基于基本活动经验的概念课教学实践——以《指数》教学为例.pdf

数学之友2023年第15 期案例分析基于基本活动经验的概念课教学实践以指数教学为例顾燕声（江苏省苏州中学，江苏苏州，2 15 0 0 7）摘要：概念教学是高中数学课堂的重要组成部分.对于有些高中的概念，学生在初中的学习中已经有所铺垫和积累，这样的概念课需要在学生原有的知识基础上进行拓展与延伸。这时，需要教师在课堂上能够激发学生的学习兴趣，让学生感受到新知识与旧知识的异同性，以及在这种延拓的过程中引导学生学会自主思维，向更深层次探寻数学问题的方式方法。本文以指数这节概念课为例，探讨怎样能够基于基本活动经验上好一堂概念课。关键词：高中数学；概念课；活动经验；教学数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式,在该类对象的范围内具有普遍意义.数学概念课是重要的数学教学内容之一，教师通过概念课的教学让学生掌握某个知识点的概念,形成对某个知识点的基本的、概括性的认识；能够明确概念的内涵和外延,熟悉其表述；了解概念之间的关系，会对概念进行分类，从而形成概念系统.在概念课的教学中，教师要引导学生掌握概念的来龙去脉，正确运用概念解决问题.指数这一节概念课不同于高中阶段其它知识点，例如对数椭圆双曲线等，以上这些对学生来说都是全新的内容和体验，而对于指数，学生在初中时就有学习基础,已经学习过二次根式和三次根式，以及整数指数幂的运算，因此这节课就不是单纯的新知识的探索与讲授,而是一种加深与拓展，即将整数指数幂拓展到有理指数幂.如何在学生原有知识的基础上进行再创造，特别是更深入的发现与挖掘，引导学生自已发现幂指数可以从整数范围拓展到分数指数幂，这种拓展的延续性是什么？差异性是什么？在完成这一拓展之后,能不能让学生主动去思考无理指数幂是否有意义？这都是这节课呕待解决的问题1指数一课教学设计分析在“问题情境”阶段，笔者采用的是启发引导式的教学方式，首先抛出问题引起学生兴趣，让学生感受到本节课要研究的是一个生活中会出现的有意思的问题,并且值得做深入的探讨.一、问题情境、学生活动问题1：庄子天下：一尺之捶，日取其半，万世不竭（捶：通栖）一一意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完日期第1天第2 天1木棍剩余2问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定比率衰减,大约每经过1个周期会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”根据这个规律，假设生物体内碳14 含量为P,死亡时间为t个周期，则P=当时1-12时，P；当=时，P25413这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？在此过程中,笔者尤其强调情境中的问题的形式结构一“幂”,但是它与学生已经学习过的整数幂存在差别,因此可以顺理成章地向学生抛出三个问题,即“这样以分数为指数的幂,其意义是什么呢？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？”一方面,这是提醒学生,虽然已经学过相似的结构,但是它们是有区别的，仍然要认真对待，仔细辨别.另一方面，让学生带着问题学习，可以激发学生的学习兴趣,培养学生的数学思考意识,提升学生的数学思维能力.再者,也是教导学生，以后再遇到这种在已学知识的基础上进行拓展延伸的问题时，应该如何来思考、从哪里找出突破口.第3 天483第几天4，当t=一时，232023.15_29数学之友二、温故知新1.整数指数幂求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.a=aa(neN*),其中为底数,n 为指数,a 为幂,读作 的n次方 或“a的n次幂”。a=1;a=an2.整数指数幂的运算性质（当a0,b0,r,seZ时)(1)aa=a*t;(2)（a )=a ;(3)（a b)=a b .3.平方根如果x?=，那么x叫做的平方根。例如2 是4 的平方根其中,a0,x=/a,(Va)2=g,Va=lal.4.