第四章统计估值.doc

第4章 统计估值

1． （1994年、数学三、选择）
设是来自总体的简单随机样本,是样本均值，记，，,则服从自由度的分布的随机变量是（ )。
A。 B。
C。 D。
[答案：选B]
当时，服从自由度的分布的随机变量应为

、由，
而不是
、由
。
2． （1997年、数学三、填空)
设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从参数为( )的（ )分布。
［答案:填；］
由相互独立,均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布
因而，,,，且与相互独立，
因而服从参数为的分布。
3． (1998年、数学三、填空)
设是取自正态总体的简单随机样本且，则（ ）,（ ）时,统计量服从分布，其自由度为（ ）。
［答案:填；；]
由统计量
设,即
由可知,，且

若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即
，，
4． （1999年、数学三、证明）
设是取自正态总体的简单随机样本，，，,证明统计量服从自由度为的分布。
证明：记（未知），易见,由于和相互独立，可见,
从而

由正态总体样本方差的性质，知

由于与独立，与以及与独立，可见与独立。
于是，由服从分布的随机变量的结构，知

5． （2001年、数学三、填空)
设总体X服从正态分布,而是来自总体的简单随机样本,则随机变量

服从（ ）分布，参数为（ )。
［答案 填：F; （10,5）]

且显然此二者相互独立,则

6． （2001年、数学四、计算)
设总体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，
（），其样本均值为，求统计量
的数学期望E(Y）。
解：

7． （1998年、数学一、计算）
设容量为n的简单随机样本取自总体N （ 3.4， 36 ），且样本均值在区间(1.4，5。4）内的概率不小于0。95,问样本容量n至少应取多大？
解：设是取自总体的简单随机样本，则
又由于:

则：,查表得
即知样本容量n至少应取35。
8． （1993年、数学三、填空）
设总体的方差为,据来自的容量为的简单随机样本，测得均值为，则的期望的置信度近似等于的置信区间为（ ）。
[答案：填：］
据题意可知，，且，
由,即,查表得,可知

因而总体的期望的置信度近似等于的置信区间为.
9． （1996年、数学三、填空)
由来自正态总体,容量为的简单随机样本,若得到样本均值，则未知参数的置信度为的置信区间为( ）。
[答案:填：］
据题意可知
，又
由，得，即。
10． （2000年、数学三、计算）
假设是总体的简单随机样本值，已知服从正态分布.
（1）求的数学期望(记为）；
(2）求的置信度为的置信区间；
(3）利用上述结果求的置信度为的置信区间。
解：(1）的概率密度为：
,于是，（令）

（2)当置信度时,。标准正态分布的水平为的分位数为。故由，可得

其中

于是，有

从而就是的置信度为的置信区间。
（3）由函数的严格递增性，可见

因此的置信度为的置信区间为.
11． (1997年、数学一、计算）
设总体X的概率密度为

其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求的估计量。
解:

令,解得:,此即的矩估计量。
设似然函数
对此式取对数，即：
且
令可得,此即的极大似然估计量.
12． （1999年、数学一、计算）
设总体X的概率密度为：

设是取自总体的简单随机样本。
（1)求的估计量；
(2）的方差D（)。
解：（1),令得的矩估计量。
（2）经计算可得：

13． （2000年、数学一、计算)
设某种元件的使用寿命X的概率密度为

其中为未知参数。由设是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值。
解：似然函数为：

取对数得

由于，则单调增加，因必须满足
因此当取中的最小值时，取最大值,所以的最大似然估计值为：
=min{}
14． (1991年、数学三、计算）
设总体的概率密度为

据来自总体的简单随机样本,求未知参数的最大似然估计量。
解：由
得总体的样本的似然函数

再取对数得：

再求对的导数：
令，得
所以未知参数的最大似然估计量为。
15． （1992年、数学三、选择）
设随机变量相互独立且同分布，，
,则（ ）。
A、是的无偏估计 B、是的最大似然估计
C、是的一致估计 D、与相互独立
[答案:选：C］