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(完整版)曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程
设 中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0,函数F （x , y ， z）在曲面Σ上点 处可微，且 ，过点 任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ.设其方程为 ，且 对应于点 ； 不全为零.由于曲线Γ在Σ上，则有 及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量 垂直，并且这些切线都位于同一平面上,这个平面就称为曲面Σ在点 处的切平面。 点 称为切点。 向量 称为曲面Σ在点 处的一个法向量。 记为 。
基本方法：
1、设点 在曲面F(x, y， z)=0上，而F(x， y， z)在点 处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x， y， z)=0在点 处的切平面方程为
。
法线方程为
.
2、设点 在曲面z = f (x, y)上，且z = f （x, y) 在点 M0 (x0， y0） 处存在连续偏导数，则该曲面在点 处的切平面方程为
。
过X0的法线方程为
.
注：方法2实际上是方法1中取 的情形.
3、若曲面∑由参数方程
x = x（u, v) , y = y(u, v） , z = z（u， v）
给出，∑上的点 与uv平面上的点（u0 ， v0)对应，而x(u , v） , y(u , v) ， z（u ， v）在（u0 ， v0)处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为

和

三、答疑解惑
问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v） , y = y（u , v) , z = z（u , v)，∑上的点 与u , v平面上的点（u0 ， v0)对应,怎样确定∑在点X0处的法向量？
注释:设x（u , v） , y(u , v) , z（u , v） 在（u0 ， v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线。
Γ1：x = x（u ， v0) ， y = y(u ， v0） , z = z（u ， v0);
Γ2：x = x(u0 ， v) , y = y（u0 ， v) ， z = z(u0 , v）.
它们在点X0处的切向量分别为

当 时，得∑在点X0处的法向量为

则∑在点X0处的法向量为
。
四、典型例题
例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1， 1）处的切平面方程与法线方程。
解 设F（x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于 在全平面上处处连续，在（1， 1, 1）处 ，椭球面在点（1， 1， 1)处的法向量为（2, 4, 6)。 则所求切平面方程为
,
即 x + 2y + 3z = 6。
所求法线方程为 ，
即 .
例2 求曲面 平行于z = 2x+2y的切平面方程。
解 设切点为 . 曲面 ，因此 .
则曲面在 处的法向量为 .
曲面在点X0处的切平面方程为

又切平面与已知平面z = 2x+2y平行,因此

解得切点坐标为 ，
所求切平面方程为
，
即 。
例3 求曲面 在点 处的切平面方程和法线方程.
解 点 对应曲面上的点 其中
.

则曲面在点 处的法向量为 。
所求曲面在点X0处的切平面方程为

即 。
所求的法线方程为
即 。
例4 求过直线 ，且与曲面 相切之切平面方程。
解 过直线的平面方程可设为
，
即 ,
其法向量为 .
记 ，则

设所求的切平面的切点为 ，则曲面上 处的法向量为 .
且有

由（1）、(3)解得
,
代入（2）得
。
解得 t1 = 1， t2 = 3，故 λ1 = 3 , λ2=7.
则所求切平面方程为
，
或 .
即 6x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5。
例5 试证曲面 上任一点处的切平面都过原点，其中f(x）为可微函数。
证明 ，
。
故曲面上点 处的法向量为 。
则过曲面上点 的切平面方程为
，
整理后得
。
注意到 ，从上述方程得切平面方程为
.
可知其必定过原点.