金学导航大联考2023届数学高一上期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2．设定义在R上的函数满足，且，当时，，则
A. B.
C. D.
3．函数在区间上的最大值为2，则实数的值为　　
A.1或 B.
C. D.1或
4．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）
A. B.
C. D.
5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知直线与直线平行，则的值为
A.1 B.3
C.－1或3 D.－1或1
7．若，则的最小值为
A1 B.3
C.-3 D.1
8．下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数，且f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2），则a的取值范围是（　　）
A.（0，+∞） B.（﹣∞，0）
C. D.
10．已知直线，圆．点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为．当四边形面积最小时，直线方程是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为__________.
12．若函数，则______
13．下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是___________.
14．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；
15．如果，且，则化简为_____.
16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分别是棱A1B1、A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.

（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图像；
（3）根据图像写出的单调区间和值域.
19．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？
20．如图，四棱锥的底面为矩形，，.

（1）证明：平面平面.
（2）若，，，求点到平面的距离.
21．甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v千米/小时（不得超过120千米/小时）．已知该货车每小时的运输成本m（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的关系是；固定部分y2为81元
（1）根据题意可得，货车每小时的运输成本m=________，全程行驶的时间为t=________；
（2）求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式；
（3）为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，
即；
由正弦定理可得，所以
；
当时，取到最大值.
故选：A.
2、C
【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.
【详解】由，可得.
，所以.
由，可得.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.
3、A
【解析】化简可得，再根据二次函数的对称轴与区间的位置关系，结合正弦函数的值域分情况讨论即可
【详解】因，令，故，
当时，在单调递减
所以，此时，符合要求；
当时，在单调递增，在单调递减
故，解得舍去
当时，在单调递增
所以，解得，符合要求；
综上可知或
故选：A.
4、B
【解析】先求出试验的样本空间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.
【详解】两只红色袜子分别设为，，两只黑色袜子分别设为，，这个试验的样本空间可记为，共包含6个样本点，记为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则，包含的样本点个数为2，所以.
故选：B
5、C
【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.
【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.
【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.
6、A
【解析】因为两条直线平行,所以：
解得m=1
故选A.
点睛:本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）,需检验不重合 ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

7、A
【解析】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
8、D
【解析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
9、D
【解析】由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为f（5a﹣2）＞f（﹣a2），结合函数的单调性可得关于a的不等式，从而可求出a的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，其定义域为R，
又由f（﹣x）f（x），f（x）为奇函数，
又，函数y＝9x+1为增函数，则f（x）在R上单调递增；
f（5a﹣2）＞﹣f（a﹣2）⇒f（5a﹣2）＞f（﹣a+2）⇒5a﹣2＞﹣a+2，解可得，
故选:D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于a的不等式.
10、B
【解析】求得点C到直线l的距离d ，根据，等号成立时，求得点P，进而求得过的圆的方程，与已知圆的方程联立求解.
【详解】设点C到直线l的距离为，
由，
此时，，
方程为，即，
与直线联立得，
因为共圆，其圆心为，半径为，
圆的方程为,
与联立，
化简整理得，
答案：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】 由不等式，即，所以不等式的解集为.
12、##0.5
【解析】首先计算，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13、②③
【解析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
14、15海里/小时
【解析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.
【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速，
则海里/小时，
∴海里/小时.
故答案为：15海里/小时

15、
【解析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简
【详解】解：∵，且，∴是第二象限角，
∴
故答案为：
16、
【解析】解：如图，将EF平移到A1B1，再平移到AC，
则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角
三角形B1AC为等边三角形，
故异面直线AB1与EF所成的角60°，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到的方程，解得，再根据的范围求出；
（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】
解：由，有，
有，整理为，
有，解得或.
又由，有，可得；
【小问2详解】
解：

.
18、（1）
（2）图像见解析（3）答案见解析
【解析】（1）根据偶函数的性质即可求出；
（2）根据解析式即可画出图像；
（3）根据图像可得出.
【小问1详解】
因为是定义在R上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
【小问2详解】
画出函数图像如下：
【小问3详解】
根据函数图像可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为.
19、（1）300台；（2）90人.
【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.
【详解】（1）由总成本，
可得每台机器人的平均成本.
因为.
当且仅当，即时，等号成立.
∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.
（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：
当时，300台机器人的日平均分拣量为
∴当时，日平均分拣量有最大值144000.
当时，日平均分拣量为
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.
若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）.
∴日平均分拣量达最大值时，
用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.
（2）用等体积法，即，即可求出答案.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，如图所示，

底面为矩形，为，的中点，
又，，
，，
又，
平面，
平面，
平面平面
【小问2详解】
，，
，，
在中，，
，
在中，，
在中，，，
，
，，
设点到平面的距离为，
由等体积法可知，
又平面，为点到平面的距离，
，
，
即点到平面的距离为
21、（1）；；（2）（0