2013高考新课标数学考点总复习.pdf

2013 高考新课标数学考点总复习考点二万能工具，大题必考，帮你理顺导数及应用专题综述利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如 函数与方程思想常应用解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问 题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同 时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力。纵观2011年各地的高考题，对于本 专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应用，二是导数运算和解不等式相 联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值，五是利用导数研究 函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题的最优 化问题，八是微积分的应用。二.考纲解读L了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义。2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求 简单的复合函数（仅限于形如f（a x+b）的复合函数）的导数.3.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其 中多项式函数一般不超过三次）.4.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其 中多项式函数一般不超过三次）；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.6.会利用导数解决某些实际问题.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤,如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等。7.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法。8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定 理的含义.三.2013年高考命题趋向1.求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解 答题，难度中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析儿何的相关知 识.预测2012年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主 要考点.重点考查运算及数形结合能力。2.利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方 程、不等式的综合应用（各套都从不同角度进行考查）预测2012年高考仍将以利用导数研究 函数的单调性与极值为主要考向.3利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时 多与函数的单调性、极值结合命题，考生学会做综合题的能力.预测2012年高考仍将以利 用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生 活中的优化问题.4.微积分基本定理是高中数学的新增内容.通过分析近三年的高考试题，可以看到对它考查 的频率较低，且均是以客观题的形式出现的，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查.四.高频考点解读考点一导数的几何意义例1 2011湖南卷曲线产前号嬴一g在点陪，0)处的切线的斜率为()A-1 R1 C,也 D 歪x k 2 2 人”2【答案】B【解析】对尸.sf 1求导得到：sinr+c o&x 2,c o sx(sinr+c o&r)sinx(c o&xsinr)_1_(sinr+c o&x)2(sinx+c o sx)?例2 2011山东卷曲线y=d+ll在点p(l,12)处的切线与轴交点的纵坐标是()A.-9 B.-3 C.9 D.15【答案】C【解析】因为V=3f,所以上=/1=1=3,所以过点尸(1,12)的切线方程为y12=3(%1),即y=3x+9,所以与歹轴交点的纵坐标为9.考点二导数的运算例 3 2011江西卷若/(x)=f 2x4h ir,则/(X)0 的解集为()A.(0,+8)b.(-l,0)U(2,+8)C.(2,+8)D.