基于重对数律的非平稳性度量.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1855-1868http:/基于重对数律的非平稳性度量1张聪2 丁义明*（武汉理工大学理学院武汉430 0 7 0；2 武汉科技大学理学院武汉430 0 8 1)摘要：时间序列的非平稳性与很多领域的应用密切相关.如何衡量时间序列的非平稳程度是一个重要的研究课题，已经构建了一个完整的非平稳性度量框架，其中稳定集合的判别标准处于核心地位。该文基于独立同分布随机变量的重对数律，提出了一种新的稳定集合判别标准，与已有标准相比，在显著性水平相同的情况下，收敛标准更为严格，且所需的参数更少，该方法提高了非平稳性度量在NS较小时的分辨率.对于确定性信号的参数校准，新方法得到的结果更为精确。关键词：非平稳性度量；稳定集合；重对数律.MR(2020)主题分类：6 2 M10;62B10文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-18 55-141引言如何描述一个随机系统（过程）的平稳程度是一个重要的研究课题.如果刻画它的统计性质不随时间变化，该系统被称为是平稳的，否则就称为是非平稳的1而时间序列被研究的最多，序列之间通常存在相关性，在一定程度上可以反映系统的某些规律，这就启发了我们利用现有的观测结果来预测以后可能会发生的事评价一个时间序列是否平稳，主要是看其均值和方差是否随时间变化，自相关函数是否只与时间间隔有关2。对于一般数据，常见的平稳性测试方法有游程检验法、逆序检验法、特征根测试以及参数测试方法等许多方法3.在非线性时间序列的分析中，由于时间序列动态非平稳性的存在，一些分析结果的可靠性不是很高，因此我们需要对非平稳性度量展开深入的研究：在计量经济学方面，非平稳性度量研究主要集中在时间序列的单位根检验方面4客观上来说，非平稳性的问题存在于任何有序的数据生成过程（Data Generating Process，D G P）中，可以将数据流看作广义上的时间序列，来探究其平稳程度.在动力系统领域中是将DGP数据假设为确定性动力系统.但是我们并不能对数据生成过程做太多设定，需要寻求一种比较通用的度量非平稳性的方法.非平稳性度量指标NS的引入可以很好的解决这个问题最初的想法是借助遍历论、粗粒化方法对数据流的非平稳程度进行研究5，引入非平稳性度量的概念已经证实该指标在很多领域都有着广泛的应用，针对时间序列我们可以用NS量化序列的非平稳性.在非平稳性度量研究中最重要的是稳定集合判别标准的选取，一个好的稳定集合判别标准能帮助我们更好的寻找稳定集合，现有的判别标准得到的非平稳性度量已经趋于成熟并得到广泛应用6，一个典型的应用就是模型选择。对模型的残差序列进行平稳性分析可以更好的反映模型的正确性，当残差序列不够平稳时，可以认为序列中还存在某种趋势信号，模型存在偏差7，8 需要在多个预先给定的模收稿日期：2 0 2 2-10-2 6；修订日期：2 0 2 3-0 3-2 3E-mail:zhangcong-;基金项目：国家重点研发计划资助（2 0 2 0 YFA0714200)Supported by the National Key Research and Development Program of China(2020YFA0714200)*通讯作者Hientia中图分类号：0 2 111文献标识码：A1856型中选出一个最符合数据生成过程的模型这个时候对残差序列的平稳程度的估计就显得尤为重要，需要比较两个序列的平稳程度，然而当两个序列均比较平稳，现有的判别标准对其区分度不够。这就意味着对于那些稳定程度较高且非常接近的序列，需要找寻一个更为严格的判别标准，使得在同样条件下，新标准能够区分一些在原有标准下稳定性相近的集合，提高在NS较小时的分辨率,重对数律本质上是一种偏差不等式，是对随机变量和的一种估计，可以用来对频率序列的收敛程度进行估计，并且所得到的界是可信的中心极限定理是对独立随机变量和偏离其均值的一种估计，所以我们将尝试其他的偏差不等式如Hoeffding不等式、Bennett不等式、以及重对数律来构建新的判别标准，并与中心极限定理进行比较希望对频率序列进行更精确的估计，以此来控制频率序列的收敛速度，以便能够更好的区分那些稳定程度相近的序列本文利用重对数律构建新的非平稳性度量，所得到的新判别标准相较之前更加严格，对模型的稳定性要求更高对非确定性信号，新标准对一阶自回归模型的收敛要求更高，计算得到的NS值也越大.在确定性信号方面，新方法在参数校准上的优势则更加明显，得到的参数值比原有标准更加精确，相对误差更低一个更严格的稳定集合判别标准有着重要的意义，使得在某些对精度要求更高的场景下能够对序列进行更好的判别，实现了对精度的更进一步提高.