金学导航大联考2023届数学高一上期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2．设定义在R上的函数满足，且，当时，，则
A. B.
C. D.
3．函数在区间上的最大值为2，则实数的值为　　
A.1或 B.
C. D.1或
4．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）
A. B.
C. D.
5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知直线与直线平行，则的值为
A.1 B.3
C.－1或3 D.－1或1
7．若，则的最小值为
A.-1 B.3
C.-3 D.1
8．下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（　　）
A.（0，+∞） B.（﹣∞，0）
C. D.
10．已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为__________.
12．若函数，则______
13．下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是___________.
14．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；
15．如果，且，则化简为_____.
16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分别是棱A1B1、A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.

（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图像；
（3）根据图像写出的单调区间和值域.
19．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？
20．如图，四棱锥的底面为矩形，，.

（1）证明：平面平面.
（2）若，，，求点到平面的距离.
21．甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v千米/小时（不得超过120千米/小时）．已知该货车每小时的运输成本m（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的关系是；固定部分y2为81元
（1）根据题意可得，货车每小时的运输成本m=________，全程行驶的时间为t=________；
（2）求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式；
（3）为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
2、C
【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.
【详解】由，可得.
，所以.
由，可得.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.
3、A
【解析】化简可得，再根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合正弦函数的值域分情况讨论即可
【详解】因，令，故，
当时，在单调递减
所以，此时，符合要求；
当时，在单调递增，在单调递减
故，解得舍去
当时，在单调递增
所以，解得，符合要求；
综上可知或
故选：A.
4、B
【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
5、C
【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.
【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.
【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.
6、A
【解析】因为两条直线平行,所以：
解得m=1
故选A.
点睛:本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）,需检验不重合 ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.
7、A
【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
8、D
【解析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
9、D
【解析】由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a+2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
10、B
【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
【详解】设点C到直线l的距离为，
由，
此时，，
方程为，即，
与直线联立得，
因为共圆，其圆心为，半径为，
圆的方程为,
与联立，
化简整理得，
答案：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】 由不等式，即，所以不等式的解集为.
12、##0.5
【解析】首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13、②③
【解析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
14、15海里/小时
【解析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.
【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速，
则海里/小时，
∴海里/小时.
故答案为：15海里/小时

15、
【解析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简
【详解】解：∵，且，∴是第二象限角，
∴
故答案为：
16、
【解析】解：如图，将EF平移到A1B1，再平移到AC，
则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角
三角形B1AC为等边三角形，
故异面直线AB1与EF所成的角60°，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到的方程，解得，再根据的范围求出；
（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：由，有，
有，整理为，
有，解得或.
又由，有，可得；
【小问2详解】
解：

.
18、（1）
（2）图像见解析（3）答案见解析
【解析】（1）根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据解析式即可画出图像；
（3）根据图像可得出.
【小问1详解】
因为是定义在R上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
【小问2详解】
画出函数图像如下：
【小问3详解】
根据函数图像可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为.
19、（1）300台；（2）90人.
【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.
【详解】（1）由总成本，
可得每台机器人的平均成本.
因为.
当且仅当，即时，等号成立.
∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：
当时，300台机器人的日平均分拣量为
∴当时，日平均分拣量有最大值144000.
当时，日平均分拣量为
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.
若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.
∴日平均分拣量达最大值时，
用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.
（2）用等体积法，即，即可求出答案.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，如图所示，

底面为矩形，为，的中点，
又，，
，，
又，
平面，
平面，
平面平面
【小问2详解】
，，
，，
在中，，
，
在中，，
在中，，，
，
，，
设点到平面的距离为，
由等体积法可知，
又平面，为点到平面的距离，
，
，
即点到平面的距离为
21、（1）；；（2）（0 <v ≤120）；（3）v=90 km/h.
【解析】（1）根据货车每小时的运输成本等于可变部分加上固定部分即可得出答案，再根据全程行驶的时间等于总里程除以速度即可得解；
（2）根据货车全程运输总成本等于货车每小时的运输成本乘以时间即可得出答案；
（3）根据函数解析式结合基本不等式即可得解.
【详解】解：（1）；
（2）货车全程的运输总成本
（0 <v ≤ 120）
（3）=1800元，
当且仅当，即v=90时，全程的运输总成本最小，
所以为了使全程的运输总成本最小，该货车应以90 km/h的速度行驶.