(-1,0)【答案】C【解析】方法一：令/，(x)=2x2土空二芈土90,又/(X)的定义域为小0,.(X2)(x+l)0(x 0),解得 x 2.故选 C.4方法二：令/(x)=2x2：0,由函数的定义域可排除B、D,取=1代入验证，可排除 A,故选C.例4 2011辽宁卷函数/的定义域为R,/(1)=2,对任意xR,(x)2,则/(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(8,-1)D.(8,+8)【答案】B【解析】设 G(x)=/(x)2x4,所以 G(%)=/(X)2,由于对任意 xR,/(x)2,所 以G(%)=/，(%)20恒成立，所以G(x)=/(x)2x4是R上的增函数，又山于G(-1)=/(-l)-2X(-l)-4=0,所以 G(x)=/(x)2x40,即/(x)2x十4 的解集为(一 1,+0,讨论函数负x)=lnx+a(la)f2(1a)x的单调性.【解答】函数/(X)的定义域为(0,+8).f(x)=2a(1-a)f2(1 a)x+1/i当 a Wl 时，方程 2当Ouk舸，J0,f(x)有两个零点，1 y!(a l)(3a 1)八 1.、ia 1)(3。-1)%=-，、八 0,X=t-+z；;,2a 2a(la)2a 2a(la)且当Qxx：时、f(x)0，叉x)在(0,M与(x +8：内为噌函数；当XiXX：时，/(x)0,在(为，X。内为减函数；当w o 0,所以Ri)在0,十8内为噌函数；当a=l时，/(x)=%(QO),年)在(0,+8)内为噌函数;gw.a 八 1 l)(3a1)4当 31 时，J0%i=t-、.-0,2a 2a i la)121(67 1)(367-1)2a 2。(1。)十8)内为减函数.作)的单调区间如下表:所以/(x)在定义域内有唯一零点修，且当0 x 0,/(%)在(0,乃)内为增函数；当x x i时，/，(%)0,左)在(乃,0a l(0,修)(Xi，x2)(M，+)(0,+)(0,x i)a”+)_(。_1)(34_1)_(a-1)(34一八“2a 2a(1a)X 2a 2a(1a)例 6 2011福建卷已知 a,b 为常数，且。#0,函数/(%)=Qx+b+a x lnr,/(e)=2(e=2.71828是自然对数的底数).(1)求实数b的值；(2)求函数犬工)的单调区间；(3)当。=1时一，是否同时存在实数相和(加=/与曲线=洲%)(%己，e。都有公共点？若存在，求出最小的实数加和最大的实数M；若不 存在，说明理由.【解答】(1)由/(e)=2得6=2.(2)由(1)可得/(a,)=a x+2+a x lnr.从而/(x)=a lnx.因为。WO,故：当。0 时、由/(x)0 得 x l,山/(%)0 得 0 x l；当 a 0 得 0 x l,由/(x)l.综上，当。0时，函数左)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1)；当a=/与曲线y=/(x)Qe：，e)都有公共点.例72011安徽卷设./)=皆高，其中。为正实数.(1)当a=g时，求_/(x)的极值点；(2)若./)为R上的单调函数，求。的取值范围.【解答】对段)求导得，a尸窑岸.当 时，若/(x)=0,则 4%28x+3=0,解得 xi=/,x 2=g.结合可知X1s12&1)32f w+00+火X)极大值极小值3 1所以，修=是极小值点，2=是极大值点.(2)若./)为R上的单调函数，则/(x)在R上不变号，结合与条件a 0,知办22办+1 NO在R上恒成立，因此/=4a 24a=4a(al)W0,由此并结合。0,知00.当/%=1,=1时一，/(x)=qx(1一%)的图像关于直线x=g对称，所以 A不可能；当2=1,=2 时，f(x)=ax(1x)2=a(x 2x2+x),f(x)=6f(3x24x+l)=a(3x l)(x 1),所以/(x)的极大值点应为x=g vo.5,由图可知B可能.当根=2,=1 时一，/(x)=ax2(1 jc)=a(x2x3),f(a:)=a(2x3x2)ax(3x2),2所以兀r)的极大值点为x=j0.5,所以C不可能；当?=3,n=1 时，0.5,所以D不可能，故选B.例 92011浙江卷设函数/(x)=(xa)2h ir,eR.若x=e为尸危)的菽寇点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x(0,3e,恒有/(x)W4e2成立.注：e为自然对数的底数.(I*f 内、【解答】求导得 F(x)=2(xa)lnv+-y=(xa)(21n.+1-因为x=e是寅x 的极值点，所以了(e)=(e-a)(3-1!=0,解得 a=e 或 a=3e,经检验，符合题意，所以a=e或a=3e.(2)当OVx Wl时，对于任意的实数a,恒有启声0令/?(x)=21nx+1三，则 A(l)=lV。，/z(a)=21n0,、2e且.3e)=21n(3e)+l一声21n(3e)+l-妻乂志 0.