本文在第二节介绍非平稳性度量相关理论，第三节介绍各类偏差不等式，第四节将构建的新判别标准与原有的进行比较，最后总结全文.2非平稳性度量本节介绍刻画非平稳性度量指标(NS)的基本思想和近似计算过程2.1稳定集合为了定义非平稳性度量，首先给出稳定集合的定义.设X=(acn)n=12:=0,1,A=A1,A2，,A m】称为的一个划分,如果A;nAj=(i)，且UA=2.若AC,IA()表示集合A的示性函数，IA()=1当且仅当EA.定义2.14A称为X的稳定集合，如果X中的点进入A的频率序列k:=fe(A)=IA(ai)，k=1,2 .收敛，且极限为常数 Px(A).定义2.1对稳定集合的定义是个极限（无限）意义下的概念，而通常在实际数据分析过程当中，数据长度往往是有限的如何化解这种事实上的“有限”和理论上的“无限”的矛盾，需要引入稳定集合的判别标准.好的稳定集合判别标准得到的稳定集合更为准确，从最开始提出的三角形区域判别改进到梯形区域判别1，后面利用中心极限定理对频率序列收敛程度的控制，提出了判别更为准确的基于中心极限定理的稳定集合判别标准4,定义2.2 4给定有限时间序列样本XL=ci E2:i=1,2,.,L,及样本XL掉到集合A 的概率为于，已知集合 AC2,依(2.1)式产生频率序列(fi(A)k=1，给定入，定义区间序列PL(k),Pu(k)=f-数学物理学报k1f(1-f)LVol.43 Ai=1(2.1)(2.2)f(1-J),k=1,.,L,L(2.3)No.6及设定阈值 po，若Pc,A(入,f)Po，则称集合A为XL的稳定集合，该稳定集合判别标准记为C(入,Po).2.2非平稳性度量有了初始划分A=A1,A2,：，A m）和稳定集合判别标准C(入,po)，我们可以寻找稳定集合。利用粗粒化的思想，对划分中同一个小区间A，中的点不作区分，这样只需检查有限个区间，稳定集合越多，系统越平稳.定义2.3l】给定初始划分A=A1,A2，A m,如果每个 A，在稳定标准 C(,po）下都是稳定集合，则A称为X的以C(入,Po）为标准的稳定划分.三元组（2,A,P)称为（X,C)的一个信息结构,其中 P(A)=Px(A).有限样本条件下，文献4】提出了二叉树算法、从左到右稳定区间搜索算法等四种稳定信息结构提取算法有了稳定集合定义、稳定集合判别标准、稳定信息结构的定义及其获取算法，下面给出非平稳性度量的定义.定义 2.44)给定判别标准 和初始划分 A，用A表示由A生成的代数.(A)的稳定子-代数信息熵的最大值定义为序列X的信息熵9,即(2.5)其中x为（X,C）的一个集合包含于A的全部稳定信息结构.X的非平稳性度量定义为NSA,c(X)=1-HA,c(X)/H(A),其中H(A）为初始划分 A的信息熵，X的非平稳性度量简记为 NS.(1）（2.5）式中的上确界是可以达到的，因为初始划分所产生的-代数仅包含有限个集合，它的子。-代数只有有限个(2）（2.5）式中熵H(F）的最大值不超过H(A).NSA,c(X）越小，时间序列的平稳性越好；反之，NSA,c(X)越大，时间序列的平稳性越差.在初始划分方式与稳定标准给定的情况下，NS取决于稳定信息结构获取算法，其计算流程大体为：首先输入数据流X，然后获取稳定信息结构SIS，最后计算得到NS.2.3非平稳性度量指标NS的合理性验证前面定义了非平稳性度量指标NS，如何验证这个非平稳性度量指标是否合理？非平稳性度量指标若被认为是合理的，如果它满足10,11(1)数据是独立同分布(i.i.d),则NSO;(2)数据有较强趋势,则NS1;(3)数据满足一阶自回归模型AR(1)有如下不等式成立NS(AR(1),p=0)NS(AR(1),p E(0,1)NS(AR(1),p=1).张聪等：基于重对数律的非平稳性度量HA,c(X)=sup(H(F):F E 2x),Ct+1=pat+Et,ti.i.d.1857(2.4)L(2.6)(2.7)(2.8)1858下面重点对非平稳性度量指标条件第三条进行验证，在参数0时，模型AR(1)中噪声占主导，此时序列接近于i.i.d，又因为NS的计算依赖于随机样本及相关参数，所以需要在同一下取多组样本，分别计算NS再取平均，期望得到不等式关系E(NS(AR(1),p=0)E(NS(AR(1),p E(0,1)0E(X)Pr(X a)a(2）切比雪夫不等式（Chebyshevs inequality）切比雪夫不等式要求随机变量X 满足：期望 EX 与方差VarX=E(X-EX)有限.对于每个常数0有(3.2)Q2数学物理学报1000中心极限定理0.90.80.70.620.50.40.30.20.1000.1Pr(I X-EX I)Vol.43 A(2.9)一(3.1)VarXNo.6(3)切尔诺夫界(Chernoff bound)通用的 Chernoff 边界仅需要X的时刻生成函数，如果它存在就可以定义为：Mx(t)：=EetX.