《实变函数》第四章可测函数.doc

第四章 可测函数（总授课时数 14学时）

由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨
论其性质和结构.

§1 可测函数及其性质
教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质
教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好
的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.
本节难点 可测函数与简单函数的关系.
授课时数 4学时

——————————————————————————————

1可测函数定义
定义：设是可测集上的实函数(可取)，若可测，则称是上的可测函数.
2可测函数的性质
性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集
性质2 简单函数是可测函数
若 (可测且两两不交），在每个上取常值，则称是上的简单函数；
其中
注：Dirichlet函数是简单函数
性质3 可测集上的连续函数必为可测函数
设为上有限实函数，称在处连续

对比：设为上有限实函数，

在处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
证明：任取, 则,由连续性假设知，
对使得

即.令则G为开集，当然为可测集，
且另外

所以
，
故为可测集
性质4 中的可测子集上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设单调增，对任意令. 由单调增知下面的集合为可测集

⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设是可测集上的实函数，则在上可测
（即（1）可测）
可测
可测
可测
可测（充分性要求）
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
， ，
，
对前面等式的说明
，

，

⒋ 可测函数的性质
⑴ 可测函数关于子集、并集的性质
若是上的可测函数, 可测，则限制在上也是可测函数；
反之，若 , 限制在上是可测函数，则在上也是可测函数。

注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设 （almost everywhere）于，在上可测，
则在上也可测
若,则称在上几乎处处成立,记作 于.
证明：令，则，从而在上可测，
另外在上可测，从而在上也可测 ，进一步在上也可测.
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵ 可测函数类关于四则运算封闭
若是上的可测函数,则
仍为上的可测函数.
证明：只要证可测，任取，则
从而
使即
从而
，
反之

也成立，从而可测
类似可证：设是上可测函数，则为可测集.
若是上的可测函数,则仍为上的可测函数.
证明：首先在上可测，因为对任意

再利用即可
作业：若是上的可测函数,则, 为上的可测函数
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭.
若是上的可测函数,则下列函数仍为上的可测函数.

推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明：
，
比较：

例：上的可微函数的导函数是可测函数
证明：由于

从而是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故是可测函数.利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.
证明：发散点全体为；收敛点全体为再利用和是可测函数即可
注意：函数列收敛与函数列收敛于之间的不同
⒌ 可测函数与简单函数的关系
可测函数总可表示成一列简单函数的极限
若是上的可测函数,则总可表示成一列简单函数的极限
，而且还可办到

注：当是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛

——————————————————————————————
作业：P98 3, 4, 6
练习题
1 任何点集上的常值函数是可测函数，对吗？
2 已知“若在上可测，则可测”，反之，若可测，能断定在上可测吗？
3 从函数或可测能否推出在上可测？
4 由可否推出、都可测？
5 能否断定“零集上任何函数均可测”？
§2 叶果洛夫定理
教学目的 1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）
等概念，弄清它们之间的区别与联系.
2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明.
教学要点“几乎处处收敛”，“近一致收敛”的概念及叶果洛夫定理的内容.
本节难点 叶果洛夫定理的证明.
授课时数 3学时

——————————————————————————————

在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛.
例：函数列在(0,1)上处处收敛到,但不一致收敛，究其原因是自变量越靠近0 越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但去掉一小测度集合,在留下的集合上一致收敛。著名的俄国数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立.
引理：设，，在上几乎处处有限且可测，若于则 有
证明：由于为零测度集，故不妨令在上处处有限，
从而有：

从而当时，有

定理1 (ЕгОРОВ) 设，在上几乎处处有限且可测，若于，则于（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）
于，即 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
证明：由引理知有，从而有

令，则可测，

而

故有

即在上一致收敛到
注：叶果洛夫定理的逆定理成立，无论或，即：若于则于
证明：由条件知,存在可测集，使
，
且在上一致收敛于 ，
当然在上点点收敛于，令，则
，
从而

另外显然在上点点收敛于
所以在上收敛于.
注: 叶果洛夫定理中条件不可少.
例 在上处处收敛于=1 ,但不几乎一致收敛于于.
几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
可测子集
有

不几乎一致收敛：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛
任意可测子集
有

任意可测子集
使得

注：叶果洛夫定理中的结论不能加强到.
设,则处处收敛于f(x)=0，但不一致收敛于 ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛于.
说明：去掉任意一个零测度集，留下的集合仍然以1为聚点从而可找到中一点列, 使得收敛到1，故：有
从而上不一致收敛于.