又”(x)在(0,+8：内单调递增，所以函数”在(0,+8：内有唯一零点，记此零点为 x”则 lx o 3elx o 0；当 x(x o，。)时，/，(%)0,即/(x)在(0,%。)内单调递增，在(沏，。)内单调递减，在(。，+8)内单调递增.所以要使/(jc)4e2对x G(1,3e恒成立，只要/(jco)=(oa?Inro 4e2,、f 2 2 成乂./(3e)=(3e-)2ln(3e)W 4e2(2)由(x o)=2h iro+l 一旦=0,知Xo。=2x o lnx()+Xq.(3)将代入得4/h Ao W4e2.又的1,注意到函数x2ln3x在1,+8)内单调递增，故 lx（）We.再由（3）以及函数2x h u+x在（1,+8）内单调递增，可得la W3e.2e 2e山解得3e而而W“W3e+而荷 2e所以 3e i=Wa W3e.,/ln（3e）2e综上，a的取值范围3e,i-=Wa W3e.y/ln（3e）【解题技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单 调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根 据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个段上研究函数的导数的符号，确定函 数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本 原则.考点四利用导数研究函数的最值问题例102011北京卷已知函数/（x）=（x左）2号.求危）的单调区间;（2）若对于任意的x（O,+）,都有兀0W巳，求人的取值范围.【解答】（l）f。）=黯必）e.令/（x）=0,得X=左.当左0时，/与/（x）的情况如下：所以，Hx）的单调递增区间是（一8,一肩和依，+8）；单调递减区间是（一七k）.当攵0时，x）与/（x）的情况如下：X(8,k)k(k,k)k(k,+0)r。）+00+加）4e-10所以，/（X）的单调递减区间是（一8,左）和（一左，十8）；单调递增区间是（左，k）.X（8,左）k(k,k)k（一左，+0）/(%)0+0/(x)04显7（2）当人0时，因为./（4+l）=e号；,所以不会有Vx（o,+8）,於）k e c4必当左0时，由（1）知於）在（0,+8）上的最大值是加一女）=.1 4必 1、所以Vx（O,+8）,於）&,等价于五一女）=二解得一故当Vx（0,十8）,危）时，左的取值范围是一H 0）.例11 2011江西卷设於）=一|?+!?+2办.（1）若於）在俘，十8）上存在单调递增区间，求。的取值范围；当0。2时一，4）在L4上的最小值为一号，求/（%）在该区间上的最大值.【解答】（1）由/（x）=%2+%+2a=（xg）2+:+2a,7 V 7 7 i当x E系+o o时，f(x)的最大值为广仔尸G+2a；令G+2a0,得 心一右L3，9 y yi/2 所以，当心一胸，心)在母+8 1上存在单调迷噌区间.y 2 j、人5,、c 1J1+3a 1+W+S a(2)令F(x)=0,得两根即=-，x;=-所以Rx)在(-8,x i),(x+8)上单调递减，在(x i，X。上单调涅噌.当02时，有Xi1VqV4,所以色)在1用上的最大值为次2.又尺4)一用)=一三+6。0,且x Wl时，/)士+3,求人的取值范围.X La+1、【解答(%户(：十)2 T网)=1，竹=i，由于直线x+2y3=0的斜率为一；，且过点(1,1),故1,1 即a 1V=_ 2h=T解得 a=l,b=l.(2)山(1)知_/(1)=岩+：所以/一h ir.十分式一1 x.1 X2X考虑函数/z()=21nx+-(x 0),用沙 r、(左一 1)(.于 1)+2%则 h(x)?.k(x2+1)(%I)2设左W0,由水(%)=-V12-知,当 x Wl 时，/(x)V0,而%(1)=0,故当(0,1)时，(x)0,可得自加(x)0；当 x(l,+8)时，/7()0.从而当 x 0,且#1 时一，/(%)一(；号+1)0，即作)詈+设 OVArVl,由于当 x 0，时，/一l)(f+l)+2x 0,故。(x)0,而力(1)=0,故当(1，0时，。(%)0，可得不与力(%)0,而=0,故当x(l,+8)时，砥c)0,可得金H(%)0,与题设矛盾.综合得，左的取值范围为(-8,0.例 13 2011辽宁卷已知函数0,证明：当 0 x 尼%)；(3)若函数y=/(x)的图象与x轴交于4,8两点，线段43中点的横坐标为沏,证明/(的)0,所以0,则由/(x)=0 得 x=1,且当 x(0,时，/(%)0，当%时，/(%)；-2q=;rax 1 ax 1 a x当 00,而 g(0)=0,所以 g(x)0.故当 0 x x).(3)由可得，当a WO时-，函数=/(%)的图像与x轴至多有一个交点，故。0,从而/(x)的最大值为艰，且七)().