基于马尔科夫不等式,对每个t0(3.3)eta对每个ttt 2exp3.2重对数律重对数律（Law of the iterated logarithm）也是一种极限定理，概率论中重对数律描述了随机游动的波动幅度14,设X；为取值1和-1的独立同分布随机变量，且取值等概率。令Sn=X，那么=E(X;)=0,=Var(X;)=1,如何精确地描述 Sn 的变化范围？由重对数律，对于均值为，方差为的独立同分布随机变量X;,代入=0,=1,可以认为：对于任意的0,只存在有限多个n N,使得因为X；本身是关于0 对称的，反过来也成立.即只存在有限多个nEN，使得所以可以构造区间张聪等：基于重对数律的非平稳性度量EPr(X a)n=1TT,其中 h(u)=(1+u)log(1+u)-u.一12(XM)limi=1n8(2a2n log(log n)/2Sn (1+e)V2log(log n)Vn,Sn -(1+a)V2log(logn)Vn,I=-V2 log(log n)Vn,V21og(log n)Vn.1859(3.4)n(3.5)i=12t22t2n0,对于几乎所有的n，在p1的任意高概率下,过程S!不会离开（一s,e)。另一方面，表明这个过程会在这个区间之外无限次，这个明显的矛盾表明，我们的直觉对发生在无穷远处的现象是不可靠的.下面考虑更一般的情形.令(Bi)io 为具有参数 pE(0,1)的伯努利过程,即具有相同分布 P(B;=1)=1-P(B;=0)=p的一系列独立随机变量.通常情况下p=1/2,考虑以下转换过程X=2B,-1,So=0,Sk=X,k=1,.序列X；取值-1,+1,过程（Sn）n e N被称为一个随机游走.定理3.118 对于均值为，方差为的独立同分布随机变量Xn，有(2a2mnlg(log n)/2n-802=数学物理学报100Vn80V2nloglogn604020S0-20-40-60-800limVol.43 AWW200400图2 基于重对数律的边界估计Snki12(X;-)i=1600n8001.a.S.1000(3.12)(3.13)No.64判别标准对比4.1基于偏差不等式的稳定集合判别上面我们简要介绍了几类偏差不等式，经过公式推导，发现Hoeffding不等式和Bennett不等式对自变量和的界控制更严格.首先考虑Hoeffding不等式，同样以伯努利分布作为样本来估计.此时有不等式对于伯努利分布，Sn=np,En=np,不等式化为同样，我们利用假设检验的思路，显著性水平为.令2 e-号=,计算得到 t=V号l0g号,此时不等式化为(4.3)n2V张聪等：基于重对数律的非平稳性度量PrlSs-Eal tl t 1og1861(4.1)(4.2)2由此可以得到p 的1-的置信水平区间为PL,Pu,其中(4.4)n2PL=1ogn21n2OU1ogn2考虑Bennett不等式，同样有Pr Sn-En|t 2exp显著性水平为,令2 exp-h()为故p的1-的置信水平区间为pL,Pu,其中PL=p-hpu=p+h-no4CtQ2hVn)=,计算得到壳=h-1(log),此时不等式化tlp-pln22Q其中 h(u)=(1+u)log(1+u)-u.(4.5)(4.6)(4.7)2至此，已经得到了基于Hoeffding不等式和Bennett不等式的置信带，那么这个置信带与中心极限定理比较如何呢？下面根据三种置信区间形成三类置信带如下图3所示1862数学物理学报Vol.43 A1.5中心极限定理Hoeffding inequalityBennett inequality0.50-0.50由图中可以看到，基于Hoeffding不等式和Bennett不等式得到的置信带均要比中心极限定理要宽，这说明该不等式对独立同分布随机变量和的控制不如中心极限定理准确，这与预期的不符.试图找到一条比中心极限定理更窄的置信带，下面考虑重对数律.4.2基于重对数律的稳定集合判别标准回顾前面介绍的重对数律：对于均值为，方差为的独立同分布随机变量Xn，有50图3置信区间对比(X;-M)n100150200limn-80下面利用重对数律来对Sn进行估计nZ(X;-)/202n log(log n).i=1对参数为p的伯努利分布而言，上述=p,=p(1-p),进一步得到2p(1-p)log(log n)n由此p的置信区间近似为区间2p(1-p)log(log n)n下面将重对数律得到的置信区间与中心极限定理进行对比可以看到，基于重对数律得到的置信区间在一定程度上要比中心极限定理要更小一点，即对频率序列的估计要更为严格一点。如图4所示.由图4可以看出，置信区间并不能完全包裹住所有频率序列，总会有部分点落在置信区间之外，这是正常的情况我们需要设定一个阈值，当落入置信区间点的个数与n的比值大于该阈值时，就可以做出肯定的判断。所以可以说当频率序列收敛时，有很大概率落入定义的置信区间内。