青海省海西州高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题.doc

青海省海西州高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题

青海省海西州高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题

年级：
姓名：

- 16 -

青海省海西州高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）
考试时间： 120 分钟 总分：150 分
评卷人
得分

一、单选题
1．下列表示正确的是( )
A．0∈N B．∈N C．–3∈N D．π∈Q
2．方程组的解构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
4．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知全集U={1，2，3，4，5}.集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则（ ）
A．{2，4}
B．{1，3}
C．{4，5}
D．{2}
6．下列函数中，与函数有相同定义域的是（ ）
A． B． C． D．
7．设f(x)=，则f(5)的值是（ ）
A．24 B．21 C．18 D．16
8．设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．函数y=2﹣|x|的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．若幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（ ）
A． B． C．或2 D．或1
12．已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．

评卷人
得分

二、填空题
13．适合条件的集合的个数是________.
14．已知，则______________.
15．已知函数，若，则__________.
16．设函数在区间上是减函数，则实数的最大值为_______.

评卷人
得分

三、解答题
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）

18．（12分）已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．

19．（12分）己知函数．
（1）函数在是否具有单调性？如果有请证明，如果没有请说明理由；
（2）求在上的值域．

20．（12分）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若是奇函数，求的值.

21．（12分）定义域在R的单调函数满足，且，
（I）求 ；
（II）判断函数 的奇偶性，并证明；

22．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，
（1）求函数在R内的解析式；
（2）若函数在区间上单调函数，求实数的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】
N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，–3∉N，故C错误；
Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误．
故选A．
【点睛】
本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
2．C
【解析】
【分析】
求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.
【详解】
∵
∴
∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}
故选C．
【点睛】
本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．
3．A
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.
【详解】
依题意，
若，则，不满足集合元素的互异性，所以；
若，则或（舍去），此时，符合题意；
若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.
综上所述，的值为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】

故选：B
【点睛】
本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．C
【解析】
【分析】
先根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出结果.
【详解】
，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查补集交集混合运算，属于基础题.
6．A
【解析】
【分析】
求得的定义域以及各个选项函数的定义域，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为.
A选项，的定义域为.
B选项，的定义域为.
C选项，的定义域为.
D选项，的定义域为.
所以A选项符合.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
利用分段函数的解析式，代入求解即可.
【详解】
由f(x)=，
，
，
故选：A
【点睛】
本题考查了分段函数求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
8．A
【解析】
【分析】
根据确定集合与集合区间端点的大小关系求解.
【详解】
若，则只需满足，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用集合间的关系求参数的取值范围，属于简单题.
9．C
【解析】
【分析】
根据函数的单调性以及特殊值的函数值即可判断.
【详解】
当时，，是单调减函数，
又，
故选：C.
【点睛】
本题考查指数型函数图象的辨识，涉及单调性的判断，属基础题.
10．C
【解析】
【分析】
把各数与中间值0，1比较即得．
【详解】
，，，
所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．属于基础题.
11．A
【解析】
【分析】
首先根据函数是幂函数得到，求得的值，再代入验证.
【详解】
因为函数是幂函数，所以，
解得：或，
当时，，不满足函数在区间是减函数，
当时，，满足条件，
故选：A
【点睛】
本题考查幂函数，重点考查函数定义，计算，属于基础题型.
12．D
【解析】
【分析】
根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果.
【详解】
因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又，
所以不等式等价于，
又函数在区间上单调递增，所以，
所以或，
所以或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数不等式的解法，属于基础题.
13．15
【解析】
【分析】
适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数，
从而可求得答案.
【详解】
适合条件的集合的个数等价为求集合的真子集个数，
集合的真子集个数为个，
故答案为：15
【点睛】
本题考查有限集合的真子集个数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
14．8
【解析】
【分析】
先用换元法求出函数解析式，再计算函数值．
【详解】
，则，代入得：
，∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令，则，∴．
15．
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，分别求解即可.
【详解】
函数，且，
因为无解，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.
16．-6
【解析】
【分析】
先根据二次函数对称轴写其减区间，再利用包含关系求参数范围即得结果.
【详解】
因为二次函数对称轴为，开口向上，
故其减区间为，而在区间上是减函数，
故，所以 即实数的最大值为-6.
故答案为：-6.
【点睛】
本题考查了二次函数的单调性，属于基础题.
17．（1）（2）3
【解析】
【分析】
（1）根据指数运算公式，化简所求表达式.
（2）根据对数运算公式，化简所求表达式.
【详解】
（1）原式

（2）原式

【点睛】
本小题主要考查指数运算、考查对数运算，属于基础题.
18．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接根据交集、并集、补集的概念即可得结果；
（2）分为，和三种情形，求出，结合集合的包含关系可得结果.
【详解】
（1）∵，；
∴，或，.
（2）当时，，满足题意；
当时，，
由，得；
当时，，不合题意，
综上可得：实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，属于基础题.
19．（1）在上是增函数，证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）首先根据对勾函数的性质得到其为增函数，之后利用单调性的定义证明；
（2）结合（1）的结论，得到函数在上单调递增，从而求得其值域.
【详解】
（1）在上是增函数，证明如下：
设，
则，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴在上是增函数；
（2）∵在上是增函数，
∴，且，，
∴在上的值域为．
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有判断和证明函数的单调性，求函数的值域，属于简单题目.
20．（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）解方程得的值；（2）利用求解.
【详解】
（1）由题得.
（2）因为函数是奇函数，且定义域为R,
所以.
经检验，当=1时，函数是奇函数，满足题意.
所以=1.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（I） ；（II）详见解析（III）
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)结合函数的关系式赋值可知 ；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论可得f(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数；
(Ⅲ)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，然后利用恒成立的条件讨论可得实数的取值范围是 .
试题解析：
(I)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，
即f(y)=f(0)+f(y)，∴f(0)=0，
∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)
∴结合f(3)=6，得3f(1)=6，可得f(1)=2；
(II)取y=−x，得f(0)=f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)=0，
移项得f(−x)=−f(x)，
∴函数f(x)是奇函数；
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇偶性可得且；当时，，根据可求得，又满足，可得分段函数解析式；
（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
【详解】
解：（1）设，则，.
又为奇函数，所以.
于是时，，又
所以．
（2）由（1）可得图象如下图所示：

在上单调递增，
则，所以
故实数a的取值范围是．
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.属于基础题.