不妨设 4(11,0),3(%2,0)，0l1,X1,于ZE Xo=-2由知，/(沏)3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(I)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域;(II)求该容器的建造费用最小时的人【解答】(1)设容器的容积为V,由题意知V=7t rl+Tt r,又厂=苗与由于/22厂，因止匕0r=2mX3+4兀Jc=2tikX，X3+4兀/c,因止匕歹=4兀(。-2)/+，兀,00,当，一个=0时,c2所以 y=8兀,)2)&_&2 加2)._ 9当0Vm5时，当 r=m 时，y=0；当广(0,/%)时-，y 0.所以r=根是函数 的极小值点，也是最小值点.9当相22即3c W时，当尸(0,2时，y =五，直线=%-2及轴所围成的图形的面积为).A.B.4 C.D.63 3【答案】C【解析】如图，山 解得x=4或x=l.经检验x=l为增根，.x=4,.B(4,2),ly=x-2又可求A(0,-2),所以阴影部分的面积S=C4(yjx x+2)=/(%)在原点处的切线方程是()A.y=-3x B.y=-2x C.y=3x D.y=2x【答案】B【解析】,/(x)=x3+ax2+(0,y=xc o sx 0,此时函数y=%sin%+c o s 为增函数,故选C.3.(2012届四川自贡高三一诊)下列图像中，有且只有一个是函数/(幻=g _?+q/+(/_)%+(。尺q。0)的导数/口)的图象，则/(_)的值为()【答案】B【解析】山/(%)=+依2+(。2 一)%+(。e 尺q，0)知，/(x)=x2+2ax+72-1=(x+7-1)(x+7+1),由/(x)的图象可得a=-1,所以 f(1)1+1.4.(银川一中2012届高三年级第四次月考)X+过点(0,1)且与曲线丁=在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为()X 1A.2x y+1=0 B.2x+y 1=0 C.x+2y 2=0 D.x 2jv+2-0【答案】Ar+l-2-2 1解析 y=(-)=-7,：,k=-7,所求直线的斜率为2,又过点(0,1),x-V(%-1产(3-1)2 2故直线方程为2%y+l=0.5.（银川一中2012届高三年级第四次月考）若函数/（x）的导函数/（x）=%24%+3,则使得函数单调递减的一个充分不必 要条件是x（）A.0,1 B.3,5 C.2,3 D.2,4【答案】C【解析】/（%）=4%+30,.r3;则函数3（%-1）的单调递减为1,3,2,3u1,3,故答案为C.6.（河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试2数学）.曲线二4与直线1及XX=4所围成的封闭图形的面积为（）A.2 In 2 B.4-2 In 2C.4-In2 D.2In2【答案】B【解析】如图所示，所求封闭图形的面积-8-4-2+2-21n4+21n2-4-21n2o7.（2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考）如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数y=c o sx图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为（）2A.一71【答案】D1B.一7Cc.71 2D.-n【解析】SD=71，Se712n COSXdx=71-2所以该点落入E(阴影部分)中的概率2$D“_ 2为-718.(浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考)已知函数=,方程/2(%)+?f(x)+i=o(/eR)有四个实数根，则/的取值范围为()+1、/c/+A.(-,+oo)B.(2,-)C.(-,-2)D.(-oo,一e e e【答案】D【解析】/(%)的图像如图所示，极大值/(-1)=1;记/(x)=s,e要使得方程有四个零点，贝/+玄+1=0必有两个零点且0S lJ,S 21,又常数项为1，e e所以 A)2+/+l0,故/_e+1.e e e9.(2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题)已知函数/(x)=c o s2x+sinx,那么下列命题中假命题是()(A)/(x)既不是奇函数也不是偶函数(B)/(x)在-兀,0上恰有一个零点(C)/(%)是周期函数(D)八%)在(四,空)上是增函数2 6【答案】B【解析】V吗)二1 w T不是偶函数,-及，/(0)=1,。