1n2X;1n(4.8)(4.9)2p(1-p)log(log n)(4.10)n2p(1-p)log(log n)n(4.11)No.6张聪等：基于重对数律的非平稳性度量18631.5中心极限定理重对数律0.50-0.50上面我们基于偏差不等式和重对数律推导得到了各种置信区间，本质上来说稳定集合的收敛区间是收敛(无论哪种收敛)速度上的比较主要取决于各个收敛区间边界的收敛速度，收敛速度见表1表中可以看出，中心极限定理得到的置信区间收敛速度和Hoeffding不等式是一样的，而重对数律的置信区间收敛速度最快.依托原理中心极限定理Chebyshev不等式Hoeffding 不等式Bennett 不等式重对数律50图4重对数律对比中心极限定理表1置信区间及其收敛速度的对比置信区间p(1-p)p(1-D)nPD(1-D)ln2Pn2p一hn2p(1-p)log(log n)n100+hna2p(1-p)log(log n)n150np(1-p)n2nInQ200收敛速度(V)0(1)(/)0(h-1(H)loglogn)n下面给出稳定集合判别的新标准.定义4.1给定时间序列样本XL=(i E2:i=1,2,.,L),及样本X掉到集合A 的概率为于，已知集合 AC2,（2.1)式产生频率序列(fi(A)t=1，定义区间序列PL(k),Pu(k)=若 Pc,A(f)Po，则称集合 A为XL的稳定集合，该稳定集合判别标准记为C(po).两种置信区间的比较(4.12)2.f(1-f)log(log n)2 f(1-f)log(log n)n2p(1-p)log(log n)n,k=1,.,L,n(4.13)P(4.14)n1864进一步有这里入取1.96，可以看出n在很大范围内都能保证重对数律的严格性.4.3合理性验证前面利用一阶自回归模型AR(1)验证了基于中心极限定理得到的非平稳性度量指标NS的合理性，实验证明该指标是合理的，我们需要对新标准的合理性进行验证。下面进行前面相同的实验，选择样本长度L=500100012001500，样本组数S=200，NS设置：等分位数下划分N=1.87(L-1)0.4,入=1.96,Po=0.925.模型AR(1)中的扰动项服从独立正态分布.实验结果分别如下图5所示.数学物理学报n 0.05;(5)最后得到准确估计值:0 =(1/i)(8(k)+(k+1)+(h+i-1).考虑复杂信号单参数模型f(t;0)=-0.为进一步分析参数值对校准的影响，选取四个值进行验证。图6 显示模型的生成信号，可以看出当参数值比较小时，噪声的影响较大，此时信噪比SNR为负.20151050-5-10-15-10-82520151050-5-10-15-10-8张聪等：基于重对数律的非平稳性度量2228-64-2(a)0=0.18品642(c)0=0.51865(4.17)sint+sin.cos(sint).(4.18)31510580-5-10-15246810246810图6 模型的生成信号08-10-835302520151050-5-10-15-10-6-8-642(b)0=0.24-2(d)0=0.724681002468101866图7 显示了参数校准的过程，只针对参数比较接近的图像部分进行显示。图中可以看出，不同参数的估计值可以校准到精确值.当校准停止时，NS0.05.特别地，当参数较小时，SNR为负，但仍可以通过NS将参数校准到精确值.0.07NS1-NS20.0650.060.0550.050.0450.040.0350参数校准的结果见表2，对于不同的参数，基于重对数律的非平稳性度量在参数校准方面均比中心极限定理的更为准确。在参数值较大时，均能保持0 的相对误差。对于参数值较小的复杂模型，此时模型中噪声占主导地位，参数校准的困难比较大，但是新方法仍能将参数校准到一个合理的范围，且得到的相对误差较低，跟原有方法相比相对误差有显著的提升.某种程度上来说，新方法提高了模型选择的精度，这点由重对数律得到的稳定集合判别标准更为严格来保证，并且该方法只有一个参数，使得调参更为方便.对于一些实际应用中更加复杂的数据，可以通过该方法来筛选一些合适的模型.SNR0.1-33.36570.20100.08020.0750.2-23.93360.43460.75990.1750.5-2.54120.74.12275总结与展望本文回顾了非平稳性度量的理论研究框架，并且对原有的稳定集合判别标准提出了一些值得研究的问题.如何提高非平稳性度量在NS较小时的分辨率，可以通过调节参数的大小来控制判别标准的尺度，但其精度终归是有限度的这就启发我们寻求一种新的判别标准，使得在同样条件下，新标准能够区分一些在原有标准下稳定性相近的集合，提高在NS较小时的分辨率。在尝试一些偏差不等式如Hoeffding不等式、Bennett不等式后，发现重对数律对自变量和的估计更加精确，相较于原有的基于中心极限定理得到的稳定集合判别标准，基于重对数律得到的判别标准更为严格.