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《余角与补角》教学案例与反思之一

背景分析：
在新课程改革的过程中，为了更好地学习其它地区和学校的新课改经验，我校与上海曹杨二附中建立了合作关系，游老师被第一批委派来我校进行教学交流，她在新课程改革中积累了较丰富的实践经验，这是在她来校时间不到一个月、对学生没有完全了解的情况下，面向全区数学教师上的一堂教学展示课。下面是该课的教学实录及笔者的教学反思。
教学过程：
（一）复习回顾、引入课题
师：我们以前学过可以根据角的大小将角分成三类：锐角、直角和钝角，请大家回忆：什么叫锐角？什么叫直角？什么叫钝角？
生：大于0度小于90度的角叫锐角，等于90度的角叫直角，大于90度小于180度的角叫钝角
师：（面带微笑注视学生）回答得好不好
生：齐声回答“好”，并报以热烈的掌声。
（反思：通过复习旧知识，寻找到新知识的生长点，学生自发的热烈掌声，激烈了回答问题的学生，同时其他学生的情绪变得兴奋，精神更加集中，为新课题的引入做好了心理准备。）

师：这节课我们来研究两角之间有什么样的关系，在科学课中已经学习了光的反射的性质，这是一幅光的反射图，你知道光的反射有什么性质？
生1：反射角等于入射角
生2：法线与垂直镜面
A
B
O
N
D
E
1
2
3
4
师：好，下面我们从数学的角度来研究图中的两角之间有哪些关系？我们根据反射角等于入射角，知道∠1=∠2，根据法线垂直镜面，知道∠NOD=∠NOE=90°
你能说出∠3与∠1、∠3与∠AOE之间有什么关系？
生：∠3加∠1等于90° ，∠3加∠AOE=180°
师：你是怎么知道的？
生：∠1+∠3构成一个直角，直角等于90°
师：好，很好。同样∠3加∠AOE构成一个什么角呢？
生：齐答“平角”
师：∠3和∠1、∠3和∠AOE的和都是特殊角，我们把它们分别叫做互为余角和互为补角，它们之间的关系类似互为相反数。
（板书课题和余角、补角的概念）
（反思：有指向性的提问，使学生有明确的思考方向，通过类比旧知识“相反数”的概念，使学生了解知识之间的联系。笔者认为：如果让学生再找出图中还有哪两个角互为余角、互为补角，更有利于学生理解余角、补角与角的位置无关。）
（二）独立思考，发现新知
师：我们已经知道了互为余角、互为补角的概念，你能否用数学式子将它们之间的关系表示出来呢？如果∠α与∠β是互为余角，它们应该满足什么关系？
生：∠α+∠β=90°
师：如果∠α与∠β是互为余角，并知道∠β的值，你能求出∠α的值吗？如何求？
生：能，∠α=90°－∠β

师：图1中互为余角的两个角有一条公共边，如果将图1两个角的位置发生变化得到图2，这时它们没有公共边，那么图2中的两个角还能不能叫做互为余角？
生：很多都说“不能”
（反思：游老师强调图1中两个互余的角有一条公共边，影响了学生对问题的思考和回答）

师：（引导）要判断两个角是不是互为余角，应该根据余角的概念，大家再讨论一下
生：讨论
师：（引导）我们从图中可以看出，当两个角移开后，它们的大小有没有变化？
O
β
α
O
α
O
β
β
O
α
生：没有
师：那么它们的和是多少？
生：90°
图1
图2
图3
师：所以它们还是不是互为余角?
生：是
师：如果我们将两个角的一部分重叠，得到图3，它们还是互为余角吗？
生：大部分都回答“不是”
老师要求学生讨论后，学生若有所悟、积极要求发言
生1：我认为不是，因为两个角拼在一起后，从图形上看起来不是一个直角，比90°少
生2：我反对他的观点，因为它们加起来的和还是90°
师：好，图3将两个角拼成一个角后，有一部分重叠，拼成的角的度数并不等于原来两个角的和，计算两个角的和时，应考虑只能将它们的一条边重叠
师：展示两个角互为补角的图形变化情况
生：讨论回答，意见基本统一
师：互为余角和互为补角只反映了两个角的数量关系，并没有限制它们的位置，为了让大家更加理
解概念，我们利用几何画板来进一步研究。
师：（演示余角、补角的变化情况）你们发现了什么？
生：两个角的度数发生了变化，但它们的和不变
（反思：从特殊情况下∠1、∠2的余角、补角的计算过渡一般情况下∠α的余角、补角的计算，是数学教学中经常用到的重要思想方法，游老师通过图形的平移和旋转，并利用几何画板，使数学图形动起来，提高了数学学习的趣味性，使学生对余角、补角概念的理解更生动、更形象、更深刻，渗透了几何语言、符号语言和图形语言有机结合的思想，使知识的学习由静态变成了动态。）

（三）基础练习、初步应用：
展示课件内容：
1、 判断：1）一个锐角与一个钝角一定互为补角
2）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互为补角
2、填空：1）20°的余角是_____，补角是______
2）∠α的余角是_____，补角是______
3、讨论：互为补角的两个角可以都是锐角吗？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？
生：（动手操作、讨论，然后在教师的指导下逐个解答）
生1：锐角与钝角不一定互为补角，因为角度不知道，如钝角为170°，锐角为20°，它们的和就不是180°。
生2：这三个角不是互为补角，因为互为补角说的是两个角之间的关系
生3：20°的余角等于70°，20°的补角等于160°
师：引导学生归纳：一个锐角的补角比它的余角大90°
生4：∠α的余角是90°－∠α，补角是180°－∠α
生5：因为锐角都小于90°，两个锐角的和小于180°，所以互补的两个角不能都是锐角
生6：因为两个直角的和等于180°，所以互补的两个角可以都是直角，但两个170°的钝角的和大于180°，所以互补的两个角不能都是钝角
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1
（反思：计算题从特殊角的计算过渡到一般角的计算，判断题和讨论题针对学生对概念理解的偏差，习题的设计有梯度，符合学生的认知特点，加深了学生对新知识的理解和掌握。）