立方根如果x3=a，那么x叫做的立方根例如2 是8 的立方根，2是-8 的立方根其中,aeR,x=Wa,(/a)=a,a=g.类似地，我们还有4 次方根、5 次方根.在“问题情境”中唤醒了学生对幂的记忆,那么接下来就理应帮助学生回忆整数幂的相关问题，这部分内容的复习主要是为了帮助学生达到“温顾”的目的，也是充分暗示学生：“今天将要学习的内容是有基础和铺垫的,大家要在原有知识的基础上进行进一步理解今天的新问题.”在做完以上一系列“热脑运动”之后，下面即刻进人今天学习的主要内容：三、数学理论、数学应用1.根式的定义一般地，如果x=a，那么x叫做的n次方根，其中nl，且neN*.当n是奇数时，正数的n次方根是个正数、负数的n次方根是个负数.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。负数没有偶次方根；0 的任何次方根都为0.即/-a（为奇数.eRLx=/a;(n为偶数,a0)式子 a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.由(/a)=,/a=al:(a)=g,Va=.可以推断,(Va)=.当n为偶数时,Va=lal=,a0.1-a,a0.当n为奇数时,V=g例1求下列各式的值：(1)/-125;(2)V(3-)4;(3)V(a-b)2.解:(1)/-12 5=(-5)3=-5;(2)V(3-m)4=3-l=-3;(3)V(a-b)2=la-6l=a-b,ab,1b-a,a0,则a10=？V a 2=?学生在初中已经学习过二次根式和三次根式，(a#0,neN*)因此在教学时不再做过多赘述，而是直接引导学生从n次根式入手，再通过对比二次根式与三次根式，可以知道在n次根式中,n为奇数和n 为偶数是不一样的.在这个过程中，一方面我们实现了字母代替数，将具体问题进行了抽象概括，提高了学生总结数学问题的能力，另一方面，通过对“先开方后乘方”与“先乘方后开方”，即（a）”与a这两种不同运算的辨析,进一步强化了对n次方根的认识.当然，所有的数学概念都是为数学应用服务的，在与学生进行了一系列概念的辨析之后,笔者给出了“例1”与“例2”这两个与n次方根概念相关的例题进行随堂的巩固训练，以达到更好地理解概念的效果.在例题的最后提出一个问题，即“当根式的被开方数的指数与根指数不同时，应当如何理解这类式子的意义？”这自然是为了引出这节课的难点一“分数指数幂”的概念.2.分数指数幂根据几次方根的定义和数的运算，我们知道Va0-/a)=a2=a;10Va2=V(a)4=a=a4.12当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式；当根式的被开方数的指数不能被根指数整除是，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？类比推理可得,=a(a0);V5=b6(b0);V=e六(c0)一数学中,引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容.如（）=，对分数指数幂仍然适用.规定，正数的分数指数幂的意义是a=Va(a0,m,neN,且n1)注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示，表示相同意义，只是形式不同。（2）根式与分数指数幂可以互化如前面提到的573057305.00057301（2（3）如何理解负数的分数指数幂？一一不是所有的负分数指数幂都有意义.分数指数幂不能随意约分，约分后可能会改变根式有意义的条件，如（-3）云约分后变成了（-3)=/-3，而/-3 是没有意义的.所以(-3)=3=/3.规定，正数的负分数指数幂与负整数指数幂的意义相仿,即为m11an=(a0,m,neN*,且n1)an规定，0 的正分数指数幂等于0;0 的负分数指数幂没有意义规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数，（xeZ100拓展xEQ)1000)()573057305.000数学之友同时，整数指数幂的运算性质对于有理数也同样适用，即(1)ad=a*t;(2)(a)=a;(3)(ab)=ab.