，不是奇函数，故A为真命题；令于(x)=c o s2 x+sin x=1-sin2 x+sinx=0,sin2 x-sinx-1=0,解得sinx=I*2 5，丁%e 匹0,sinx J J,山正弦函数图像可知在匹0上又两个零点，故B错;./(x)=/(x+2),.T=2肛故函数为周期函数，C为真命题；/(%)=2 c o s x(-sin x)+c o s x=c o s x(l-2 sin x),*/x g(,),.c o s x 0,sinx 0,故D为真命题。故答案为B.二.填空题10.(2011杭西高8月高三数学试题)垂直于直线2x-6y+1=0,且与曲线 =/+3%2 _5相切的直线的方程是.【答案】3x+y+6=0【解析】了=3x2+6x,垂直于直线2%-6y+1=0的切线的斜率是-3,.3%2+6x=-3,.x=1,.切点为(-1,-3),切线方程为y+3=3(%+1),即 3%+y+6=0.11.(2012届浏阳一中高三第一次月考)若函数/(x)=/3依2灰，其中。源为实数./(%)在区间-1,2上为减函数，且6=9。，则。的取值范围【答案】671【解析】因为/(%)=3%26a x-6W0对1恒成立，所以/(x)=3x2-6a r-9a Q 对 e-l,2上恒成立，x2-2ax-3?一 对 e 1,2丁恒成立,容易求得a.2%+312.(2012湖北省孝感市度高中三年级第一次统一考试)对于三次函数/(x)=a x 3+b、”+d(a g 0),定义：设，是函数y=/(x)的导数r(*)的导数，若方程f(z)=0有实数解，则称点(与J(x。)为函数为=/(*)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心.”请你将这一发现作为条件，求(1)函数=/-3/+3x对称中心为.(2分)(2)若函数以*)=*Tf 土 XT1 2 3 2012则且()+g()+g()+-+g()=.(3 分)2013 2013 2013 2013【答案】(1,1)；2012.【解析】(1/(%)=3*-6+3,f(x)=6%-6,令 6%-6=0 得l=1,1)=1,.,.0)的对称中心为(1,1).11 1 9 5 1 0(2)令=p?-y+3%-万，k(x)=p h(x)=x-x+3,h(x)=2x-1,由 2%-1=0 得 x=3 2 22+3 x-=12 12(x)的对称中心为(；)，.依0+(1 一%)=2,1 2X ,2013 201320125 2013又左的对称中心为g,o)+网1-)=o,2012201320132013%=1 21 2 2012)+()+2013 2013 2013/1、/2、/3、，2012、，/g(-)+g(-)+g(-)+g(-)=(2013 2013 2013 20131 2k(-)+-1+做2013 20132012二Z(+风1 20131、)+(2013)+打701220132012、2013,)+()+%(20132、)20132、2013)+()+左(,2011 2013 2011、2013)+囱)+-100620131006.2013)+力()+以1007201310072013)=2x 1006+0 x 1006=2012.三.解答题13.【河北唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试(文)】已知函数/(x)=x-ax2 Inxa 0).(1)若曲线=/(%)在点(1,/(D)处的切线斜率为-2,求a的值以及切线方程;(2)若/(%)是单调函数，求a的取值范围。1角翠：(I)f(x)=l 2ax-.由题设，f(l)=2a=2,a=l,此时1)=0,切线方程为 y=-2(xl),即 2x+y2=0.2a x2x+1(II)/(x尸-,令=1一8。.1当。2-$一时，AW0,r(x)WO,/(x)在(0,+8)单调递减.O1当0a (),方程2a x2x+10有两个不相等的正根X1,O不妨设X1X2,则当 x(0,X1)U(X2,+8)时,f(x)0,这时(X)不是单调函数.1综上，a的取值范围是k，+).O【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试(理)】1、已知函数 f(x)=In ax+x(0).x,5 分,10 分X2,12 分(1)若/(%)是单调函数，求a的取值范围;(2)若J(x)有两个极值点为,向,证明：/(xx)+/(x2)3-21n 2.解：(I)f(x)=Inxo t:+x z 1、-2加x+1、八/(x)=-2ax+1=-2 分令 A=l-当a廿一时，AWO,(x)WO,在(0,+8)单调递减.4分当0a 0)方程2a r：x+1=0有两个不相等的正根Xi，x 不妨设x i+)时,fr(.Y)0)这时“工)不是单调函数.