（四）动手操作，探究新知
师：（展示一个三角尺教具，如图）你能从三角尺中找到两个互余的角吗？
生1：利用实物指出如图∠1和∠2互为余角
师：（略感意外）我的三角尺多出了一条线，这两个角的和等于90°，所以它们互为余角，他很有创意。还有其他互余的角吗？
生2：因为三角形的内角和等于180°，三角尺的一个角是直角，所以另外两个锐角的和等于90°，它们互为余角，同样，只要是直角三角形，它的两个锐角都是互余的。
师：好，她从我这个特殊的三角尺想到了任意的直角三角形两个锐角都互余，很好。
（反思：利用学生天天使用的三角尺动手操作，使学生体会到生活中处处都有数学。在操作过程中，由于教师用的三角尺比一般的三角尺中多出了一条线段，学生在回答问题时，出现了教师预料之外的答案，游老师利用自己的经验和应变能力，作了较好的处理。）

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3
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图1
图2
图3
图4
师：（投影右图）你能在图1中画出∠2的一个余角、
在图2中画出∠2的一个补角吗？看谁画得快又好
生：操作，完成画图
师：（投影展示学生作业：图3、图4）
图3中∠2的两个余角之间有什么关系？为什么？
生：因为∠1=90°－∠2，∠3=90°－∠2，所以∠1=∠3
师：上面结论反映了余角的一个性质，你能总结出来吗？
生：因为∠1、∠3都有是∠2的余角并且相等，所以得到
同角的余角相等
师：（投影说理过程和性质）
图4中∠2的两个补角之间有什么关系？为什么？
生：因为∠1=180°－∠2，∠3=180°－∠2，所以∠1=∠3
师：（展示推理过程）你能发现补角的什么性质吗？
生：同角或等角的补角相等
师：引导学生回顾说理过程，归纳出：同角的补角相等
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（反思：通过动手操作，使学生对概念的理解更明晰，如果能将学生其它类型的作图展示出来，指明图中∠3只是其中一种情况，并比较两位同学的作图，让学生通过对比、讨论，归纳出余角和补角的性质，就更能体现学生的主体地位。）

师：观察右图，图中∠3和∠4有什么关系？
∠AOE和∠BOD有什么关系？为什么？
由此你能得到什么结论？用自己的语言概括
生：讨论
生2：因为∠3=90°－∠1, ∠4=90°－∠2，∠1=∠2，所以∠3=∠4
师：板书性质“等角的余角相等”的推理格式，你能发现等角的余角有什么性质？
生3：等角的余角相等
师：哪位同学说一说∠AOE和∠BOD为什么相等？
生1：因为∠AOE=∠1+∠NOE，∠BOD=∠2+∠NOD，且∠1=∠2，∠NOE=∠NOD=90°
所以∠AOE=∠BOD
师：能不能从补角这个关系去考虑呢？
生2：因为∠AOE=180°－∠3，∠BOD=180°－∠4，且∠3=∠4，所以∠AOE=∠BOD
师：你能发现等角的补角有什么性质？
生3：等角的补角相等
师：投影性质的推理格式和性质，请大家齐读性质
生：齐读（教师板书性质）
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（反思：让学生自己总结性质，可以初步训练学生有条理表达能力，帮助学生初步掌握符号语言的表达格式，通过学生齐读调整学生的学习状态，使学生的精力更加集中，教师认真整理板书内容，为学生形成良好的学习习惯树立了榜样。）
（五）实际操作，应用新知
师：（展示实物—剪刀）用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？
生：（利用实物）相对的两个角
师：（投影如右几何图形）图中∠1和∠2的大小有什么关系？
生：相等
师：其实图中的∠1和∠2不仅有相等的数量关系，还有特殊的位置关系，
这是我们下节课即将学习的内容，请大家课后预习相关内容
（反思：“对顶角”的相关内容属于本节课，游老师将它放到下节课去学习，可能是由于已经下课而做的变化，教学中可以先让学生动手画出剪刀对应的几何图形，再讨论∠1和∠2的大小关系，并独立尝试用几何语言写出推理过程，最后归纳出“对顶角”的概念和性质。）
（六）知识归纳，形成体系
师：（课件展示知识归纳表格）
生：整理笔记
师：布置作业
（反思：下课铃声过后，游老师被迫匆忙归纳）

教学反思：
1、 游老师利用学生熟悉的光的反射现象引入课题，让学生自己归纳出余角、补角的概念，通过平移、旋转，让图形动起来，利用几何画板的动态演示，使概念教学变得生动有趣。
2、 新课改理念中，教师是教学的组织者、引导者，教学时要为学生留有思考的时间与空间，让学生充分发表不同的见解，充分发挥学生的主体作用。游老师在教学中，总是微笑着注视学生，目光中充满鼓励和赞许，经常用的一个词是“我可不可以这样说……”，让学生感觉到自己才是课堂的主人，所有的结论都是自己发现的。
3、 课堂是动态的，学生的反应常常会出乎教师的设想，游老师在课堂充分展示了自己的应变能力。
4、 “…教师在教学中不要将简单的问题复杂化，而应该帮助学生将复杂的问题简单化…” 区教研员的点评说出了本案例的不足，游老师将余角、补角性质的教学完全分割成同角和等角两种情况，忽略了两者之间的联系，在学生提前得出“同角或等角补角相等”的结论时，没有及时调整教学思路，让学生充分展示自己的想法。