并且重对数律是几乎必然收敛的，所需的参数更少，满足对收敛性更高的要求。对于非确定性信号，基于重对数律的非平稳性度量也表现出更强的收敛性，对模型的稳定性要求更高。在模型选择方面，对于含噪声的复杂模型的参数校准，新方法表现出更好的校准效果，得数学物理学报0.160.140.120.10.080.060.0424Vol.43 ANS1NS268Approachingpoint(a)0=0.21.36381.963910表2 估计参数的校准过程NS(O)RE(01)(%)2512.51.00.4901.00.69512图7 参数逼近过程20.714160246Approaching point(b).6=0.5RE(%)(%)0.09100.2000.5000.700810121416No.6到的参数值更精确即使对噪声比较强的模型，该方法也能够达到较低的相对误差，且优于原来的方法这在一定程度上提高了模型选择的精度，有助于筛选出更合适的模型.另外，反正弦律也是对随机游走的刻画，描述了随机游走在轴上方（下方）的概率分布情况2 1,这对非平稳性度量的研究可能有帮助.1】丁义明，范文涛，谭秋衡，等。数据流的非平稳性度量，数学物理学报，2 0 10,30 A(5)：136 4-137 6Ding Y M,Fan W T,Tan Q H,et al.Nonstationarity measure of data stream.Acta Math Sci,2010,30A(5):1364-13762王晶.非平稳时间序列的多尺度分析.北京：北京交通大学，2 0 15Wang J.Multiscale Analysis of Nonstationary Time Series.Beijing:Beijing Jiaotong University,20153】刘罗曼.时间序列平稳性检验.沈阳师范大学学报（自然科学版)，2 0 10,2 8(3)：357-359Liu L M.Time series smoothness test.Journal of Shenyang Normal University(Natural Science Edition),2010,28(3):357-3594】谭秋衡.时间序列的非平稳性度量及其应用。武汉：中国科学院研究生院(武汉物理与数学研究所),2 0 13Tan Q H.Non-stationary Measurement of Time Series and Its Application.Wuhan:Graduate School ofChinese Academy of Sciences(Wuhan Institute of Physics and Mathematics),20135】吴量.基于非平稳性度量的EMD趋势噪声分解.武汉：华中师范大学，2 0 13Wu L.EMD Trend Noise Decomposition Based on Non-smoothness Measure.Wuhan:Central 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non-stationaritymeasurement framework has been constructed,in which the criterion of stable set is the core.In thispaper,based on the law of iterated logarithm of independent identically distributed random variables,anew criterion of stable set is proposed.Compared with the existing criterion,the convergence criterionis more strict and requires fewer parameters when the level of significance is the same.This methodimproves the resolution of non-stationary measurement when NS is small.For the parameter calibrationof deterministic signals,the new method can get more accurate results.Key words:Non-stationary measure;Stable set;Law of the iterated logarithm.MR(2020)Subject Classification:62M10;62B10