综上，a的取值范围是】-，+8).6分,S1(H)由(I)知，当且仅当a(O,丁)时，/(x)有极小值点x i和极大值点X2，O1 1 且X1+X2=五，*途2=工./(x i)+/(x2)=_In Xia x i+x i In x2-2+2 1 1=-(lnx i+lnx2)-(Xi-l)-(x2-l)+(x i+x2)1 1=In(x ix2)+(x i+x2)+l=ln(2a)+1.9 分,1 1令 g(a)=ln(2a)+石+1,a G(O,1 1 1 4a1 1则当a(O,石)时，g(a)=丁一/=4a2 VO,g(a)在(0,表单调递减，1所以 g(a)g E=3 _ 2ln 2,即/(x i)+/(x2)3-2ln 2.-12 分14.(2012年长春市高中毕业班第一次调研测试(文)已知定义在正实数集上的函数/(%)=；/+2以，g(x)=30.设两 曲线y=/(x),歹=g(%)有公共点.，且在该点处的切线相同.用。表示6,并求力的最大值；求F(x)=f(x)-g(x)的极值.解：(1)设歹=/(%)与y=g(%)的公共点为(%,%).o 2()=%+2a,g.)=旦,由题意/(%)=g(%o)，/(%)=/(%)X1 3a2即一Xq+2 ax 0 3(j In+b,+2。-.(2 分)2%o/3a2,_得o+2a=-得：玉)=。或玉)=13。(舍去).%即有力=a2+2a2 3a2 lna=a2 3a2 In a.(4 分)2 2令 h(t)=|/2-3t2 lnr(/0),则-0)=2/(1-3 In/).当*1 3h n)0,即 0/时-，”)。；当*1 3h n)/时，/0),-3a2(x cz)(x+30).所以b(x)在(0,。)上为减函数，在(a,+8)上为增函数，(6分)(8分)(9分)于是函数厂(%)在x=a时有极小值尸(%)极小=F(a)=F(x0)=/(x0)-g(x0)=0,无极大值.(12分)(2012年长春市高中毕业班第一次调研测试理)已知函数/(x)=ex-ax-1(0,e为自然对数的底数).求函数/(x)的最小值；若/(%)20对任意的16 11恒成立，求实数a的值；在的条件下，证明：(工)+(2)+(巴)+(2)0,/(%)=。一a,由/(%)=e a=0 得 =In a.当 x w(-oo,In a)时,fx)0.%)在(-c o,In a)单调递减，在(In a,+o o)单调递增.即/(x)在x=Ina处取得极小值，且为最小值，其最小值为/(In。)=na-ana-=a-ana-.(4 分)(2)/(%)20对任意的x eR恒成立，即在x eR上，/(x)min0.Hl(1),设g(a)=a a lna 1.,所以 g(a)20.由 g(a)=1-1114-1 二-1114=0得(7=1.g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，g(a)在a=1处取得极大值g(l)=0.因此 g(a)20的解为a=l,.,.a=l.(8 分)(3)由(2)知，因为。=1,所以对任意实数x均有产即1+k k-令x=(w g N*,Z:=0,1,2,3,77-1),贝iJOc l e.n nk-i.,.(1)W(e)=e k.n.(-)w+(-)H+(),?+(-)w W/5T)+e-(-2)+/2+1+1 n n n n15(2012届惠州市高三第二次调研考试数学试题(文科)已知函数/(%)=a r3+bx2+cx(a W 0,x g R)为奇函数，且/(%)在=1处取得极大值2.(1)求函数歹=/(x)的解析式;(2)记g(x)=+(4+1)In),求函数歹=g(%)的单调区间。%解：(1)山/(%)=a r3+bx2+c%(a NO)为奇函数,/(-x)=_/(x),代入得，b=O1分：.fx)=3ax2+c,且/(%)在=1 取得极大值 2.，=0,l/d)=2,n 3。+c=0,1解得 a=1,c=3,.,./(%)=+3%.4 分a+c=2.(2)V g(x)=-x2+3+(Z:+1)Inx,定义域为(0,+o o)./c/z 1 2Y+(k+1).*.g(x)2x+(k+1)-5分x1当左+1=0,即左=一1时，g(%)=20,函数在(0,+8)上单调递减；7分-2 r2+12 当左 1,左+1 0,：.gx)=-0,Vx 0,k+12x2+10,解得J-x J-,结合 x0,得 0 x 22k+八11分-7 y2+1令g*)0n”x左+112分.左-1时，函数的单调递增区间为0,J,递减区间为13分综上，当左4-1时，函数的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间,当-1时，函数的单调递增区间为，,罟，递减区间为亭+小4分(2012届惠州市高三第二次调研考试数学试题(理科)已知二次函数y=g(x)的图象经过点。(0,0)、4(掰,0)与点P(m+1,m+1),设函数/(x)=(x )g(x)在x=q和x=6 处取至lj极值，其中/%0,b n0,：.f!