数为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：两根式：（，是抛物线与是抛物线与轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与只有抛物线与轴有交点，即轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解x240bac析式的这三种形式可以互化析式的这三种形式可以互化.18七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次项系数a二次函数二次函数中，中，作为二次项系数，显然作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当当时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；的值越小，开口越大；0a aa 当当时，抛物线开口向下，时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大的值越大，开口越大0a aa总结起来，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大的大小决定开口的大aaa小小2.一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线的对称轴决定了抛物线的对称轴ab 在在的前提下，的前提下，0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴左侧；轴左侧；ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的右侧轴的右侧a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay 在在的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当当时，时，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在轴右侧；轴右侧；a,b 异号异号异右异右下减下减0b 02bay当当时，时，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是轴；轴；0b 02bay当当时，时，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在轴的左侧轴的左侧ab 同号同号同左同左上加上加0b 02bay总结起来，在总结起来，在确定的前提下，确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置ab总结：总结：同左上加同左上加 异右下减异右下减 3.常数项常数项c 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴上方，即抛物线与轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为；0c yy0 当当时，抛物线与时，抛物线与轴的交点在轴的交点在轴下方，即抛物线与轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，总结起来，决定了抛物线与决定了抛物线与轴交点的位置轴交点的位置cy 总之，只要总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；192.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于关于轴对称轴对称x 关于关于轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于关于轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 2.关于关于轴对称轴对称y 关于关于轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于关于轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5.关于点关于点对称对称 mn，关于点关于点对称后，得到的解析式是对称后，得到的解析式是2ya xhkmn，222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不永远不a变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：轴交点情况）：x一元二次方程一元二次方程是二次函数是二次函数当函数值当函数值时的特殊情况时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与图象与轴的交点个数：轴的交点个数：x 当当时时，图象与，图象与轴交于两点轴交于两点，其中的，其中的是一元二是一元二240bac x1200A xB x，12()xx12xx，次方程次方程的两根这两点间的距离的两根这两点间的距离.200axbxca2214bacABxxa 当当时，时，图象与图象与轴只有一个交点；轴只有一个交点；0 x20 当当时，图象与时，图象与轴没有交点轴没有交点.0 x 当当时，图象落在时，图象落在轴的上方，无论轴的上方，无论为任何实数，都有为任何实数，都有；10a xx0y 当当时，图象落在时，图象落在轴的下方，无论轴的下方，无论为任何实数，都有为任何实数，都有 20a xx0y 2.抛物线抛物线的图象与的图象与轴一定相交，交点坐标为轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c3.3.二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数根据图象的位置判断二次函数中中，的符号，或由二次函数中的符号，或由二次函数中，的符的符2yaxbxcabcabc号判断图象的位置，要数形结合；号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的轴的x一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母本身就是所含字母的二次函数；的二次函数；2(0)axbxc ax下面以下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：图像参考：0a y=x22y=2x2y=x2 y=-2x2y=-x2y=-x220 抛物线与抛物线与轴轴x有两个交点有两个交点二次三项式的值可二次三项式的值可正、可零、可负正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与抛物线与轴轴x只有一个交只有一个交点点二次三项式的值为二次三项式的值为非负非负一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与抛物线与轴轴x无交点无交点二次三项式的值恒二次三项式的值恒为正为正一元二次方程无实数根一元二次方程无实数根.21y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2