(其中,a0,b0,r,s Q)例3 计算：(1)(0.008);例4 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a0,b0)：(1)a2.a;2(3)4a36-（3通过前面的课堂铺垫，再与学生谈论“当根式的被开方数的指数与根指数不同时”这一问题也就变得顺理成章了，于是笔者先与学生共同分析“，与“这两个式子，即“外小内大”且能被乘除的情况,与初中的“乘方”与“立方”相挂钩,再进一步类比推理到”“/“”，至此正分数指数幂的定义就呼之欲出了，然后探讨负分数指数幂、0 指数幂,这样就完成了将学生初中学习的整数指数幂拓展延伸至有理指数幂的过程.进而再类比推理有理指数幂的运算性质。最后用两个例题对概念进行巩固.这节概念课涉及了多个知识点的概念，而这些概念之间互相有联系，一遍过后很容易有不清晰和混淆的情况，因此要当堂小结，帮助学生及时消化.四、课堂小结我们课前提出的三个问题：1.分数为指数的幂的意义是什么呢？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？（内容略）五、课后思考通过今天一节课的学习，我们将幂中指数的取值范围从整数拓展到了有理数，那么可以为无理数吗？就好像5/这样的数，我们应该如何来认识和理解它？请大家回去思考，也可以自行查阅一些资料，为下节课做好准备。六、课后作业（内容略）在进行本节课的课堂小结之后，可以说学生对有理指数幂的概念应该已经掌握得很到位了，接下来可以借着这波热情,将无理指数幂的问题提出来，让学生在课后进行探讨、研究和深人思考.2教学启示指数这节概念课说好上也很好上，利用学生原来对幂的知识，让其认识到整数指数幂可以拓展到有理指数幂即可，但是说难上也很难上，这种由原来知识到更深入知识的拓展与延伸应该如何进行才能使得这个过程自然而然、顺理成章？这就需要老2023年第15 期续表师们对这节课进行研究和设计在教学之前,笔者的教学目标有两个.知识点方面：（1）通过具体实例,探究并理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质与运算；（2）通过建立根式32164(2)8381(2)/./.2a3b3与分数指数幂的运算性质,理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；（3）体会整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,并能熟练运用运算性质进行计算.素养目标：培养学生抽象概括能力、数学计算能力，提高学生的数学思维能力,使学生能够举一反三,主动地对相似的数学问题进行拓展与研究,具备数学的研究精神与探险精神.教学过后，笔者回看这节课，又有了许多新的感想。就指数这节课而言,它的特殊性太明显了，有种不上这堂课学生也能会的感觉，但是细细一想，这样的会是真的会，还是一知半解？于是，对于这堂“不学就会”的课,如何能够更好地吸引学生的注意力，让学生仍旧能够保持学习的热情和求知的欲望,并能积极的思考,体会数学概念延拓的重要性,这是本节课中除了掌握数学知识之外需要做到的最重要的事情第一,设计问题，让学生带着问题展开教学。这节课的开头就应该让学生知道这不是一节初中的复习课,是“形似但神不似”的一堂新课,在这堂新课中我们需要关注的是它与原先学习的整数指数幂的不同之处有哪些.这样开门见山的引导一方面可以引起学生对新问题的重视，另一方面，学生能够在问题的引导下，有明确的学习目标,这样才能有深入思考和探究的方向.带着问题的学习可以激活学生的思维,引发学生的思考,使学生的思维能力、探索欲望得到增强 2 笔者认为问题教学,是培养学生主动思考、主动参与课堂的最直接也是最高效的方式,除了概念课,其它如习题课、讲评课都可以借鉴。但是需要注意的是，提出怎样的问题是老师们需要重点思考的,只有好的问题才能做到事半功倍.