(m)=3m2-2(/w+n)m+mn-nr-mn-m(m-w)0.7 分f(w)=3w2-2(m+n)n+mn=n-mn=nn-m)0又1)a,故 b-2,4.1,m+nx 3(掰+x m+n 1.2./.4,=/(-)=-2(m+)x f mn=vm+w)+mrl-mr1 2，.12分所以左 mn(mn-2)=(mn)2-2mn=(mn-1)2-1 -1,又两条切线垂直，故左/2=7,所以上式等号成立，有机+=2后，且加=1。/(x)=x3-(m+n)x2+mnx=x3-2y/2 x2+x o.14 分16.(2012北京海淀区高三年级第一学期期末试题)已知函数/(1)=e(12+4%一。)，其中。是常数.(I)当a=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/)处的切线方程；(II)若存在实数上 使得关于x的方程/(x)=出在0,+8)上有两个不相等的实数根，求化的取值范围.解：(I)由/(x)=e%/+a x-a)可得f(x)=ex2+(a+2)x.2 分当a=l时,/(l)=e,/(l)=4e.4分所以曲线y=/(x)在点/(1)处的切线方程为y-e=4eix-li,即 y=4ex-3e.5 分(II)令/0,所以/(%)是0,+8)上的增 函数.所以方程/(%)=左在0,+8)上不可能有两个不相等的实数根.8分当(a+2)0,即。a.11 分所以要使方程/(%)=左在0,+8)上有两个不相等的实数根，左的取值范围必须是(，一.13 分17.(荆州市2012届高中毕业班质量检查(I)文)设二次函数 f(%)=mx1+nx+t 的图像过原点，g(x)=a/+hx-3(x 0),/(x),g(x)的导 函数为 r(x),g/(%),且，(0)=0/(1)=2,/(匹/二炉.(1)求函数/(%),g(x)的解析式；(2)求尸(%)=/(%)-g(%)的极小值；是否存在实常数人和冽，使得/(%)之区+加和g(%)4Ax+加？若存在，求出4和加 的值；若不存在，说明理由。解：由已知得1=0/(%)=2s+,则/()=，/(-1)=2冽+=2“从而=0,加=1,/.f(x)=x2f!(x)=2x,g(x)=3(jx2+b o山/(l)=g(l),/(l)=g/(l),得a+6 3=l,3Q+6=2,解得q=1,6=5.g(x)=-x3+5x-3(x 0)o.4 分(2)F(x)=/(x)-g(x)=/+/一 5%+3(%o),求导数得尸/(x)=31+2x-5=(%-1)(3%+5)。.7 分.尸(x)在(0,1)单调递减，在(l,+o o)单调递增，从而月(%)的极小值为b(1)=0.9分(3)因/(%)与g(%)有一个公共点(1,1),而函数/(均在点(1,1)处的切线方程为/(x)2x-ly=2x 1。下面验证，都成立即可。U(x)2x-l,知/(x)N2x 1 恒成立。设(%)=+5x-3-(2x-l),即(%)=+3x-2(x 0),对求导得()=3/+3=3(%1)(%+1)(%0),.力(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+o o)上单调递减，所以(%)=/+5%-3 (2%1)的最大值为人(1)=0,所以丁+5%3421 1恒成立。故存在这样的实常数左和加，且左=2,加=1。14分(荆州市2012届高中毕业班质量检查(I)理)已知函数/(x)=lnx-?x-3(i7 w 0)(I)讨论函数/(%)的单调性；(II)若对于任意的a g 1,2,若函数g(x)=x3+ym-2/(%)在区间(凡3)上有最值,求实数加的取值范围；1 1 1 1*(III)求证：ln(=+l)+ln(r+l)+ln(F+l)+ln(-r+l)l(2 2,c N)2 3 4 n解：(I)由已知得f(x)的定义域为(0,+8),且/口)=1一0X当a f 0时，f(x)的单调噌区间为(0,减区间为(4,2)；a a当a VO时，f(x)的单调噌区间为(0,+8),无遍区间；.4分(II)g(x)=?+ym-2/l(r)=?+(+(7)?-r,:.g(r)=3r:+(m+2a)x-1,Qg(x)在区间(a,3)上有最值，g(x)在区间(a,3)上总不是单调函数,又一(0)=-1,;,g 3)0,6分由题意知：对任意a e 1,2,g a)=3a +(m+2a)-7-1=5+ma-1 0 恒成立，m 0 怛成立，m-32 19 八:.-m-.9 分3 2(III)令 a=l 此时/(x)=lnx x 3,由(I)知/(x)=Inx x 3在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减，.,.当 XG(0,+OO)时/(%)/(I),Inx x-1 对一切xg(0,+oo)成立，?.ln(l+x)2,w G N*,pliJW ln(l+).12 分n n 1、”1、八 1、1 1 1 1 1 1ln(l H 7)+ln(l H)H-1-ln(l H)H H-1-1-1-1-22 32 n2 22 32 n?1x 2 2x 3(-1)=(l-)+(-)+-.+(2 2 3 h-1 n n.14分