2023届广东省江门市示范初中数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）

A. B.
C. D.
2．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ）

A. B.
C. D.
3．下列函数满足在定义域上为减函数且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．采用系统抽样方法，从个体数为1001的总体中抽取一个容量为40的样本，则在抽取过程中，被剔除的个体数与抽样间隔分别为（）
A.1，25 B.1，20
C.3，20 D.3，25
5．已知集合，，全集，则（）
A. B.
C. D.I
6．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）

A. B.
C. D.
7．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

A.①④ B.①③④
C.②③ D.①③
8．角的终边过点，则等于
A. B.
C. D.
9．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间单调递减；
③在有个零点；④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
10．已知扇形的圆心角为，面积为8，则该扇形的周长为（ ）
A.12 B.10
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，则下列命题中正确是________.
①函数最大值为；
②函数的最小值为；
③函数有无数个零点；
④函数是增函数；
12．设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______.
13．某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.

则参加测试的总人数为______，分数在之间的人数为______.
14．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________
15．已知在上的最大值和最小值分别为和，则的最小值为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数是上的偶函数，当时，.
（1）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（2）求当时，函数的解析式.
17．已知向量，，.
（Ⅰ）若关于的方程有解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若且，求.
18．已知角的终边经过点
（1）求值；
（2）求的值
19．设全集为，或，.
（1）求，；
（2）求.
20．设函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求的单调递增区间.
21．已知函数（常数）.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求最小值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】由图象知函数的定义域排除选项选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除C，
故选：A
【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.
2、C
【解析】由三视图可知，此几何体为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果.
【详解】由三视图复原几何体为四棱锥，如图：
它高为，底面是直角梯形，长底边为，上底为，高为，
棱锥的高垂直底面梯形的高的中点，
所以几何体的体积为：

故选：C
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状以及几何尺寸，同时需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
3、C
【解析】根据各个基本初等函数的性质，结合函数变换的性质判断即可
【详解】对A，为偶函数，故A错误；
对B，为偶函数，故B错误；
对C，在定义域上为减函数且为奇函数，故C正确；
对D，在和上分别单调递减，故D错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了常见基本初等函数的性质，属于基础题
4、A
【解析】根据系统抽样的间隔相等，利用求出抽取过程中被剔除的个体数和抽样间隔
【详解】解：因为余1，
所以在抽取过程中被剔除的个体数是1；
抽样间隔是25
故选：A
5、B
【解析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.
【详解】由题意得，所以
故选：B
6、D
【解析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可.
【详解】如图，设，，由弧长公式可得解得，，设扇形，扇形的面积分别为，则该壁画的扇面面积约为
.
故选：.

7、D
【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.
【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确
对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误
对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.
对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误
故选D
【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.
8、B
【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
9、A
【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.
【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；
对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；
对于命题③，当时，，则，
当时，，则，
由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；
对于命题④，若函数取最大值时，，则，
，当时，函数取最大值，命题④正确.
因此，正确的命题序号为①②④.
故选A.
【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
10、A
【解析】利用已知条件求出扇形的半径，即可得解周长
【详解】解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，
其面积为8，
可得4r×r＝8，
解得r＝2
扇形的周长：2+2+8＝12
故选：A

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、②③
【解析】利用函数中的定义结合函数的最值、周期以及单调性即可求解.
【详解】函数，
函数的最大值为小于，故①不正确；
函数的最小值为，故②正确；
函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；
由函数图像，结合函数单调性定义可知，函数在定义域内不单调，

故④不正确；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是取整函数问题，在解答时要充分理解的含义，注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析，属于基础题.
12、 ①. ②.
【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；
【详解】解：当时，令，，设且，则

因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；
对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；
故答案为：；；
13、 ①.25 ②.4
【解析】根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60)之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60)之间的频率和[90，100)之间的频率一样，继而得到参加测试的总人数及分数在[80，90)之间的人数.
【详解】成绩在[50，60) 内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人，
由，解得n=25，成绩在[80，90)之间的人数为25- (2+7+10+2) =4人，
所以参加测试人数n=25，分数在[80，90) 的人数为4人.
故答案为：25；4
【点睛】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样本的频率分布估计总体的分布，属于容易题.
14、
【解析】把4个球编号，用列举法写出所有基本事件，并得出2球颜色相同的事件，计数后可计算概率
【详解】2个红球编号为，2个白球编号为，则依次取2球的基本事件有：共6个，其中2球颜色相同的事件有共2个，　
所求概率为
故答案为：
15、
【解析】如图：

则当时，
即时，
当时，原式
点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）详见解析；
（2）.
【解析】（1）利用单调性的定义即证；
（2）当时，可得，再利用函数的奇偶性即得.
【小问1详解】
，且，则
，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
【小问2详解】
当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，
即当时，.
17、 (1) (2)
【解析】 （Ⅰ）向量，，，所以.
关于的方程有解，即关于的方程有解.因为，所以当时，方程有解，即解得实数的取值范围；
（Ⅱ）因为，所以，即.当时，，由，解得当时，，由，解得.
试题解析：
（Ⅰ）∵向量，，，
∴.
关于的方程有解，即关于的方程有解.
∵，
∴当时，方程有解.
则实数的取值范围为.
（Ⅱ）因为，所以，即.
当时，，.
当时，，.
18、（1），，；
（2）
【解析】（1）直接利用三角函数的坐标定义求解；
（2）化简，即得解.
【小问1详解】
解：，
有，，；
【小问2详解】
解：，
将代入，可得
19、（1）或，
（2）或
【解析】（1）根据集合的交集和并集的定义即可求解；
（2）先根据补集的定义求出，然后再由交集的定义即可求解.
【小问1详解】
解：因为或，，
所以或，；
【小问2详解】
解：因为全集为，或，，
所以或，
所以或.
20、（1）最小正周期，最大值为；（2）.
【解析】把化简为，
（1）直接写出最小正周期和最大值；
（2）利用正弦函数的单调性直接求出单调递增区间.
【详解】

（1）的最小正周期;最大值为；
（2）要求的单调递增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】（Ⅰ）由，得到，再由，利用一元二次不等式的解法结合对数函数的单调性求解；.
（Ⅱ）化简得到函数，令，，转化为函数在上的最小值求解.，
【详解】（Ⅰ）当时，
，
由得，
即：，
解得：，
所以的解集为.
（Ⅱ），
，
.
令，因为，所以，
若求在上的最小值，
即求函数在上的最小值，
，，对称轴为.
①当时，即时，
函数在为减函数，所以；
②当时，即时，
函数在为减函数，在为增函数，
所以；
③当，即时，
函数在为增函数，
所以.
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解