第二,进行类比，让学生“跳一跳”就能获得新知识，在设计教学任务的过程中，首先需要了解学情，客观正视最近发展区的存在；其次结合任务分析法，在准确把握最近发展区的基础上，制定科学有效的教学流程【3 例如对于“n次方根”，基于学生对平方根与立方根的认识，完全可以让学生自已发现n次方根的特点在从特殊到一般的探索过程中，学生能够获得新的知识，也能获得数学学习的成就感和满足感，不但能够大幅度提高他们的数学学习兴趣,更能培养数学抽象思维能力和总结概括能力.第三,变换形式，让学生能够体会新旧知识的联2023.15_31数学之友系。在指数这节课上如何过渡到新的概念以及分数意义的指数幂的意义,这点尤为重要.笔者认为以问题的形式，由浅人深,引导学生不断思考问题、寻求突破，这个过程是学生体会新知识的过程，也是培养学生数学思维能力的过程，也正是“授予渔”的过程.只有学生学会了如何在现有知识的基础上发现新问题、解决新问题，才能获得真正的创新意识、创新思维，体会到思考的快乐。第四，全盘总结，让学生自主获得新的概念.教师的课前提问、课堂引导固然重要，但课后的总结也是不可或缺的.通过系统的总结可以将零散的知识点和概念聚拢起来，让它们从看似无关，变得实则相关，在课堂最后告诉学生这堂课我们学了什么，可以让学生的思维变得清晰、理解也更加到位.2023年第15 期不同的概念课，教学设计一定是有很多的差异的。因课而异,因生而异,但概念是数学学习的基础，与学生一同发现概念,参与到概念的形成中去，这一点是一致的。在这个过程中所产生的数学思维能力、问题研究方法、深入学习的意识，能够很好地提高学生的数学核心素养.参考文献：1 顾明远.教育大辞典M.上海：上海教育出版社,1998.2 周洁.问题串在高中数学概念课教学中的有效运用 J.学苑教育,2 0 2 3（9）：3 7-3 8+4 1.3 】崔红.基于“最近发展区理论”的高中数学教学案例 J.中学数学,2 0 2 1(19):15-16.（上接第2 8 页）3.4让教学回归生活实践陶行知提出这样的生活教育理念：教师应该学会把学生的手脑解放出来，使其能够去主动感受生活，积累大量生活经验,继而为其掌握和能够灵活应用所学的知识奠定基础.教师可以根据课本上的教学内容来组织实践活动，如利用摆方格的办法，让学生们用1平方厘米的方格拼成大小不同的长方形,并通过数共有几个小方格来得出长方形的面积，并且测出拼出的每个长方形的长度和宽度，讨论长方形面积与长度和宽度之间的关系，深化对计算公式的认识,从而使学生能够更加直观和深人地了解本来抽象的公式并打破重难点的束缚.在给学生教授平均数知识时可以设这样一个问题：班上有一个学生过生日,请了班上全体学生吃糖果，全班4 0 人，如果这个学生到超市买8 0 块糖果给学生平均分配的话，每个学生能分到多少糖果？通过这样的方式鼓励学生用已学过的数学知识回答问题，学会灵活思维,增强思维能力，解决实际问题.3.5搞好基本教学评价和反思教师在实施生活化教学时，必须对学生的课堂表现做出有效记录，同时也要关注学生对该模式运用情况的真实反馈，从而保证这一教学模式的发展能够促进学生的全面发展.教师也要结合学生特点做出合理的评价，才能在课堂教学活动中促进优秀学生能力的发展；对于学困生打牢基础,同时对于中间层次较为顺利的学生来说，教师应该让他们主动参与到课堂活动中去，从而确保学生共同进步.另外，为保证教学活动能够真正推动学生的全面发展，运用生活化教学模式以锻炼培养学生实践能力为出发点,这对于某些探索性知识来说,能有效地促进其数学知识的掌握。4结语总之，新课改下小学数学教师逐渐把教学向生活化方向发展，注重学生学习成绩的提升，还应把培养学生解决实际问题的能力作为教学工作的着力点，使他们在熟悉、活泼的生活氛围里感知、理解并应用数学知识，以促进其数学综合能力的全面发展.参考文献：1 王茂春.新课程改革背景下小学数学教学生活化策略探究 J.新课程（上）,2 0 15（10)：3 6.【2 先焕民.新课程改革背景下小学数学教学生活化探究 J.知识窗,2 0 2 0(2 0)：7 9.3 别瓦山朝克图.基于新课程改革背景下小学数学教学生活化的探究 J.好日子，2 0 2 1（13）：1.4 刘玉梅.试论小学数学课堂教学的生活化取向J.才智,2 0 2 0(6):6 5.5 苟利文.新课改背景下小学数学生活化教学探究 J.新课程研究,2 0 2 2（2 3）：7 2-7 4.32_数学之友