暨南大学09-10高等数学试卷--A-5附答案.doc

暨南大学《高等数学 I 》试卷 考生姓名 学号：
1．对 的表述错误的是 ( C )
A. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ;
B. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ;
C. , N, 使得对所有 的 n, 都有 ; D. , N, 使得对所有 的 n, 都有 .
2. 设函数 , 则 在 处 ( C )
A. 不连续; B. 连续但不可导;
C. 连续且可导; D. 导函数连续.

3. 设 则（ B ）
A. 是 的跳跃间断点； B. 是 的可去间断点；
C. 是 的跳跃间断点； D. 是 的可去间断点.

4．下列命题中正确的是 ( D )
A. 若在 (a, b) 内 , 则 在 [a, b] 上单调递增；
B．若 在 (a, b) 内单调增加且可导, 则在 (a, b) 内必有 .
C. 若 , 则必有 .
D. 若函数 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内 , 且 至多有有限多个零点, 则 在 [a, b] 上单调增加.

5. 下列关于极值叙述正确的是 ( C ).
A. 若 , 则 为 的极值点.
B．若 为 的极值点, 则 .
C. 在 (a, b) 内的极小值可能大于极大值.
D. 若 在 取得极大值, 则存在 的某邻域, 使得在该邻域内, 在 左侧单调增加, 右侧单调减少.

6. 下列各式中正确的是 ( B ).
A. ; B.;
C. ; D. .

得分
评阅人
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. = 0 .
2. 设，则 = .
3. = 1 .
4. 设, 写出它带 Peano 型余项的三阶麦克劳林公式 .
5. =
6. .

得分
评阅人
三、计算题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.
解：由于
( 2 分)
且
, ,
由夹逼定理可知
( 3 分)

2.
( 2 分)
( 3 分)
3.
解：由于 ()

( 5 分)

4.
解：令 , 则
( 2 分)
=
= ( 3 分)

5. 方程 确定 为 的函数，求 与 .
解： ( 2 分)
( 3 分)

6.
解： ( 2 分)
=
= ( 3 分)

7.
解：

( 2 分)
=
= ( 3 分)

7.
解：令 , 则 , ,
( 2 分)
= ( 3 分)

得分
评阅人
四、解答题（共2小题，每小题6分，共12 分）

1. 已知 (1, 3) 是曲线 的拐点, 并且曲线在 处有极值, 求出 的值, 并画出此曲线的图形.
解：由于 , , 由已知条件可得以下方程组

解得 a=-3, b=0, c=5. ( 2 分)
由于 , 令 , 解得 x=0, 2
由于, 解得 x=1.
列表：

0

1

2

y’
+
0

0
+
y’’

0
+

+
Y
凸
5
(极大)
凸
3
(拐点)
凹
1
(极小)
凹
( 2 分)
图形略. ( 2 分)

2. 求抛物线 在 (0, 1) 内的一条切线, 使得它与两坐标轴和抛物线围成的图形面积最小.
解：设切线过抛物线上的点 , 切线方程是
( 1 分)
它与两坐标轴的交点分别是 , 围成的面积
( 1 分)
则
( 1 分)
得到在 [0, 1] 上的唯一驻点 ( 1 分)
当

当 ( 1 分)
且为最小点, 故所求切线方程是
( 1 分)

得分
评阅人
五、证明题（共2题，每题6分，共12 分）

1. 设在区间上连续，在区间内可导，证明在区间内至少存在一点，使得
证: ( 1 分)

( 2 分)

2. 设 在 [a, b] 上连续, 且单调增加, 证明: .
证: 设
( 1 分)
则

(积分中值定理 )( 2 分)
由于 在 [a, b] 上单调增加, 从而 , , ( 1 分)
又由于 , 在 [a, b] 上连续, 则
, ( 1 分)
特别有
即 ( 1 分)
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