福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题(55)(冲刺班).doc

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（55）（冲刺班）

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（55）（冲刺班）

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姓名：

11

福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三数学下学期百盛练习试题（55）（冲刺班）
一、单选题
1．如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
2．在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两平面的法向量分别为＝(0，1，0)，＝(0，－1，1)，则两平面的夹角为（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（　　）
A． B． C． D．

二、填空题
6．正方体的棱长为，点和分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 _______.
8．如图所示，在长方体中，，点是棱的中点，则点到平面的距离为__________．
三、解答题
9．如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案
1．A
【分析】
连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设圆的半径为，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
，且，所以，，
连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设圆的半径为，则、、、，
，，
，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
2．A
【分析】
可以建立空间直角坐标系，用向量求解.
【详解】

如图，建立空间直角坐标系，则
,,,
，,
设平面的法向量为，由可取得一个法向量
设直线与平面所成的角为
则
故直线与平面所成的角为
故选: A.
3．A
【分析】
利用空间平面间的夹角求解即可
【详解】
cos〈,〉＝，即〈,〉＝135°，
∴两平面的夹角为180°－135°＝45°．
故选：A
4．A
【分析】
建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.
【详解】
以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
5．D
【分析】
设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.
【详解】
设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，

∴且为平面BDF的一个法向量.
由，，
可得平面BCF的一个法向量为

.故选：D
6．
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线和所成角为，
则．
异面直线和所成角的余弦值为．
故答案为：．

7．
【分析】
转化为求点B到平面AB1D1的距离后，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的向量公式可求得结果.
【详解】
∵，平面BDC1，平面BDC1，所以平面BDC1，
同理平面BDC1，又，
所以平面AB1D1//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(a,0,0)，B(a，a,0)，，，，，
则，，，
设平面AB1D1的一个法向量为，
则，即，令，则，，则，
则点B到平面AB1D1的距离，
所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为.
故答案为：
8．
【分析】
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到面的距离：，
故答案为:．

9．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
(1)由底面是菱形，，可得为等边三角形，再加上点是中点可证，进而可得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；
(2)由题意及(1)可以，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.
【详解】
证明：在菱形中，，为等边三角形.

又为的中点，
.
//，
.
底面，平面，
.
，平面，
平面.
是棱上的点，
平面.
.
（2）解：底面，，
建立如图所示空间直角坐标系，设，则.

，，，，，
.
由，
得.
设是平面的法向量，
由，得
令，则，则.
又平面的法向量为，
.
由题知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.