——————————————————————————————
作业：P99 7
练习题
1 叶果洛夫定理的条件“”是否可以取消？
2 叶果洛夫定理的结论能否改为“，使在上一致收敛于”？
3 叶果洛夫定理的逆定理是否成立？
§3 可测函数的构造

教学目的 本节将考察欧氏空间上的可测函数和连续函数关系. 本节将证明重要的Lusin定理, 它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好连续函数逼近.这个结果在有些情况下是很有用的.
本节要点 一方面, 可测集上的连续函数是可测的, 另一方面, Lusin 定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式. 另外, 作为准
备定理Tietze 扩张定理本身也是一个很有用的结果.
本节难点 Lusin定理的证明.
授课时数 3学时

——————————————————————————————

可测集上的连续函数定为可测函数，但可测函数不一定连续.
本节讨论可测函数和连续函数之间的关系，从而揭示可测函数的结构.
我们已经知道可测函数Dirichlit函数在上处处间断，这是否意味着这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。这就是著名的鲁津（лузин）定理
鲁津（лузин）定理：设为上几乎处处有限的可测函数，则
闭集使得且在上连续.（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）
即：可测函数“基本上”是连续函数.
证明：由于 ，故不妨令为有限函数
(1) 当为简单函数时，
令
（其中可测且两两不交）
对每个，作中的闭子集，使

当时，，所以在上连续，
而为两两不交闭集，故在 上连续
显然为闭集，且有

(2)当为有界可测函数时，
存在简单函数列 在上一致收敛于，利用(1)的结果知
及每个，存在闭集，使

且在上连续.
令，则且

由在连续及一致收敛于，易知在闭集上连续.
(3)当为一般可测函数时，作变换

则为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果.
（连续函数类关于四则运算封闭）
注：对在连续的说明：
若在上连续，而为两两不交闭集，则在上连续
证明：任取则存在，使得，，
又为两两不交闭集，从而在开集中
所以存在, 使得

从而

故对任意，有，故连续
条件为两两不交闭集必不可少，如：

函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续.
说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取足够小的邻域不含其他中的点.
注 鲁津定理推论：若为上几乎处处有限的可测函数，则
及上的连续函数使得在上且（对维空间也成立）
（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）
鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）
鲁津定理的第二形式：若在上的几乎处处有限的可测函数，则对，存在闭集及整个直线上的连续函数（及依赖于）使在上，且
证明略
其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一定是可测函数，证明留作习题。
可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们：
尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹公式计算积分仍为主渠道。
——————————————————————————————
作业：P99 8
练习题
1 鲁津定理结论中的能否取为0，即结论是否能表述为：“闭集，使，且在上连续.”？
2 当时鲁津定理是否依然成立？
3 鲁津定理的逆定理是否成立？ 鲁津定理能否改为：“为上几乎处处有限的可测函数，则，存在闭集，使，且在上可表为多项式”？
4试作上的可测函数，使对任何连续函数都有，此结果与鲁津定理有无矛盾？
§4 依测度收敛

教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛. 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解.
教学要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
本节难点依测度收敛的概念及各种收敛之间的关系.
授课时数 4学时

——————————————————————————————

改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对()积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“在上一致收敛于”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。
从集合论的角度讲：“在上一致收敛于”是指，，当时，，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于它要求从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足

呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生.
一、依测度收敛
1定义：是上的一列有限的可测函数.若有上有限的可测函数满足下列关系：
对有，则称函数列依测度收敛于.度量收敛到，记为：.
语言：当时，.
2．测度收敛的性质（唯一性和四则运算）
定理1 令，于， 于，则
(1) 若又有于, 则a.e.于.
于
于
于
注：(1),(2),(4)当时,也成立；条件对(3)来说不可少.
3．依测度收敛与几乎处处收敛的关系
依测度收敛与处处收敛或几乎处处收敛的概念是有很大区别的.
例1依测度收敛，但处处不收敛的函数列.
处处不收敛
但子列处处收敛于
例2 不依测度测度收敛但收敛的函数列：

尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但下面定理反映出他们还是有
密切联系的.
定理2（Riesz）若,则必有的子列，使得于
证明：由于可知
从而可取得，使得
故对， 当时,有

从而
(*)
故于
注：其实从证明中的(*)式我们可看出于.
定理3（Lebesgue），，在上几乎处处有限且可测，若于，则于
二、函数列几种收敛之间的关系
先归纳一下几种收敛的定义.
1．函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作于
有
⑵一致收敛:
有
注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制.
近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制
例：函数列在(0,1)上处处收敛到,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛
⑶几乎处处收敛: 记作于 （almost everywhere）
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作于 (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛.
存在可测子集使得在上一致收敛于
存在可测子集有

（5）依测度收敛: 于
有
2 数列几种收敛之间的关系

子列
Riesz定理
叶果洛夫定理
mE<+∞
叶果洛夫
逆定理
Lebesgue定理
mE<+∞
子列

——————————————————————————————
作业：P99 9， 10， 11， 12
练习题
1 勒贝格定理中的条件能否改为？
2 在数学分析里，函数列的极限具有唯一性，那么对于及又无类似的结果？
3 几乎处处有限的可测函数列依测度收敛的充要条件是：当时，
第15页（共15页）